一道三角函數最值問題解法的探究與拓展

云南 馬孟華

三角函數最值問題一直是高考的重點和難點，而此類題型往往涉及三角恒等變換、函數、導數、不等式等綜合問題而難于求解.本文從探討一道三角函數最值問題的多種解法出發，探索總結三角函數最值問題的一般求解思路和方法，并在高觀點指導下對問題的解法進行了再拓展.

三角函數最值問題往往以基礎題和中檔題的形式出現，方法簡單、明確.而由三角函數構成的復雜形式的三角函數的性質研究就變得復雜和艱難了.

一般地，對于三角函數的最值問題，有以下幾種處理方法：

(1)轉化為復合函數f(x)=Asin(ωx+φ)+k或f(x)=Acos(ωx+φ)+k求解；

(2)轉化為二次函數(適用于具有二次關系的三角函數)求解；

(3)不等式放縮法求解；

(4)數形結合法求解；

(5)利用導數求解.

以上的求解方法中,(1)(2)兩類情況是較為常見的解法，且是高考的常考點和重點.但如果三角函數(或經轉化后的函數)不屬于(1)(2)兩種類型，則問題較為復雜.此時充分利用三角恒等變換對函數整體進行化簡、變形，再結合(3)(4)(5)的思想方法，問題就會迎刃而解！下面我們結合一道試題分析研究，給出解決此類問題的一般方法并進行拓展和補充.

【例1】已知函數f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是________.

【分析】首先考慮二倍角公式得f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)，然而這并不能轉化為“復合型三角函數”或“具有二次型結構”的函數，故一般方法失效，考慮利用導數求解最值.

方向一：導數求解

該法看似直觀簡便，但操作過程較難，可以對解法進行簡單優化，

此處直接求解出最值的理論依據是“極值的第二充分條件”：

設函數在某點鄰域內一階可導，在x=x0處二階可導，且f′(x0)=0,f″(x0)≠0，則

(1)f″(x0)<0,f(x)在x=x0處取得極大值；

(2)f″(x0)>0，f(x)在x=x0處取得極小值；

方向二：三角恒等變換+換元法

在方向一的基礎上，對整個式子兩邊平方(這也是三角函數中常用的解題技巧).

f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),

兩邊平方得f2(x)=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cos2x)(1+cosx)2,

故f2(x)=4(1-cosx)(1+cosx)3,

令t=cosx∈[-1,1]，則g(t)=4(1-t)(1+t)3,

故g′(t)=8(1+t)2(1-2t),

【評析】這里“兩邊平方”的根源在于可以將sin2x通過平方關系轉化為1-cos2x，這樣整個函數就成為了以cosx為變量的四次函數，對于直接對原函數求導的方法來說，這種方式降低了“導數求最值”的難度.

方向三：換元法+數形結合法

由于f(x)=2sinx(1+cosx)，令a=sinx,b=1+cosx，則有a2+(b-1)2=1，所求f(x)可表示為2ab，問題轉化為已知實數a,b滿足a2+(b-1)2=1，求2ab的最小值.

如圖所示，設點A(a,b)，過點A作x軸的垂線，垂足為D，過點A作y軸的垂線，垂足為點E，則2|ab|=2S=4S△AEO=2S△AOB，而S△AOB最大時，即有S△AOB為等邊三角形時，S△AOB最大，

【評析】此法技巧性極高，利用換元法將問題轉化為二元最值問題后，結果是“乘積結構型”,就使得問題的處理變得困難，構造過程也極為巧妙，事實上,此法是很多學生、教師無法想到的，但可以借此進行討論研究.即如果結果是“線性結構型”的表達式，如：求2a+b的最值，那么此題就回歸到“通性通法”上了，此時原函數就應為f(x)=2sinx+1+cosx，問題就回到處理方法(1)上了，故此題的難點就在于結果成為了“乘積結構型”而大大地提升了解題的難度.當然，從數形結合的角度，此題還可以從解析幾何中的“相切問題”入手解決.

方向四：函數思想+數形結合思想

【評析】在經歷換元之后，問題轉化為了數形結合下的幾何問題，即曲線相切問題，再利用代數思想解決相切問題，這也是我們經常遇到的解決最值問題的一種思想方法.盡管此題是“曲線與曲線相切”，而非我們熟知的“直線與曲線相切”類型，但處理的思想方法卻是一致的，這也在一定程度上豐富了“解析幾何中相切問題”的類型.

以上四種解法都難度較大，一般情況下，學生無法利用“通性通法”求解，那么從更高觀點下來看這個問題，能夠簡化問題的處理嗎？答案是肯定的，下面我們從更高級的不等式及偏導數的觀點下解決此問題，以達到拓展知識面、豐富知識體系的目的.

方向五：三角恒等變換+不等式放縮

由方向二可知，f2(x)=4(1-cosx)(1+cosx)3

=4(1-cosx)(1+cosx)(1+cosx)(1+cosx)

【評析】這里采用了四維形式的基本不等式來求解最值，超過了教學和《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》的要求，但對于解決高考中的難題以及數學競賽培優過程中的題目卻是一個必備的能力，對于提升學生思維能力有著積極的作用和幫助.

方向六：三角恒等變換+不等式放縮

【評析】事實上，方向五、六均建立在對函數進行三角恒等變換的基礎上，使用了不等式放縮法.雖然求解過程使用了四維形式的基本不等式，看似超出了高考要求，但事實上高考中的許多問題使用較為恰當的不等式來解決會更加簡潔和快捷，利用柯西不等式、排序不等式、琴生不等式、權方和不等式等來解決高考中的最值問題和證明不等式方面的例子不勝枚舉，下面我們再利用琴生不等式解決此題.

方向七：誘導公式+函數思想+不等式放縮

由于f(x)是最小正周期為2π的奇函數，故可先研究f(x)在x∈(0,π)上的最值問題，方法如下：

f(x)=2sinx+sin2x=sinx+sinx+sin(π-2x)，

因為函數y=sinx是x∈(0,π)上的上凸函數，故由琴生不等式可知，

事實上，琴生不等式在解決一元函數的最值問題上比較有效，當然該不等式也是函數凹凸性的一個體現，事實上，例1的題源就來源于此.

【例2】已知A,B,C是△ABC的三個內角，求sinA+sinB+sinC的最大值.

解：由于A+B+C=π，設f(x)=sinx且函數y=sinx是(0,π)上的凸函數，故有

琴生不等式的定義：

1.設函數f(x)是定義在區間I上的函數，若對(a,b)上的任意兩點x1,x2，則

當且僅當x1=x2=…=xn時等號成立；

當且僅當x1=x2=…=xn時等號成立.

下面我們拋開三角恒等變換的方向，從解析幾何中的代數觀點來解決此題，這也是解決三角函數問題的一種有效思路.

方向八：高觀點下的二元條件最值問題求解的通法——拉格朗日乘數法

在方向三的基礎上將問題轉化為變量a,b滿足條件a2+(b-1)2=1，求2ab的最小值.

該方法屬于高等數學范疇，但在解決二元最值問題上非常有用，故可在能力較好的學生中或數學學科競賽、培優中推廣使用.