解三角形的五種意識(shí)與備考建議

廣東 劉光明

解三角形知識(shí)是全國(guó)卷歷年高考的必考知識(shí)，試題難度中等，要求思維靈活.一方面，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》明確要求“借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理.能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.”在教學(xué)建議中，提出“引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量解決一些幾何問(wèn)題”.另一方面，2019年版人教A版新教材中余弦定理、正弦定理的內(nèi)容安排與原教材相比變化較大：一個(gè)變化是這個(gè)內(nèi)容不獨(dú)立成章，而是平面向量的一部分；另一個(gè)變化是余弦定理、正弦定理都用向量方法證明.

基于新課標(biāo)的要求和新教材的導(dǎo)向，結(jié)合高三復(fù)習(xí)教學(xué)實(shí)踐，處理解三角形問(wèn)題一般可以從定理、幾何、解析、基底和轉(zhuǎn)化五個(gè)方面進(jìn)行探索，下面結(jié)合以下例題進(jìn)行闡述，以期拋磚引玉.

(1)求c；

(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn), 且AD⊥AC, 求△ABD的面積.

一、定理意識(shí)

所謂定理意識(shí)就是指借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、射影定理以及三角形內(nèi)角和定理等與三角形相關(guān)的定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”或者“角化邊”進(jìn)行解三角形的自然思維.余弦定理、正弦定理是解三角形的依據(jù)，通過(guò)由已知元素定量計(jì)算其他元素把握三角形這個(gè)基本圖形，故而定理意識(shí)是解三角形的常規(guī)認(rèn)知.

方法1：余弦定理

方法2：正弦定理

點(diǎn)評(píng)：同樣關(guān)注到了兩角互補(bǔ)這一幾何特征，但方法2正弦定理的運(yùn)算顯然要比方法1簡(jiǎn)潔，因此在定理使用過(guò)程中也需要不斷嘗試，合理取舍.

二、幾何意識(shí)

幾何意識(shí)是指根據(jù)三角形的幾何特征，通過(guò)合理構(gòu)造直角三角形、外接圓、平行四邊形等特殊的幾何圖形，利用幾何關(guān)系進(jìn)行解三角形的理性認(rèn)知.三角形本身就是一個(gè)幾何圖形，聯(lián)想到幾何意識(shí)解三角形也是直觀想象核心素養(yǎng)的自然呈現(xiàn).

方法3：構(gòu)造直角三角形

點(diǎn)評(píng)：作垂線，一般三角形就能夠回歸到最熟悉的直角三角形，加之題干中AD⊥AC，構(gòu)造垂線之后不僅有垂線，還有平行線，更增加了線段間的比例.充分借助已知的角和邊，再加一個(gè)直角，解三角形便順其自然.

方法4：構(gòu)造平行四邊形

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)作平行線構(gòu)造平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解邊角關(guān)系也是一種巧妙方式，并且從中可以窺探三角形試題的命題思路——從平行四邊形中截取一個(gè)三角形.

方法5：重心性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：聯(lián)想到重心性質(zhì)其實(shí)是受到前面求解中點(diǎn)D的啟發(fā)，才會(huì)去思考能不能直接證明重心，從而推導(dǎo)出中線，判斷出點(diǎn)D是中點(diǎn).如果沒(méi)有前面的思考，此想法不會(huì)那么容易獨(dú)立發(fā)現(xiàn).

方法6：構(gòu)造外接圓

從上述方法3至方法6的推理中不難發(fā)現(xiàn)，充分挖掘三角形中的垂直、平行、相似等幾何條件，通過(guò)作垂線、作圓等輔助方式能夠得到邊角的等量關(guān)系，通過(guò)解方程求解出相應(yīng)的量.但幾何關(guān)系的尋找要求初中平面幾何知識(shí)非常扎實(shí)，同時(shí)直觀想象核心素養(yǎng)要求也較高.

三、解析意識(shí)

解析意識(shí)就是建立坐標(biāo)系，點(diǎn)坐標(biāo)化后將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算處理的數(shù)形結(jié)合思維.三角形是平面幾何圖形，建立平面直角坐標(biāo)系后，三角形的頂點(diǎn)都能夠用坐標(biāo)表示出來(lái)，再結(jié)合解析幾何相關(guān)的軌跡方程、直線方程、直線與曲線位置關(guān)系等知識(shí)可進(jìn)行代數(shù)化運(yùn)算得到結(jié)果.

方法7：建系坐標(biāo)解析法

點(diǎn)評(píng)：充分利用幾何圖形中的垂直關(guān)系建立平面直角坐標(biāo)系，使得盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這是建系的原則.建系后，點(diǎn)坐標(biāo)化，未知點(diǎn)則需要假設(shè)，然后將條件和結(jié)論都翻譯成坐標(biāo)形式，根據(jù)解析幾何知識(shí)進(jìn)行處理即可.

四、向量基底意識(shí)

向量具有明確的幾何背景，向量的運(yùn)算具有明顯的幾何意義，涉及長(zhǎng)度、夾角的幾何問(wèn)題可以通過(guò)向量及其運(yùn)算得到解決.因此引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用向量解決幾何問(wèn)題，讓學(xué)生掌握平面幾何的向量方法.向量基底意識(shí)就是選擇一組基底，把所要求解的量轉(zhuǎn)化為基底表示，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，借助向量的運(yùn)算解決幾何問(wèn)題的意識(shí).這種方法關(guān)鍵在選擇合理的基底，難點(diǎn)在幾何與向量間的轉(zhuǎn)化，完美實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合.

方法8：向量基底法

五、轉(zhuǎn)化意識(shí)

解三角形中的轉(zhuǎn)化意識(shí)就是將所要直接求解的結(jié)論，通過(guò)借助其他相關(guān)的圖形間接求解結(jié)論的一種思維意識(shí)，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題比較常見的思考方向.

方法9：借助面積比

點(diǎn)評(píng)：本題中最關(guān)鍵也是最難求解的量就是AD的長(zhǎng)度，通過(guò)與公共邊AD相關(guān)的兩個(gè)三角形的面積比巧妙化解求未知量的困境.

相關(guān)試題鏈接：

【題1】(2021·新高考Ⅰ卷·19)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC．

(1)證明：BD=b； (2)若AD=2DC，求cos∠ABC．

【題2】(2022·山東德州高三12月聯(lián)考·18)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知c2=ab，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，CDsin∠ACB=asinB．

(1)證明：CD=c；

(2)求cos∠ACB.

六、備考建議

1.關(guān)注定理的生成過(guò)程，重視知識(shí)的本質(zhì)

高三解三角形復(fù)習(xí)課雖是溫習(xí)所學(xué)過(guò)的知識(shí)，但更是對(duì)解三角形的重新認(rèn)識(shí)，對(duì)解三角形本質(zhì)的再升華.因此解三角形復(fù)習(xí)課需要數(shù)學(xué)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)定理生成過(guò)程的回顧，需要單元主題的視角構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步促進(jìn)解三角形本質(zhì)的認(rèn)識(shí).如，以問(wèn)題“敘述并證明正弦定理和余弦定理”“為什么大邊對(duì)大角？”“為什么兩邊之和大于第三邊”等回顧正弦定理和余弦定理的內(nèi)容和證明定理的思想方法，并運(yùn)用定理證明一些常用結(jié)論，構(gòu)建知識(shí)體系的同時(shí)也感悟解三角形的基本思考方向.

2.樹立經(jīng)典三角模型意識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)間聯(lián)系與整合

三角形這個(gè)幾何圖形不是孤立存在的，平面向量、解析幾何、立體幾何甚至數(shù)列主題知識(shí)的考查都會(huì)不經(jīng)意間用到解三角形的知識(shí).因此在三角形復(fù)習(xí)中，要提煉一些經(jīng)典模型，如文中例題和2021年新高考Ⅰ卷解三角形試題，都是用到互補(bǔ)角這一“爪子模型”，另外還有“隱圓模型”“角平分線”模型等.通過(guò)識(shí)別常見三角形命題情境，快速尋找破題思路.適當(dāng)引入相關(guān)知識(shí)的交匯情境，讓學(xué)生更能夠意識(shí)到三角形的地位，也體會(huì)到“四層”“四翼”的高考要求.

3.夯實(shí)幾何直觀素養(yǎng)，加強(qiáng)運(yùn)算能力培養(yǎng)

三角形是一個(gè)簡(jiǎn)單卻又充滿魅力的幾何圖形，從幾何關(guān)系的角度能夠解決的問(wèn)題通常都不會(huì)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算.作垂線構(gòu)造直角三角形、將不規(guī)整圖形進(jìn)行割補(bǔ)整合成規(guī)整圖形、利用三角形外接圓等常見幾何方式能夠孕育學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)，也為解三角形簡(jiǎn)化運(yùn)算程序，由形得到數(shù)的結(jié)論.但也常常遇到方程組的求解，不能繞開計(jì)算，故而復(fù)習(xí)過(guò)程中強(qiáng)調(diào)方法的同時(shí)也要注重計(jì)算能力的訓(xùn)練.

4.重視思維的靈活度，提升深度復(fù)習(xí)質(zhì)量

解三角形復(fù)習(xí)課不能僅僅停留在正弦定理和余弦定理這一狹窄的思維空間里，與其他知識(shí)復(fù)習(xí)一樣，需要探索一題多解，拓寬思維的廣度，增強(qiáng)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)度，達(dá)到知識(shí)本質(zhì)學(xué)習(xí)的深度.向量和三角形的融合，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，更能體現(xiàn)向量的工具性，也為解三角形插上翱翔的翅膀.通過(guò)“解三角形基本意識(shí)”“三角形中的范圍問(wèn)題”“三角形面積問(wèn)題”等微專題突破解三角形主題知識(shí)的復(fù)習(xí)，以微視角專注提升深度復(fù)習(xí)的質(zhì)量.

5.明晰學(xué)生易犯錯(cuò)誤，規(guī)范解三角形的過(guò)程表達(dá)

大部分學(xué)生還是有信心去解答解三角形試題的，主干知識(shí)和常規(guī)解法都不會(huì)存在太大問(wèn)題，但細(xì)節(jié)的處理上面還是經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些小問(wèn)題，如“忽略角的范圍”“角的單位不統(tǒng)一”“定理內(nèi)容不完整”“方程組求不出來(lái)解”等.復(fù)習(xí)解三角形主題知識(shí)時(shí)，不要有僥幸或者不屑的思想，踏踏實(shí)實(shí)嚴(yán)抓學(xué)生的規(guī)范表述能夠?yàn)楦呖荚鎏砀喙獠?，為?shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)性訓(xùn)練提供沃土.