演繹數(shù)學(xué)思維 提升數(shù)學(xué)能力
——以一道平面向量的數(shù)量積問(wèn)題為例

福建 盧秀敏 包 喜

數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)主要是以專(zhuān)題為主、微專(zhuān)題為輔，以突破核心考點(diǎn)、提升關(guān)鍵能力為宗旨，以豐富的數(shù)學(xué)文化為底蘊(yùn)，以不同視角的解題思想和方法為平臺(tái)，演繹數(shù)學(xué)思維的多彩多姿.本文選取一道平面向量的數(shù)量積求最值問(wèn)題，深挖例題的示范作用和延伸價(jià)值，整合二輪復(fù)習(xí)時(shí)的例題知識(shí)容量，綜合提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

向量是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)重要工具，它既從“大小”這個(gè)代數(shù)角度，又從“方向”這個(gè)幾何角度，賦予研究對(duì)象豐富的研究視角，讓數(shù)學(xué)研究對(duì)象鮮活靈動(dòng)起來(lái).對(duì)平面向量的考查中，又是以其數(shù)量積的運(yùn)算為主.向量的數(shù)量積有代數(shù)運(yùn)算：a·b=|a|·|b|·cos=x1x2+y1y2，同時(shí)有幾何意義：一個(gè)向量的模長(zhǎng)與另一個(gè)向量在其方向上的投影之積.如何應(yīng)用好代數(shù)與幾何的觀察角度，選擇合理的分析方法，可精彩演繹數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)換過(guò)程，可有效提升數(shù)學(xué)學(xué)科能力，可從根本上形成數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

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此題響應(yīng)新高考命題要求，源于生活，用于生活.以體育運(yùn)動(dòng)中的自行車(chē)為模型，以等邊三角形與圓這兩個(gè)平面幾何圖形為問(wèn)題背景，通過(guò)圓上動(dòng)點(diǎn)與圓外定點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行合理滲透，通過(guò)圓上動(dòng)點(diǎn)繞圓心運(yùn)動(dòng)的變化過(guò)程，以平面向量數(shù)量積的運(yùn)算為平臺(tái)，考查其變化結(jié)果的最大值問(wèn)題.

破解該題時(shí)，可以依據(jù)平面向量數(shù)量積的“代數(shù)”關(guān)系進(jìn)行切入，借助函數(shù)思維，利用三角函數(shù)、柯西不等式，通過(guò)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角函數(shù)的值域、不等關(guān)系來(lái)分析與求解；可以利用平面幾何圖形的“幾何”特征，借助數(shù)量積的幾何意義、線性規(guī)劃的技巧，運(yùn)用極限思想尋找最值情況.

二、問(wèn)題破解

1.思維視角一：緊抓“代數(shù)”關(guān)系——函數(shù)思維

解法1：坐標(biāo)法

點(diǎn)評(píng)：本解法通過(guò)建系設(shè)點(diǎn)，將所要研究的向量數(shù)量積、動(dòng)點(diǎn)所在的圓坐標(biāo)化，依據(jù)雙變量求最值的問(wèn)題導(dǎo)向，采用三角換元，換雙變量x0,y0為單變量θ，再根據(jù)輔助角公式轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)，由余弦函數(shù)的最值得目標(biāo)函數(shù)的最值.此解法思路簡(jiǎn)單、方法老套，但“少思則多算”，解題過(guò)程冗長(zhǎng)煩瑣，需要具備較好的運(yùn)算求解能力.

解法2：向量法

點(diǎn)評(píng)：本解法通過(guò)分析三角形之間的邊角關(guān)系，將未知模長(zhǎng)與方向的向量化為已知模長(zhǎng)與夾角的向量，轉(zhuǎn)換研究對(duì)象，化繁為簡(jiǎn)，化動(dòng)為靜，以三角函數(shù)呈現(xiàn)研究結(jié)果，結(jié)合余弦函數(shù)的最值求得目標(biāo)函數(shù)的最值.此解法靈巧方便，但“少算”則需“多思”，解題之前需細(xì)細(xì)思量研究對(duì)象在平面圖形中的位置關(guān)系，以靜制動(dòng)，需要良好的推理論證、抽象概括能力.

解法3：不等式法

點(diǎn)評(píng)：本解法在建系設(shè)點(diǎn)之后，將研究對(duì)象平面向量的數(shù)量積通過(guò)坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)了代數(shù)化，聯(lián)系目標(biāo)函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)軌跡方程之間的代數(shù)關(guān)聯(lián)性，構(gòu)造柯西不等式的結(jié)構(gòu)模型，借助柯西不等式求得目標(biāo)函數(shù)的最值.此解法巧妙建立數(shù)學(xué)模型，巧借數(shù)學(xué)公式，輕松化解目標(biāo)求解過(guò)程，對(duì)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)提出了較高的要求.

2.思維視角二：細(xì)看“幾何”特征——幾何思維

解法4：線性規(guī)劃法

點(diǎn)評(píng)：本解法在建系設(shè)點(diǎn)之后，按部就班地將平面向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，再依據(jù)線性規(guī)劃的原理，將線性目標(biāo)的最值轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系，最后通過(guò)圓心到直線的距離等于半徑的關(guān)系，解得目標(biāo)函數(shù)的最大值.此解法重在分析研究目標(biāo)的“線性”幾何特征，動(dòng)點(diǎn)的“圓形”幾何特征，故對(duì)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出了較高的要求.

解法5：幾何投影法

點(diǎn)評(píng)：本解法從向量的數(shù)量積的幾何意義，通過(guò)投影的變化過(guò)程，直觀感知投影變化的最值情況，代入公式可得結(jié)論.此解法形象易懂，依據(jù)簡(jiǎn)單，主要考查對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象的法則理解，對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的基本了解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念的重要性，對(duì)空間想象與抽象概括能力有基本性的要求.

三、變式拓展

變式2：將題設(shè)條件中的圓D軌跡改為拋物線y2=2px(p>0)，則目標(biāo)函數(shù)應(yīng)相應(yīng)改為以y0為自變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的模型求得最值.

變式目的：將解析幾何的基本圖形嫁接到本題的題干中，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力上的知識(shí)遷移能力，在不變的思維方式上，體驗(yàn)不斷變化的問(wèn)題環(huán)境，體會(huì)數(shù)學(xué)思維與能力的無(wú)限空間.

四、教學(xué)啟示

1.向?qū)W科知識(shí)要精度

數(shù)學(xué)是高度抽象、強(qiáng)調(diào)邏輯，有一套自己的語(yǔ)言系統(tǒng)的學(xué)科.每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次的驗(yàn)證、完善形成的，其精確度是經(jīng)歷幾百年的歷史論證的.在數(shù)學(xué)解題之前，必須明確每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，二輪復(fù)習(xí)的教學(xué)中也要優(yōu)先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“四個(gè)追問(wèn)”：追問(wèn)核心考點(diǎn)的準(zhǔn)確表述；追問(wèn)核心考點(diǎn)的理解程度；追問(wèn)核心考點(diǎn)的應(yīng)用價(jià)值；追問(wèn)核心考點(diǎn)的使用方法.李士锜教授在其《熟能生巧嗎？》的文章中，提出“數(shù)學(xué)只有被深刻理解了，才具有遷移與應(yīng)用的活性.”對(duì)數(shù)學(xué)概念的精細(xì)化理解有助于解題方向的明確，有助于解題方法的簡(jiǎn)化.

2.向?qū)W科能力要廣度

數(shù)學(xué)的研究方法是豐富多彩的，“多思少算”“少思多算”是區(qū)分學(xué)科能力形成的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).數(shù)學(xué)學(xué)科中抽象概括能力考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，將文字與符號(hào)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思維；空間想象能力考查幾何問(wèn)題的知識(shí)遷移到代數(shù)運(yùn)算；運(yùn)算求解能力引導(dǎo)數(shù)據(jù)處理能力與推理論證能力的綜合應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)用數(shù)據(jù)說(shuō)話的數(shù)學(xué)學(xué)科作用；應(yīng)用與創(chuàng)新能力促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科在不同領(lǐng)域的擴(kuò)展與延伸.不同角度地觀察同一個(gè)研究對(duì)象，可有不同的視角下的不同理解，有助于不同學(xué)科能力的同步提升.

3.向優(yōu)等生培養(yǎng)要深度

習(xí)主席說(shuō)：“當(dāng)今世界的競(jìng)爭(zhēng)說(shuō)到底就是人才競(jìng)爭(zhēng)、教育競(jìng)爭(zhēng).”數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，在國(guó)家強(qiáng)基計(jì)劃中占據(jù)首位，它對(duì)人才的培養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用.對(duì)于二輪復(fù)習(xí)的課堂例題，在講解分析的過(guò)程中，隨時(shí)對(duì)條件的觀察，聯(lián)想與之有關(guān)的結(jié)論，這應(yīng)該是優(yōu)秀學(xué)生必須具備的一種思維習(xí)慣.蘇霍姆林斯基說(shuō)思維培養(yǎng)的最好方式是“一邊思考、一邊觀察，在觀察中思考，在思考中觀察.”二輪教學(xué)要根據(jù)學(xué)情，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)優(yōu)等生為目標(biāo)，不斷拓展思維深度，塑造優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才.

4.向?qū)W科素養(yǎng)要高度

學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受學(xué)科教育的過(guò)程中，逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.站在學(xué)科素養(yǎng)的高度，審視高三二輪復(fù)習(xí)的例題講解，可有效綜合不同知識(shí)點(diǎn)之間的融合，如本題的平面向量、三角函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃、解析幾何，奇妙地展示了數(shù)學(xué)思維的靈活轉(zhuǎn)換，吸引了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探究的興趣，提升其數(shù)學(xué)研究的能力，培養(yǎng)多方面的學(xué)科核心素養(yǎng).

五、結(jié)束語(yǔ)