基于單元教學的問題情境創(chuàng)設思考

甘肅 張建文

核心素養(yǎng)是新課改的主要目標，在數(shù)學學科教學中力求提高學生的思維能力.數(shù)學核心素養(yǎng)的落實在常規(guī)課堂中的“滲透”，需要在知識生成過程中設置恰當?shù)膯栴}情境來引導學生思考，促進學生思維能力的發(fā)展.在設計層面，需要教師研究本部分知識所要培養(yǎng)的數(shù)學核心素養(yǎng)，了解學生知識基礎，在此基礎上創(chuàng)造性的設計單元教學設計以及具體的課時設計安排.高質(zhì)量的問題情境能更好地激發(fā)學生的思維，促進學生進入理性思考，使得學生會學習，愛學習，從中享受到學習的快樂,進而達到培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的目的.

問題情境主要有科學情境、數(shù)學情境和現(xiàn)實情境.問題情境的設計，需要以素養(yǎng)為目標，以學情為基礎，以知識的邏輯結(jié)構(gòu)為原則，教師結(jié)合自己的教學風格，創(chuàng)造性的設計形式多樣的符合學生身心發(fā)展的問題情境.問題情境的設計在不同的知識模塊或是不同學情的學生中也有所區(qū)別.在一般情況下，讓多數(shù)學生感到困難的知識和邏輯性較強的內(nèi)容，教師應著力設計各種問題情境加以突破，教學中的問題情境創(chuàng)設應該圍繞重點和難點進行有效展開.在問題情境設計過程中，教師應遵循一定的規(guī)律，下面筆者就談談課堂教學中問題情境的創(chuàng)設規(guī)律.

根據(jù)授課類型和教學內(nèi)容的不同，有新授課、復習課、總結(jié)課、實踐探究課、習題講解課和試卷講評課等.不同的課型可能只適合某一個或某幾個特性的問題情境，例如新授課中的概念教學就適合層次遞進性的問題情境，新授課中的定理或公理的教學就適合總結(jié)歸納性和演繹精致性的問題情境，繪圖教學就適合操作指引性的問題情境.習題講解課就適合變式延伸性的問題情境，理解角度多樣化的學習內(nèi)容就適合開放發(fā)散性的問題情境，總結(jié)課就適合總結(jié)優(yōu)化性的問題情境等等.無論如何，教師在創(chuàng)設問題情境的時候要考慮課型、授課內(nèi)容和授課環(huán)節(jié)的適宜性，力求創(chuàng)設的問題情境適宜而高效.

1.層次遞進性

問題情境的創(chuàng)設目的就是啟發(fā)學生進行獨立思考，要達到啟發(fā)的狀態(tài)就需要對學生思維進行漸進式引導,所以層次遞進性是問題情境創(chuàng)設的重要特性.層次遞進性就是指在問題情境創(chuàng)設時，從知識本身的邏輯結(jié)構(gòu)和學生接受程度看，按照由易到難、由淺到深、由少到多、由表及里、由現(xiàn)象到本質(zhì)的順序設計系列問題.系列問題一般由多個問題組成，前面的問題是后面問題的前提，后面的問題是前面問題的深入，只有解決了前面的問題才會深入到后面的問題，系列問題層次遞進有序發(fā)展，促使學生的思考強度逐漸加強，使得學生始終處于思維運動當中，不斷進行自我知識結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，形成良好的學習習慣和思維習慣.

教學案例1.《方程的根和函數(shù)的零點》問題情境設計片段

師：在初中，我們怎么求解兩個一次函數(shù)，即求y=k1x+b1與y=k2x+b2圖象的交點？

師：如何求解函數(shù)y=f(x)和y=g(x)圖象的交點呢？

師：從幾何角度看，如何求解方程f(x)=0根的個數(shù)問題？

生：可以繪制函數(shù)y=f(x)的圖象，觀察其與x軸的交點個數(shù).

師：從幾何角度，如何求解函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點呢？

生：繪制函數(shù)y=f(x)-g(x)的圖象，觀察其與x軸的交點個數(shù).

師：還有其他解決方法嗎？

生：繪制函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象，觀察其交點個數(shù).

設計評價：此例是以方程的根和函數(shù)零點為載體進行設計的，先由兩直線的交點入手，提出兩個函數(shù)圖象的交點問題，引起學生的認知沖突，進而引導學生從幾何角度理解函數(shù)的零點個數(shù)問題，再引導學生對方程結(jié)構(gòu)進行變形，用兩函數(shù)圖象的交點問題解決復雜問題.這種問題情境設計在難度上逐漸增加，層層遞進，將學生的思維引向深處,使得學生能夠體會到從簡單到復雜的變化過程，逐漸培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).

2.演繹精致性

創(chuàng)設問題情境依賴于學生的理解困惑，旨在解決學生在認知和思維上的盲區(qū).數(shù)學命題的教學中一條很重要的環(huán)節(jié)就是對得到的數(shù)學命題進行多角度分析理解，從命題結(jié)構(gòu)、條件特點、結(jié)論及其之間的關(guān)系等角度分解與重組.演繹精致性是指從數(shù)學命題的結(jié)構(gòu)、條件、結(jié)論及其之間的關(guān)系出發(fā)，按照邏輯演繹的關(guān)系由一般到具體進行逐層設問.通常將變量具體化、變量代換、結(jié)構(gòu)重組以及推論等形式，就是將高度抽象的數(shù)學命題變換得更加具體和直觀.一般地，先從具體數(shù)值開始設問，逐步到變量代換，讓學生經(jīng)歷由一般到特殊，再到一般的思維過程，從結(jié)構(gòu)上體會并深刻理解數(shù)學命題的特點.

教學案例2.《正弦定理》問題情境設計片段

師：從結(jié)構(gòu)上看有什么特點？

師：三條邊之間的比值和三個角有什么關(guān)系？

生：根據(jù)公式的結(jié)構(gòu)可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.

師：邊之間的大小關(guān)系和角有什么關(guān)系？比如有a>b，角A,B有什么關(guān)系？

生：a≥b?sinA≥sinB，可以總結(jié)為大邊對大角，小邊對小角，等邊對等角.

設計評價：正弦定理是解釋三角形邊角關(guān)系的重要定理，在理解定理的時候，先從具體數(shù)值開始進行方程運算，得到三角形的其他元素，體現(xiàn)了從一般到具體的演繹性設計思路，再從結(jié)構(gòu)上進行分解觀察，得到一般計算邊角關(guān)系的小推論或小結(jié)論,最后從邊的不等關(guān)系入手，引導學生觀察得到角之間的不等關(guān)系.對公式和定理進行多角度創(chuàng)設問題情境，能使得學生對公式和定理的理解更加深刻.

3.操作指引性

問題情境是引導學生思考方向的重要指引，能為學生提供可靠的思考轉(zhuǎn)折點.活動類數(shù)學課程或是繪圖教學要求學生能夠按照流程進行活動或繪制比較規(guī)范的圖形.操作指引性是指基于繪圖要求，在學生容易出錯的地方和操作的關(guān)鍵步驟處進行設問，旨在促使學生把握繪圖的關(guān)鍵步驟，形成良好的繪圖習慣.設置的問題情境重在引導學生如何操作，對作圖進行要求性設問，提醒學生進行自我反思，并對繪圖結(jié)果能夠進行有效檢驗.另外，在動態(tài)圖形的繪制過程中，操作指引性的問題情境還能夠促進學生進行直觀想象，思考并體會動態(tài)變化過程.可以說操作指引性的問題情境是活動類課程的活動流程和繪圖的操作說明書，是對整個過程進行方向性的把控，使得整個過程按預定方向進行.在促進學生數(shù)學抽象和直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方面具有積極的作用.

教學案例3.《拋物線的性質(zhì)應用》問題情境設計片段

例題:點P是拋物線y=-x2上的點，點Q是直線l:4x+3y-8=0上的點，求|PQ|的最小值.

師：你能畫出拋物線和直線嗎？

生：可以，如圖，能夠看出直線和拋物線不相交.

師：能否想象P和Q是如何運動的？

生：P在拋物線上自由運動，Q在直線上自由運動.

師：你能想象并在圖中表示出P與Q最近的位置情況嗎？

生：如圖，通過觀察想象，當P，Q大致在如圖位置時，距離最小.

師：你能說說此時P，Q具有什么樣的特點？

生：如圖，此時有直線l1與拋物線相切于點P，且與l平行，過P的直線垂直l于點Q，此時|PQ|最小.

設計評價：直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是在繪圖教學中滲透實現(xiàn)的，如何在繪圖教學中引導學生進行理性思考規(guī)范操作是落實核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.拋物線是圓錐曲線中考查動態(tài)思想的重要載體，問題情境的創(chuàng)設既要體現(xiàn)作圖的規(guī)范引導性又要促使學生想象動點的動態(tài)變化過程,在作圖的關(guān)鍵位置進行提醒性設問，在動點的特殊位置進行分析轉(zhuǎn)化.此例中促使學生作圖以及確定P，Q在特殊位置處的幾何條件是比較關(guān)鍵的.

4.選擇區(qū)別性

創(chuàng)設問題情境在一定程度上要引導學生對研究對象進行必要的分析比較.分析比較尋找研究對象的異同是數(shù)學學習過程中的重要學習方法，教師要設計合理的教學環(huán)節(jié)促使學生對研究對象分析比較，培養(yǎng)良好的學習習慣.選擇區(qū)別性是指基于研究對象和已有知識模型之間的相似性和延伸性，結(jié)合學生的認知沖突，引導學生進行比較、判斷進而選擇設問的特點.這種問題情境通常引導學生比較兩個或多個數(shù)學對象的異同，區(qū)分它們的特點，使得知識點不至于混淆，或應用類比思想對數(shù)學對象進行研究.這樣的問題情境能夠極大地激發(fā)學生思維的連貫性，使得學生能夠借助已有的知識去解決新問題，調(diào)動已有的知識儲備，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，從而更好地培養(yǎng)學生的學習習慣，培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

教學案例4.《指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)》問題情境設計片段

師：我們已經(jīng)學習了冪函數(shù)，你能說說指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)在解析式上有什么異同嗎？

生：指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的解析式都是冪的結(jié)構(gòu)ab，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的自變量在指數(shù)位置，而冪函數(shù)y=xα(α≠0)的自變量在底數(shù)位置.

師：回想冪函數(shù)的研究方法，我們怎么來研究指數(shù)函數(shù)？

生：根據(jù)冪運算基本不等式可以判斷指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的單調(diào)性：

(1)當a>1時，?x1,x2∈R，且x10，所以ax2-x1>1，ax2>ax1.

故y=ax在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;

(2)當00，所以ax2-x1<1，ax2

故y=ax在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減.

……(中間問題情境省略)

師：你能說說冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象的異同嗎？

生：冪函數(shù)的圖象依賴α的取值，分α>1,α=1,0<α<1與α<0四種情況，不同類型對應的函數(shù)圖象和性質(zhì)差異很大，而指數(shù)函數(shù)的圖象依賴a的取值，分a>1與0

設計評價：知識與方法的遷移應用是學以致用的關(guān)鍵，而分析比較研究對象和已有知識結(jié)構(gòu)的異同是實現(xiàn)知識遷移的前提.在學習了冪函數(shù)的性質(zhì)之后，可以借用冪函數(shù)的研究方法來研究指數(shù)函數(shù)，這不僅是知識和方法的遷移應用更是思維習慣的培養(yǎng)，能促使學生思考借助已有知識解決更多的問題，包括生活問題等.此例中的問題情境創(chuàng)設旨在分析比較冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的異同以及促使學生借助冪函數(shù)的研究方法來研究指數(shù)函數(shù).在實施課堂教學時要從語言表情等方面表現(xiàn)出“引”的特點.

5.總結(jié)優(yōu)化性

創(chuàng)設問題情境的一個重要功能就是優(yōu)化學習方法，促使學生養(yǎng)成良好的思維習慣和學習習慣.數(shù)學知識的學習不僅要理解知識之間的邏輯結(jié)構(gòu)，還要注意規(guī)范嚴格的書面表達.通過對數(shù)學知識和解答流程進行歸納總結(jié)，可以使得數(shù)學知識的記憶量得以精簡，從而便于知識之間的整合遷移轉(zhuǎn)化.總結(jié)優(yōu)化性是指在學生經(jīng)歷了一定的新知識學習，從學法優(yōu)化、知識精簡和自我反思等角度出發(fā)而創(chuàng)設問題.這樣的問題設計旨在引導學生進行知識梳理，或?qū)獯鹆鞒踢M行回顧和再度深思，發(fā)現(xiàn)初始階段理解的偏差性，并及時彌補，一般在課堂教學的后期進行.進一步來說，這樣的問題情境需要對學生的狀態(tài)有較為精準的把握，幫助學生進行深度反思并進行知識的再理解，優(yōu)化學習方法等，對培養(yǎng)核心素養(yǎng)有不可替代的作用.

教學案例5.《第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)——章末復習》問題情境設計片段

師：我們學習了函數(shù)的單調(diào)性，你能用簡潔的語言說說函數(shù)單調(diào)性在圖象上的特點嗎？

生：從幾何角度看，增函數(shù)的圖象從左向右持續(xù)上升，減函數(shù)的圖象從左向右持續(xù)下降.

師：從代數(shù)角度看，函數(shù)的單調(diào)性在數(shù)值變化角度有什么特點？

生：增函數(shù)的自變量與函數(shù)值的變化趨勢一致，即x1>x2?f(x1)>f(x2)；減函數(shù)的自變量與函數(shù)值的變化趨勢相反，即x1>x2?f(x1)

師：你能總結(jié)一下函數(shù)單調(diào)性的判斷方法嗎？

生：方法一(定義法)：對?x1,x2∈I，且x1>x2，均有f(x1)>f(x2)，則f(x)在I上單調(diào)遞增;對?x1,x2∈I，且x1>x2，均有f(x1)

方法三(圖象法)：二次函數(shù)單調(diào)性需要繪圖觀察，分段函數(shù)的單調(diào)性也需要繪圖觀察，含有絕對值符號的函數(shù)也需要借助圖象來分析.

方法四(看函數(shù)結(jié)構(gòu)法)：可簡單總結(jié)為增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)，

師：你能說說單調(diào)性的應用嗎？

生：第一，利用單調(diào)性可以進行函數(shù)值大小判斷；第二，可以解函數(shù)型不等式.

設計評價：本例是以函數(shù)單調(diào)性為載體進行總結(jié)優(yōu)化性的問題創(chuàng)設，從定義角度進行最本質(zhì)的總結(jié)；其次總結(jié)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，這要求學生對做過的練習題進行過程梳理優(yōu)化，提煉出判斷單調(diào)性的共性；最后對函數(shù)單調(diào)性應用進行總結(jié).在問題情境創(chuàng)設中，“用簡潔的語言說說”意在引導學生要對函數(shù)單調(diào)性進行精簡優(yōu)化，抓住單調(diào)性的本質(zhì)和關(guān)鍵特征，當然在具體教學過程中，要結(jié)合學生的學習基礎對所提的問題進行更加具體的的表述，使得學生能夠按照預設的教學節(jié)奏進行.

6.變式延伸性

創(chuàng)設問題情境的一個重要目標就是引導學生能夠利用已學知識有效解決問題.解決數(shù)學問題是對知識進行鞏固和再度加工的重要方式，在一定程度上，學習數(shù)學就是學習解決問題的工具和方法.例題是學生學習新知識之后遇到的第一類數(shù)學問題，需要教師進行講授或引導思考.變式延伸性是指學生經(jīng)過了例題的學習思考，對知識的應用有一定程度的理解，教師對問題條件、問題表述和設問方式等進行變式設問.這種問題情境能夠促使學生對知識的理解更加全面準確，對知識的應用范圍有邊界性認識，能夠達到“做一道，會一類”的效果，解決“會而不對，對而不全”的問題，進而提高學習效果，提高學生的思維質(zhì)量.在實際教學過程中，這種變式訓練要結(jié)合學生的學習基礎進行創(chuàng)造性的設計，以保證學生學有所獲，不同基礎的學生都能夠有符合自己實際的最大進步.

教學案例6.《抽象函數(shù)的對稱性、周期性和奇偶性的相互轉(zhuǎn)化》問題情境設計片段

例題：若定義在R上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點A(a,0)對稱，判斷函數(shù)y=f(x+a)的奇偶性.

師：如果y=f(x+a)為奇函數(shù)，那么y=f(x)具有什么樣的對稱性？

生：若y=f(x+a)為奇函數(shù)，則有f(x+a)+f(-x+a)=0，即y=f(x)圖象關(guān)于點A(a,0)對稱.

師：若y=f(x)的圖象關(guān)于點A(a,b)對稱，你能得出哪個函數(shù)具有什么樣的性質(zhì)？

生：若y=f(x)的圖象關(guān)于點A(a,b)對稱，則f(x+a)+f(-x+a)=2b，即f(x+a)-b+f(-x+a)-b=0，所以y=f(x+a)-b為奇函數(shù).

師：若y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，你能得出哪個函數(shù)具有什么樣的性質(zhì)？

生：若y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，則f(x+a)=f(-x+a)，所以函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù).

設計評價：本例是以抽象函數(shù)為載體進行變式延伸性的問題創(chuàng)設，通過將點(a,0)變換為(a,b)以及將對稱點變換成對稱軸來研究函數(shù)的奇偶性，這樣的變式更有助于學生把握抽象函數(shù)在結(jié)構(gòu)上的特點.另外，反向提問更能促使學生思考理解條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系.一般地，對條件進行跨度不大的延伸或類型調(diào)整，更能促使學生理解知識應用的特點，體會不同條件帶來的差異性，把握解題的流程和規(guī)范表達.

7.開放發(fā)散性

課改旨在培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，要求學生不能機械做題，套用公式，而要多角度分析問題，發(fā)散思維，探尋多種方法解決問題.開放發(fā)散性是指基于一定的研究素材，從條件、過程和結(jié)論三個角度進行不限制的設問.通常有條件開放、過程開放和結(jié)論開放這三種方式，促使學生認真挖掘題目中隱含的條件，克服思維定式.研究載體一般都是以練習訓練題目的形式出現(xiàn)，具有一定的綜合性和拔高性,不但要求學生掌握常規(guī)解答方法還要創(chuàng)造性的思考問題解決的簡便方法,對培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維有很好的價值.在實際教學中，要定期為學生創(chuàng)造這樣的思考機會，可以按照小組討論的形式進行，重在激活學生思維，喚醒學生的靈感，教師的設問方式要體現(xiàn)出鼓勵和引導的特點.

教學案例7.《二項式定理與楊輝三角》問題情境設計片段

師：觀察如圖所示的楊輝三角數(shù)陣，你能繼續(xù)寫出第八行的數(shù)嗎？

生：1，7，21，35，35，21，7，1.

師：你能看出每一個數(shù)字和它上方兩個數(shù)字之間的關(guān)系嗎？

生：數(shù)陣中的每個數(shù)字等于它上方兩數(shù)字之和.

師：橫向看，一行數(shù)字有什么特點？

生：每行數(shù)字左、右對稱，由1開始逐漸增大，再逐漸減小到1.

師：你能看出行數(shù)和該行數(shù)字的個數(shù)有什么關(guān)系嗎？

生：行數(shù)和該行數(shù)字個數(shù)相等.

師：每一行數(shù)字的和與行數(shù)有什么關(guān)系呢？

生：第n行的和為2n-1.

師：(a+b)n的展開式中各項系數(shù)與楊輝三角有怎樣的關(guān)系？

生：(a+b)n的展開式中各項系數(shù)對應楊輝三角第n+1行中的每一個數(shù)字.

設計評價：本例是以楊輝三角數(shù)陣為載體，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維.在列出數(shù)陣之后，經(jīng)過學生的分析，教師從橫向、縱向以及求和等角度去引導學生得出結(jié)果，教師提出的問題之間沒有明確的邏輯關(guān)系，思維之間的跨度比較大，體現(xiàn)出思維發(fā)散的特點.在實施教學的過程中，教師要注意觀察學生的思維狀態(tài)，使得學生思維時刻保持在活躍的狀態(tài)，這是培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的良好契機，對學生的長遠發(fā)展具有積極的作用.