ECP單軸受壓本構(gòu)關(guān)系及數(shù)值模擬

羅陽驍，田北平，李 俊，趙雅娜，易 兵

（四川輕化工大學(xué)a.材料科學(xué)與工程學(xué)院；b.土木工程學(xué)院，四川 自貢 643000）

引 言

ECP 可以滿足我國目前建筑市場的需求[1]。對(duì)于這種新型建筑材料，材料本構(gòu)關(guān)系的選取對(duì)于其結(jié)構(gòu)分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和合理性有關(guān)鍵性作用，因而將對(duì)ECP單軸受壓本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行探索分析。

近年來，在國內(nèi)外的研究中關(guān)于ECP 本構(gòu)模型的研究鮮有報(bào)道，因此本文參考了相關(guān)復(fù)合材料的文獻(xiàn)資料對(duì)其進(jìn)行探索。HAN 等[2]提出了雙折線本構(gòu)模型，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系上升段和下降段均采用斜直線表示，該模型雖然表達(dá)簡單，但未考慮材料的殘余應(yīng)力，模型與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比存在一定差異。

此外，多數(shù)國外研究更傾向于采用有理分式描述材料本構(gòu)關(guān)系，翁婉琳[3]歸納了多位國外學(xué)者提出的有理分式。國內(nèi)也有學(xué)者參考國外有理分式，在纖維混凝土、纖維水泥等材料的本構(gòu)關(guān)系上進(jìn)行探索。例如李艷[4]采用單軸受壓試驗(yàn)，經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)給出了新的有理分式，并且對(duì)待定參數(shù)的物理意義進(jìn)行了闡述。

我國最常見的本構(gòu)關(guān)系是過鎮(zhèn)海模型[5]，與國外不同的是，過鎮(zhèn)海模型采用的連續(xù)分段函數(shù)表示（曲線上升階段為多項(xiàng)式，下降階段為有理分式）。過鎮(zhèn)海模型也常被許多研究者運(yùn)用在纖維水泥基復(fù)合材料的本構(gòu)關(guān)系擬合中。劉雁寧等[6]通過對(duì)不同纖維摻量的PVA-鋼纖維混摻水泥基棱柱體進(jìn)行單軸抗壓試驗(yàn)，測得了纖維增強(qiáng)水泥基復(fù)合材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線試驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出了擬合度較高的單軸受壓本構(gòu)模型。黃可等[7]對(duì)不同尺寸的高韌性聚乙烯醇增強(qiáng)水泥基材料進(jìn)行了單軸抗壓試驗(yàn)，分析了該材料抗壓強(qiáng)度尺寸效應(yīng)，并根據(jù)實(shí)測的應(yīng)力-應(yīng)變曲線提出了單軸受壓本構(gòu)模型。

在ABAQUS 自帶的材料本構(gòu)模型中，混凝土損傷塑性模型（CDP，concrete damage plasticity）在混凝土及類混凝土材料結(jié)構(gòu)性能分析上應(yīng)用廣泛。國內(nèi)學(xué)者大多根據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB 50010-2010[8]給出的混凝土本構(gòu)關(guān)系推算CDP 模型相關(guān)參數(shù)。例如劉巍等[9]根據(jù)該規(guī)范中的本構(gòu)關(guān)系，引入損傷因子，研究了CDP 模型中的參數(shù)設(shè)置并進(jìn)行了驗(yàn)證。張勁等[10]通過規(guī)范中的混凝土本構(gòu)關(guān)系，計(jì)算了CDP 中的損傷參數(shù)，并驗(yàn)證了其可靠性。楊霞等[11]用4 種不同方法計(jì)算了混凝土的損傷因子，并以剪力墻為例對(duì)比了不同的計(jì)算結(jié)果對(duì)模擬的影響，為后續(xù)剪力墻抗震性能模擬分析提供了理論依據(jù)。

綜合上述文獻(xiàn)研究成果可見，多數(shù)研究者的纖維水泥基復(fù)合材料本構(gòu)關(guān)系運(yùn)用在結(jié)構(gòu)分析上，卻不一定都能與試驗(yàn)結(jié)果相吻合。基于此，本文對(duì)ECP 進(jìn)行單軸受壓試驗(yàn)研究，在擬合適用于ECP 的單軸受壓本構(gòu)曲線的基礎(chǔ)上，引入損傷，提出ECP在CDP 中的相關(guān)參數(shù)計(jì)算方法。采用試驗(yàn)和ABAQUS 模擬相結(jié)合的辦法驗(yàn)證擬合曲線的可靠性，為后續(xù)ECP結(jié)構(gòu)分析提供理論參考。

1 單軸抗壓試驗(yàn)

1.1 試驗(yàn)原材料及試件制備

1.1.1 試驗(yàn)原材料

膠凝材料：P.O 42.5 普通硅酸鹽水泥；磷石膏礦渣取自四川省德陽市什邡市；水泥和磷石膏礦渣主要化學(xué)成分見表1，試驗(yàn)配比見表2。增強(qiáng)纖維：河北廊坊盛拓保溫材料有限公司生產(chǎn)的長度6 mm 聚丙烯纖維，抗拉強(qiáng)度為450 MPa，斷裂伸長率為26.8%，彈性模量3.5 GPa；增塑劑：上海臣啟化工有限公司生產(chǎn)的羥丙基甲基纖維素，10 萬粘度；減水劑：上海臣啟化工有限公司生產(chǎn)的聚醚羧酸減水劑，灰白色，含水率為1.81%。

表1 水泥、磷石膏礦渣主要化學(xué)成分 %

表2 配合比設(shè)計(jì) %

1.1.2 試件制備

本文試驗(yàn)參考市場工藝[12]進(jìn)行試件的制備：先將原料（水泥、磷石膏）和纖維（聚丙烯纖維）放入高速混料機(jī)內(nèi)預(yù)混合2 min，然后加水和外加劑（HPMC、聚醚羧酸），再混合3 min，之后將攪拌均勻的混合料輸送進(jìn)擠出機(jī)進(jìn)行真空擠出成型。

擠出成型后，將擠出板切割成五塊立方體試件（100 mm×100 mm×100 mm）。切割后，將試塊進(jìn)行編號(hào),分別記作T1、T2、T3、T4、T5，在22 ℃、95%相對(duì)濕度下靜置8 h，然后在60 ℃下進(jìn)行蒸汽養(yǎng)護(hù)16 h，再于22 °C 和50%相對(duì)濕度下將擠出制品保存14 d，最后開始試驗(yàn)測試。制備路線如圖1所示。

圖1 制備路線

1.2 試驗(yàn)方法

養(yǎng)護(hù)完成后，取出試件，將試件表面擦干凈并進(jìn)行找平處理，試件承壓面選取成型時(shí)的側(cè)面，試件中心正對(duì)于試驗(yàn)機(jī)的下壓板中心，以保證安裝到試驗(yàn)機(jī)的下壓板后，試件處于水平狀態(tài)；試驗(yàn)過程中連續(xù)均勻地加載，加載方式采用位移加載（加載速率為0.5 mm/s），直到試件被破壞，記錄破壞荷載。

1.3 試驗(yàn)結(jié)果

1.3.1 試驗(yàn)現(xiàn)象

ECP 單軸受壓試驗(yàn)加載過程可分為以下幾個(gè)階段：

（1）接觸階段：這個(gè)階段試件從零開始緩慢加載，試件受壓面與試驗(yàn)機(jī)上壓板開始接觸，并且受壓表面有些許剝落現(xiàn)象，試件整體并沒有明顯的變化，荷載緩慢上升，荷載位移曲線平緩上升，曲線斜率較小。

（2）彈性階段：試件受壓面與試驗(yàn)機(jī)上壓板完全接觸，試件整體沒有出現(xiàn)明顯裂縫,荷載與位移曲線按一定斜率增長，近似呈線彈性關(guān)系。

（3）塑性階段：試件表面開始出現(xiàn)裂縫,試件也開始發(fā)生破壞，整體并沒有完全斷裂，由于纖維限制了裂縫的發(fā)展，能夠聽到細(xì)小的撕裂聲音。該階段曲線斜率比彈性階段小且在慢慢變小，曲線增長較為緩慢。

（4）破環(huán)階段：ECP試件破壞時(shí)并沒有突然斷裂破壞，而是裂縫逐漸貫通試件，當(dāng)裂縫貫通試件時(shí)終止試驗(yàn)。曲線達(dá)到峰值，開始緩慢卸載，曲線開始下降，表面無外鼓和明顯剝落現(xiàn)象，整個(gè)受壓過程保持了良好的整體性，說明試件基體有良好的韌性，試件破壞形態(tài)如圖2所示。

1.3.2抗壓強(qiáng)度

試驗(yàn)得到5 組100 mm 立方體的破壞荷載，抗壓強(qiáng)度根據(jù)式（1）計(jì)算：

式中：fcc為立方體抗壓強(qiáng)度，MPa；Fcc為試件破壞荷載，N；Acc為試件承壓面積，mm2。各試件試驗(yàn)結(jié)果見表3，各試件荷載-位移曲線如圖3所示。

表3 立方體抗壓強(qiáng)度

圖3 ECP單軸受壓荷載-位移曲線

由于T3 與T5 試塊的切割部位與T1、T2、T4 不同，試驗(yàn)強(qiáng)度相差較大，為了使后續(xù)擬合更精確，本文采用T1、T2、T4 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果作為計(jì)算依據(jù)。取T1、T2、T4試驗(yàn)結(jié)果的平均值24.55 MPa作為ECP的立方體強(qiáng)度值。經(jīng)過試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理，得到各試塊的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖4所示。

圖4 T1、T2、T4受壓試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線

2 本構(gòu)關(guān)系

2.1 擬合方程

對(duì)于非線性分析本構(gòu)模型，本文為方便進(jìn)行非線性擬合，首先將試驗(yàn)所得應(yīng)力、應(yīng)變值采用歸一化處理，以無量綱表示 ，將歸一化處理后的無量綱數(shù)值分別記為x、y，具體歸一化處理方式如下：

式中：σ為試驗(yàn)所得應(yīng)力值，ε為試驗(yàn)所得應(yīng)變；σcu為峰值應(yīng)力；εcu為峰值應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)變。

將試驗(yàn)值根據(jù)式（2）處理后，峰值點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)置為（1,1）。根據(jù)圖4 中的試驗(yàn)曲線以及試件各階段的受力特點(diǎn)，用歸一化后的無量綱數(shù)值進(jìn)行擬合，得到ECP單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖5所示。

圖5 ECP單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線（歸一化）

由圖5 可知，ECP 受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線具有以下特點(diǎn)：

（1）x= 0，y= 0；

（2）0 ≤x≤1，曲線呈上升階段；

（3）x= 1，曲線達(dá)到峰值；

（4）x＞1，曲線下降；

（5）歸一化全曲線，x≥0，0 ≤y≤1；

確定適用于ECP 受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的數(shù)學(xué)方程如下：

利用非線性回歸分析方法將試驗(yàn)數(shù)據(jù)代入方程進(jìn)行擬合，確定方程中的未知參數(shù)。擬合結(jié)果如圖6 所示，圖中可見擬合曲線與各試驗(yàn)曲線吻合良好。

圖6 擬合曲線與試驗(yàn)曲線比較

2.2 待定系數(shù)

采用最小二乘法對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性回歸，得到試件受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線函數(shù)表達(dá)式的待定系數(shù)a、b的取值以及擬合后的確定系數(shù)R2，見表4。表4中可見，R2趨近于1，表明擬合吻合度較高。

表4 系數(shù)a、b和R2的取值

3 CDP參數(shù)計(jì)算

3.1 損傷模型的應(yīng)力-應(yīng)變參數(shù)計(jì)算

ECP損傷塑性模型如圖7所示。

圖7 ECP損傷塑性模型

圖7 中，dc為壓縮損傷因子；E0為初始彈性模量；為非彈性壓縮應(yīng)變；為壓縮等效塑性應(yīng)變；為無損狀態(tài)下的彈性壓應(yīng)變；為可恢復(fù)的彈性壓應(yīng)變。

由于試驗(yàn)所得均為名義應(yīng)力和名義應(yīng)變，在ABAQUS損傷塑性模型中，需要輸入的是真實(shí)應(yīng)力、真實(shí)應(yīng)變值。因此，在進(jìn)行模擬前需要對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，應(yīng)力-應(yīng)變轉(zhuǎn)換公式如下：

式中：σt、εt分別為真實(shí)應(yīng)力、真實(shí)應(yīng)變；σn、εn分別為名義應(yīng)力、名義應(yīng)變。

另外，在CDP 模型中，材料的受壓行為通常通過單軸受壓下的非彈性壓縮應(yīng)變（）進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)圖7 中各應(yīng)變之間的關(guān)系，非彈性壓縮應(yīng)變等于總壓縮應(yīng)變（εc）減去彈性壓應(yīng)變：

以本文的室內(nèi)試驗(yàn)為例，通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以得到ECP材料壓縮真實(shí)應(yīng)力-非彈性應(yīng)變見表5。

表5 受壓損傷參數(shù)

3.2 損傷因子計(jì)算

ABAQUS混凝土損傷塑性模型中的損傷即材料內(nèi)部凝聚力在載荷作用下進(jìn)展性地減弱，使受載材料產(chǎn)生缺陷裂紋與微孔[19],但是損傷狀態(tài)難以通過試驗(yàn)進(jìn)行測定，CDP 模型就引入了損傷因子的概念來描述損傷。相關(guān)研究中引入了Sidiroff 理論[20]，該理論假設(shè)受損材料與無損材料產(chǎn)生的彈性余能在形式上相同。

無損材料彈性余能（）表示為：

有損材料彈性余能（）表示為：

其中：ED為損傷時(shí)的彈性模量，σˉ為等效應(yīng)力。σˉ根據(jù)下式計(jì)算：

根據(jù)理論可以推導(dǎo)出，損傷時(shí)的彈性模量（ED）：

進(jìn)而得到材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式：

再結(jié)合式（2）～（3）可以得到ECP 壓縮損傷因子dc計(jì)算式：

4 算例驗(yàn)證

將擬合得到的各計(jì)算參數(shù)代入ABAQUS 進(jìn)行數(shù)值模擬分析。本節(jié)算例模擬上述受壓試驗(yàn)，以驗(yàn)證CDP參數(shù)計(jì)算的正確性。

首先分別建立ECP 立方體試塊和上下施壓鋼板，模型幾何尺寸與試驗(yàn)一致。定義材料屬性具體數(shù)值參照計(jì)算結(jié)果見表5。

選擇通用靜力分析，ECP 與兩塊鋼板之間采用Tie 約束，使其與鋼板不產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)；上鋼板定義一個(gè)參考點(diǎn)RP-1 與之進(jìn)行耦合（Coupling）,使得上端鋼板相對(duì)于RP-1 呈剛體運(yùn)動(dòng)；下鋼板定義完全固定；采用位移加載模擬整個(gè)試驗(yàn)，為了使得模擬結(jié)果較為可靠，加載制度與試驗(yàn)一致，通過Amplitudes 控制加載速率；全局采用六面體網(wǎng)格劃分。試件加載方式及網(wǎng)格劃分如圖8所示。

圖8 試件加載方式和網(wǎng)格劃分

計(jì)算完成后進(jìn)入可視化板塊（Visualization）觀察分析結(jié)果。圖9 所示為ECP 壓縮損傷云圖，圖中可見，在加載結(jié)束后最大壓縮損失值為0.2027，這與理論計(jì)算結(jié)果基本相近，且損傷在中心單元附近達(dá)到最大。

圖9 ECP損傷云圖

圖10（a）所示為試件最大塑性應(yīng)變符號(hào)圖，可見試件最大塑性應(yīng)變與最大應(yīng)力方向一致，受壓縮作用；圖10（b）所示為最小塑性應(yīng)變符號(hào)圖，箭頭指向?yàn)榱芽p可能出現(xiàn)的方向，這與試驗(yàn)現(xiàn)象相符，說明該計(jì)算結(jié)果相對(duì)可靠。

圖10 塑性應(yīng)變符號(hào)圖

圖11 所示為試驗(yàn)和模擬應(yīng)力-應(yīng)變曲線對(duì)比圖，整體曲線趨勢(shì)相近，模擬計(jì)算的峰值應(yīng)力為26.28 MPa，試驗(yàn)組峰值應(yīng)力平均值約為24.55 MPa，相對(duì)誤差約為1.83%；計(jì)算峰值應(yīng)變?yōu)?.0154，試驗(yàn)組峰值應(yīng)變平均值約為0.0156，相對(duì)誤差為1.28%，誤差均在2%之內(nèi)。由此可見，有限元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所建立的ECP單軸受壓本構(gòu)模型的正確性。

圖11 應(yīng)力-應(yīng)變曲線對(duì)比

5 結(jié) 論

通過單軸受壓試驗(yàn)和數(shù)值模擬相結(jié)合的方式分析了ECP 在單軸受壓情況下的本構(gòu)關(guān)系，主要結(jié)論如下：

（1）基于單軸抗壓試驗(yàn)得到的應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)，得到了適用于真空擠出成型纖維增強(qiáng)水泥墻板材料的單軸受壓本構(gòu)模型。與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析表明，提出的本構(gòu)模型可以較好地預(yù)測該材料的單軸抗壓行為，且根據(jù)本構(gòu)曲線特征和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，本文給出了相關(guān)參數(shù)的物理意義。

（2）根據(jù)Sidoroff 提出的能量等價(jià)原理，將試驗(yàn)所得本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)換為ABAQUS 中的CDP 模型，計(jì)算得到損傷因子，模擬了受壓試驗(yàn)。從模擬所得壓縮損傷云圖、等效塑性應(yīng)變?cè)茍D以及最大（最小）塑性應(yīng)變符號(hào)圖來看，都與試驗(yàn)破壞形式相符，說明了該模型的正確性。

（3）模擬所得應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線整體趨勢(shì)相近，但計(jì)算峰值應(yīng)力比試驗(yàn)峰值應(yīng)力高出約1.1 MPa，計(jì)算峰值應(yīng)變比試驗(yàn)應(yīng)變小0.0002，兩者相對(duì)誤差均控制在2%以內(nèi)，說明CDP模型能較好地適用于ECP材料。