運載火箭推力故障下在線計算輕量化任務重構方法

2022-05-12 05:20:18譚述君吳志剛張立勇劉玉璽

宇航學報 2022年3期

何驍，譚述君,2，吳志剛，張立勇，劉玉璽

(1.大連理工大學工業裝備結構分析國家重點實驗室，大連 116024; 2.大連理工大學遼寧省空天飛行器前沿技術重點實驗室，大連 116024;3. 大連理工大學電子與信息工程學院，大連 116024; 4.上海宇航系統工程研究所，上海 201109)

0 引言

根據1980年至2004年世界航天器發射故障統計，推進系統故障占絕大多數。其中，美國31次發射失敗中有16次是由推進系統故障引起的，俄羅斯65次發射失敗中有37次是由推進系統故障引起的。近年來，推進系統故障中推力下降故障依舊不斷，如2017年LM-5/Y2發射、2012年Delta 4發射和2012年SpaceX Falcon 9發射。當發動機發生推力下降故障時，跟蹤地面設計的標稱彈道是不可行的。我國的運載火箭的動力系統余量較小，推力下降故障會導致到目標軌道無法到達。為了解決運載火箭因推力下降故障而墜毀的問題，需要研究一種在線任務重構方法，或叫飛行任務降級方法，來求解最優救援軌道對應的飛行軌跡(最優軌跡)。

一般來說，求解航天器軌跡優化問題的主流方法是數值法，可分為直接法、間接法。由于直接法求解效率高，在航天器軌跡優化問題中得到了更多的應用。因此有學者用直接法來研究火箭推力故障下的軌跡規劃問題。文獻[10]提出了一種狀態觸發指標法(State-triggered indices, STI)，解決了運載火箭推力下降時目標軌道和飛行軌跡的在線聯合優化問題。在文獻[11]中，利用凸優化方法，將原來的非凸優化問題轉化為一種凸問題在線優化。文獻[12]設計決策等級以確定任務目標，結合目標軌道根數的約束情況，采用自適應偽譜法規劃出滿足要求的飛行彈道。然而，在線用直接法求解任務重構問題存在在線求解計算消耗大的問題。計算消耗大主要體現在：1)在線計算需依次求解多個優化問題，能量高的軌道的最優軌跡求解依賴于能量低的軌道；2)軌跡優化問題的初值與最優解的偏差較大，迭代計算收斂慢。

近年來，隨著機器學習技術的發展，將機器學習技術與傳統的航天器研究方法結合是一大研究趨勢。其中機器學習技術中的監督學習、強化學習在改進軌跡規劃算法方面很有潛力。文獻[17]提出了一種通過強化學習訓練導彈制導律的新方法，與比例制導律相比，該制導律對控制器模型具有更好的魯棒性。然而，由于需要與環境交互，強化學習的計算負擔往往會影響在線應用的可行性。利用監督學習技術，在預先產生的數據集上訓練神經網絡，生成軌跡或導引律是一個可在線應用的方案。文獻[19]提出了一種基于神經網絡的非線性混合算法，在降低復雜度和成本的前提下為控制、制導系統提供反饋。文獻[20-21]提出了基于徑向基神經網絡救援軌道決策的軌跡重規劃方法，該方法可快速預測出救援軌道。徑向基函數神經網絡(Radial basis function neural network, RBFNN)是一種監督學習方法，在函數逼近中具有良好的非線性映射能力。與標準前向反饋傳播的BP網絡相比，RBFNN具有學習速度快、陷入局部極小點可能性小等優點。

針對在線計算輕量化的任務重構問題，本文提出一種基于徑向基神經網絡軌跡決策的在線任務重構方法。與傳統的航天器軌跡優化方法不同，提出的方法在線應用時，不需要基于動力學模型迭代求解，只需將離線訓練好的神經網絡遷移到在線應用，即可快速決策最優救援軌道對應飛行軌跡的近似解。

1 問題描述

1.1 推力下降故障下的動力學方程

以兩級運載火箭為研究對象，假設推力下降故障發生在二級飛行段。定義地心慣性坐標系：原點在地心，軸在赤道平面內指向發射時刻本初子午線方向，軸垂直赤道平面指向北極，軸滿足右手定則。在地心慣性坐標系中建立火箭的上升段二級飛行動力學方程如下：

(1)

(2)

(3)

式中:=[,,],=[,,]為運載火箭的位置、速度向量;為地球引力常數;是火箭的總質量;為火箭的發動機比沖;=[,,]為發動機的推力單位矢量在地心慣性坐標系中的分量，是可控的;當發動機發生故障，推力下降的比例是，推力大小是(1-),是發動機標稱推力;假設發動機比沖不變，若推力下降的比例是，那么推進劑的秒耗量下降;是海平面上的重力加速度。下文所有計算都是以式(1)～(3)作為狀態方程，包含7個狀態量=[,,]和3個控制量=[,,]。

1.2 任務重構問題

傳統的運載火箭軌跡優化是一個最優控制問題，優化飛行軌跡使得運載火箭進入確定的目標軌道。然而，當推力下降故障嚴重時，運載火箭無法進入目標軌道。這種情況下，為了避免運載火箭墜入大氣層，需要解決一個沒有確定目標軌道的飛行任務重構問題。

在任務重構問題中，救援軌道和飛行軌跡同時被優化。任務重構問題的目標函數可表示為五個軌道要素絕對偏差的加權和，優化問題可表示為問題0,如下所示:

(4)

1.3 目前的任務重構問題求解策略

在問題0的目標函數中，由于軌道平面元素(,)和軌道形狀元素(,,)之間的矛盾，導致解的搜索方向發散或搜索步長減小，從而大大降低了求解效率。文獻[10]提出了一種狀態觸發指數(STI)策略來求解問題0，在STI策略中，從安全的角度出發，保證軌道高度是優先考慮的，只有當剩余運載能力大于某一閾值時，才考慮對軌道平面進行調整。參考STI策略，本文根據救援軌道的類型將問題0轉化為兩個子問題。

在故障較嚴重但非致命的情況，為保證救援軌道的高度，優先考慮提高軌道高度。即在故障發生時，尋找當前時刻同一軌道平面上的最高圓軌道。在這種情況下，問題0可轉化為尋找最高圓救援軌道的最優控制問題1，如下所示：

(5)

其中,是彈道傾角,是飛行的總時間。用兩個等效的終端約束代替=0，以減小位置、速度與軌道根數轉換函數的非線性。兩個等效終端約束的物理意義是彈道傾角等于0，重力提供向心加速度。

如果問題1的軌道高度大于目標軌道的近地點高度，則表明可以使用一定量的推進劑來減小軌道平面偏差。在這種情況下，在保持軌道高度的同時，調整軌道傾角和升交點赤經，問題0可轉化為尋找最優橢圓救援軌道的優化問題2，如下所示：

(6)

綜上所述，原任務重構問題0轉化為問題1和問題2，如圖1所示。

圖1 任務重構的示意圖Fig.1 Schematic of mission reconstruction

采用航天器軌跡優化的直接法，如自適應配點法或其改進方法,依次求解問題1和問題2可解決任務重構問題。然而，這種序列求解多個優化問題的策略有在線計算消耗大的問題。計算消耗大主要體現在：1)問題1和問題2的入軌軌道未知，很難設置合適的初始猜測值，這導致問題1和問題2求解計算消耗大；2)問題2飛行軌跡求解依賴于問題1軌道的飛行軌跡，需在線依次求解多個優化問題，這進一步增大了在線的計算消耗。

2 在線計算輕量化的智能任務重構方法

為了解決運載火箭推力故障下任務重構在線計算消耗大的問題，本文引入神經網絡技術，采用離線學習“故障狀態-最優軌跡”動力學關系，再遷移到在線決策最優軌跡近似解的策略，提出了一種在線計算輕量化的任務重構方法。整個任務重構方法的策略如圖2所示。在離線部分，遍歷大量的故障狀態，采用凸優化與自適應配點法離線求解軌跡優化問題1和問題2，建立“故障狀態-最優軌跡”數據集。以數據集為基礎離線訓練徑向基神經網絡，建立軌跡決策模型。在線部分，將軌跡決策模型遷移到在線應用，以實際飛行的故障狀態作為輸入，在線決策最優軌跡。與基于動力學模型迭代求解的方法相比，本文方法避免了在線求解一個難以構造合適初值的優化問題。同時，本文求解策略可直接獲得最優軌跡的近似解，避免了一系列子問題的求解過程。

圖2 在線任務重構策略Fig.2 Online mission reconstruction strategy

2.1 數據集產生

神經網絡是通過訓練來學習數據集中的知識與規律，數據集中軌跡的正確性必須要保證。為了獲得最優的救援軌道與飛行軌跡，凸優化與自適應配點法結合的方法(Convex optimization and adaptive collocation method, CAC method)被用來求解問題1和問題2，以生成軌跡集。CAC方法是STI策略中采用的一種對救援軌道和飛行軌跡聯合求解的方法。凸優化具有收斂性好，且不會陷入局部最小值的優點。采用凸優化的解提供初值，可保證數據集中軌跡的最優性。由于問題1和問題2軌跡的分布差異較大，將問題1和問題2的解保存到兩個數據子集中，分別為數據子集1、數據子集2。

發生故障前，如果運載火箭能準確跟蹤標稱彈道，那么推力下降的大小、發生推力故障的時刻足以描述所有故障模式。實際飛行中，由于存在噪聲干擾，火箭的位置、速度在標稱彈道附近。為了更全面的描述故障，故障狀態的特征是故障發生的時間、推力下降的比例、故障時的狀態變量(位置、速度、質量)。

圖3 數據集的求解流程圖Fig.3 Flow chart of solving datasets

2.2 軌跡決策模型建立與訓練

徑向基神經網絡(Radial basis function neural network, RBFNN)被用來決策最優軌跡近似解。RBFNN是一種局部逼近網絡，通常由輸入層、隱藏層、輸出層三層網絡構成。理論上，具有足夠多隱層神經元的徑向基神經網絡能以任意精度逼近任意連續函數。

隱藏單元由基函數激活，本文采用高斯基函數，第個隱藏層的輸出為：

(7)

輸出層對徑向基函數隱藏層的輸出進行線性組合以生成預期的輸出。輸出層第個節點的輸出為

(8)

式中:為第個隱層神經元到第個輸出神經元的權重,為隱層神經元的數量。正交最小二乘法(Orthogonal least-squares, OLS)被用來訓練徑向基神經網絡。OLS是一種由Chen等提出的一種選擇RBFNN數據中心的方法，訓練的網絡規模小，隱藏層采用少量的神經元節點就能映射非線性關系。OLS形式的徑向基神經網絡中神經元數量參數較少，神經元連接權重參數也少。因此遷移到在線應用的神經網絡模型占用的存儲空間小，神經網絡正向傳播的計算消耗也少，適合用于軌跡決策。

圖4 軌跡決策神經網絡Fig.4 Neural network of trajectory decision-making

2.3 在線軌跡決策

圖5 軌跡決策的示意圖Fig.5 Schematic diagram of trajectory decision-making

3 仿真校驗

在本節中，以運載火箭的二級飛行階段為研究對象，發射參數見表1。地球引力系數設為3.986×10m/s，假設地球是一個均勻的球體，地球半徑是6378140 m。第二階段上升階段為真空環境，其中是發動機比沖，海平面重力加速度設為9.8 m/s。

表1 發射參數Table 1 Launcher parameters

表2給出了地心慣性坐標系中的第二階段初始狀態。目標軌道的近地點和遠地點高度分別為200 km和300 km。目標軌道的軌道要素見表3。安全軌道高度=160 km。

表2 二級的初始狀態Table 2 Second stage initial states

表3 目標軌道的軌道根數Table 3 Target orbital elements

本文的數值仿真都是在英特爾酷睿i7-7700 CPU 3.60 GHz電腦上進行的，MATLAB版本為2018b。自適應配點法所采用的配點是正交Legendre多項式的零點。

3.1 數據集產生

因為標稱情況下，二級段飛行時間是378 s。如果推力下降比例低于12%時，采用迭代制導仍然可以到達目標軌道，不需要在線任務重構。數據集的故障發生時間是0～378 s，步長為0.5 s；推力下降大小12%～30%，步長為0.1%。取值依據具體的飛行任務，本算例中近地點和遠地點高度分別為200 km和300 km，Δ取5 km。在問題2中優先調整軌道平面，目標函數權重,,,取值10,10,10,10。數據子集1中共18494個圓救援軌道類型樣本，數據子集2中有9350個橢圓救援軌道類型樣本。在數據集中，隨機抽取90%的數據作為訓練集，剩余10%的數據作為測試集。

3.2 蒙特卡洛仿真

為了驗證算法的正確性與在線計算效率的先進性，采用本文提出的方法和文獻[10]的CAC方法求解在線任務重構問題。采用本文方法與CAC方法求解這些故障下的任務重構問題，用來對比驗證本文方法的精度與在線計算的效率。文獻[10]未明確說明自適應配點法的自適應規則與配點設置，本文CAC方法的復現工作采用經典自適應配點法。

..決策精度驗證

為了驗證軌跡決策的準確性，在測試集上仿真了本文方法決策的軌跡與CAC方法計算出的軌跡，并統計這兩個方法結果的誤差。軌跡中狀態量的誤差用所有時間節點上狀態量的平均絕對誤差(Mean absolute error, MAE)來刻畫，其表達式為

(9)

(10)

誤差采用盒狀圖表示，如圖6所示。盒狀圖是一種統計數據分布的可視化方法,單個盒狀圖從下往上分別是數據的下限、下四分位數、中位數、上四分位數、上限。

數據子集1用來訓練圓軌道救援的軌跡決策神經網絡，徑向基寬度是1，最終訓練好的隱藏層神經元數量是100。圓軌道救援類型結果中的位置、速度、控制變量在測試集上的誤差如圖6(a)～(c)所示。可以看出,75%的位置誤差在100 m以內，位置誤差的上限是500 m。75%的速度誤差在0.2 m/s以內，速度誤差的上限是1.4 m/s。75%的控制變量誤差在5×10以內，控制變量的上限是2.5×10。

圖6 軌跡決策的誤差Fig.6 Errors of trajectory decision-making

數據子集2用來訓練橢圓軌道救援的軌跡決策神經網絡，徑向基寬度是1，最終訓練好的隱藏層神經元數量是100。橢圓軌道救援類型結果中的位置、速度、控制變量在測試集上的誤差如圖6(d)～(f)所示。橢圓軌道救援軌跡決策的位置、速度與控制變量誤差比圓軌道救援類型的大。這是因為橢圓軌道救援的優化問題中，目標函數包含多個變量，故障狀態與最優軌跡的非線性關系更復雜。

通過統計、分析本文方法決策的軌跡與CAC方法計算出的軌跡之間的誤差，驗證了本文方法在多種圓、橢圓軌道救援情況下軌跡決策的誤差小，建立的軌跡決策模型泛化能力強。

..在線計算時間對比驗證

為了驗證本文算法在線計算時間的先進性，仿真對比了本文方法和CAC方法的在線計算時間。為了繪圖的清晰，圖7和圖8分別展示了100個故障對應的在線計算時間，這100個故障是在測試集中隨機抽取的。

圖7 在線任務重構CPU耗時(圓軌道)Fig.7 CPU time consuming of online mission reconfiguration (circular orbit)

圖8 在線任務重構CPU耗時(橢圓軌道)Fig.8 CPU time consuming of online mission reconfiguration (elliptical orbit)

圖7顯示了本文方法與CAC方法在求解問題1的在線計算時間比較。與CAC方法相比，采用本文方法，在線任務重構的平均計算時間由1.06 s降至0.007 s。本文方法的平均計算時間比CAC方法節省了99.3%。

圖8顯示了本文方法與CAC方法在求解問題2的在線計算時間比較。與CAC方法相比，采用本文方法在線任務重構的平均計算時間由6.253 s降至0.006 s。本文方法的平均計算時間比CAC方法節省了99.9%。此外，圖8中CAC方法在不同故障下的計算時間數量級差別大。這是因為橢圓情況下優化問題的初值敏感性高，自適應配點法在結果不滿足精度的情況下，自適應地增加了配點，導致計算成本增長，計算時間變長。由此可見，本文提出的基于軌跡智能決策的在線任務重構方法顯著地縮減了在線部分的計算時間。這是因為本文方法將離線訓練好的神經網絡遷移到在線應用，在線部分只需計算神經網絡的正向傳播，是簡單的矩陣相乘、相加運算。航天器軌跡優化的直接法是基于動力學模型離散原問題，再利用迭代的方法去求解。而本文方法在線部分的計算無需迭代計算，有著更少的計算成本，因此在線計算時間更少。此外，本文方法的所有測試仿真的時間都在一個量級，計算時間更穩定。

3.3 算法的魯棒性分析

為了分析本文算法重構的救援軌道與飛行軌跡的魯棒性，在兩種典型故障狀態下，做了本文方法與文獻[10]的CAC方法在不同工況下的仿真。由于飛行過程中存在不確定性的影響，運載火箭距離標稱軌跡有一定的誤差。因此，為了驗證方法的魯棒性，假設故障發生時刻的位置、速度有偏差。

在運載火箭二級飛行段，火箭的位置在地心慣性坐標系軸的變化少，分別設置正、負不確定性為：Δ=[5,05,5]km,Δ=[5,5,5]m/s，圖例中表示為“+5 km,+5 m/s”；Δ=[-5,-05,-5]km,Δ=[-5,-5,-5]m/s，圖例中表示為“-5 km,-5 m/s”。

假設在第二級飛行階段，推力在110 s時減少25%。這種故障下的任務重構問題屬于問題1，本文方法與CAC方法在不同工況下的結果如圖9、圖10和表4所示。圖9是海拔高度曲線，圖10是速度曲線。無偏差情況下，本文方法與CAC方法規劃出的軌跡結果一致。存在偏差的情況下，本文方法與CAC方法的軌跡結果很接近。本文方法與CAC方法在線求解的救援軌道見表4。表4中幾種工況下，救援軌道的偏心率是0，表示是圓救援軌道，而軌道傾角、升交點赤經為發生故障時的值，從而最大程度地利用推進劑能量來提高軌道高度。