泡沫混合土中顆粒間黏結強度理論計算方法

劉正日，王樹英,2，王海波，鐘嘉政，瞿同明

(1. 中南大學土木工程學院，湖南長沙，410075；2. 重載鐵路工程結構教育部重點實驗室，中南大學，湖南長沙，410075；3. 斯旺西大學辛克維奇工程計算中心，英國斯旺西，SA1 8EP)

盾構在砂性土地層中施工時，常采用改良劑提高渣土的塑流性以保證其能夠順利掘進，其中，泡沫是最典型的改良劑。砂性土是顆粒性明顯的散體材料，與泡沫混合后形成具有一定塑性的黏聚體[1-4]。泡沫改良砂性土宏觀性質的變化是由其細觀尺度上接觸力學關系改變引起的，研究者大多采用能進行細觀尺度分析的離散元數值模擬方法對其進行研究[5-6]。離散元方法可有效表征砂土孔隙壓力特征[7]，通過觀察試樣內部顆粒運動狀態，可解析砂土受剪破壞時其剪切帶形成的微觀機制[8]，能夠較好地應用于散體材料模擬，解釋相關過程的力學機理[9-10]。就泡沫改良砂土而言，加入泡沫后，土體中的細觀接觸關系由單一的砂土-砂土顆粒間接觸轉變為砂土-砂土、砂土-泡沫、泡沫-泡沫這3 種顆粒間接觸共存。為實現泡沫改良土的精細化模擬，需選擇合適的本構模型及對應細觀參數來反映這3 種接觸關系。其中，砂土-砂土顆粒間的接觸力學行為主要是線彈性行為，可選擇線性接觸模型作為其本構模型[11]。相對而言，泡沫-泡沫及砂土-泡沫顆粒間存在一定的黏結力，因此，需選擇可體現顆粒間黏結作用的平行黏結模型[12]。泡沫顆粒的引入使土體中出現黏結力，從而改變了砂土的塑流特性，因而，合理確定顆粒間的黏結強度參數對模型準確反映泡沫改良土的真實特性有至關重要的作用。

反演法是應用最廣泛的參數確定方法[13]，但此方法需要耗費大量的計算時間[14]。為提高參數標定效率，RACKL 等[15]基于拉丁超立方體抽樣和克里格法提出了一種顆粒材料的標定方法，有效減少了離散元細觀參數標定時間。FALKE 等[16]建立了一套僅靠簡單環剪試驗結果便可自動確定離散元細觀參數的程序，所提出的參數化方法能夠較好地對模型參數進行實驗識別，從而不需對數值參數進行調整。YE等[17]采用BP神經網絡建立了離散元細觀參數與顆粒宏觀特性間的非線性關系，通過訓練后可高效、精確地確定離散元模型參數。QU等[18]通過推導顆粒系統宏觀參數與細觀參數間的解析關系得到模型線性接觸剛度的近似值，再結合梯度下降算法獲得較可靠的估計值。CHENG等[19]提出了考慮細觀參數耦合作用的標定程序來確定砂土的細觀參數。盡管上述方法都可用于標定模型細觀參數，但其結果沒有直接的物理基礎[20]。

當前，對于盾構砂性渣土改良，多基于常壓條件下進行坍落度試驗來確定盾構掘進過程中渣土改良參數[21]，本文作者對常壓條件下泡沫改良土中砂土-泡沫顆粒及泡沫-泡沫顆粒間的黏結作用進行研究。基于顆粒力學角度，推導顆粒間抗拉強度的理論計算式，并采用顆粒間抗拉強度測定裝置探究泡沫溶液質量分數及泡沫顆粒半徑對泡沫-泡沫及砂土-泡沫顆粒間抗拉強度的影響規律，最后，依據試驗結果驗證理論公式的可靠性。

1 顆粒間黏結強度理論計算

1.1 泡沫-泡沫顆粒間黏結強度解析式

為確定泡沫混合土中顆粒間黏結強度這一關鍵細觀參數，對泡沫-泡沫及砂土-泡沫顆粒間的黏結破壞過程進行分析，從而推導出顆粒間黏結強度的理論解析式。圖1所示為泡沫分離過程的示意圖及幾何關系，其中，圖1(a)所示為兩泡沫顆粒分離狀態，圖1(b)所示為兩泡沫顆粒接觸狀態，圖1(c)和圖1(d)所示為接觸狀態下兩泡沫顆粒幾何關系。

考慮到試驗在常溫、常壓條件下進行，假設試驗過程中大氣壓強和溫度保持不變。由于兩泡沫顆粒在接觸及分離過程中僅接觸界面相融合，接觸面之外泡沫仍保持球形曲面形態，根據理想氣體狀態方程，可知兩泡沫顆粒在接觸融合與分離過程中其體積保持不變，其相關幾何參數為

式中：V1，R1和S1分別為非接觸下單個泡沫顆粒的體積、半徑及表面積。

根據圖1(d)幾何關系可得：

式中：R2為接觸狀態下泡沫顆粒的半徑；R3為兩顆粒接觸界面半徑；H為接觸狀態下泡沫顆粒中心至接觸界面的距離。

泡沫-泡沫顆粒分離過程中單個泡沫顆粒體積不變，故

接觸泡沫分離后單個泡沫顆粒增加面積S增為

兩泡沫接觸時由一層公共界面分隔，當兩泡沫分離后,公共界面分離為2 個單獨界面，因而，泡沫液膜生成新表面，其所需外界提供的能量E1為

式中：γ為溶液表面張力；S增1為分離后單個泡沫表面積增量。

由于泡沫顆粒發生形變后，能恢復原來的大小和形狀，可視為彈性體[22]，顆粒間分離過程中可視其發生彈性變形，因此，可得兩泡沫顆粒形心發生位移所需的作用力F1與相對位移s1的關系式為

式中：k1為泡沫顆粒變形剛度。

泡沫顆粒分離過程中外力對泡沫系統所做的功為

式中：E1為泡沫顆粒分離所需的能量；W位移1為兩泡沫顆粒分離過程中形心總相對位移。

根據能量守恒定理，聯立式(7)和式(8)可得

則泡沫顆粒間抗拉強度σ1為

式中：F極限1為顆粒間分離力；S界面1為顆粒間接觸界面面積。

1.2 砂土-泡沫顆粒間黏結鍵強度解析式

砂土-泡沫顆粒間分離過程與泡沫-泡沫顆粒間的分離過程類似。圖2 所示為單個砂土-泡沫顆粒在分離過程中的示意圖。

由于泡沫顆粒在與砂土顆粒接觸及分離過程中保持完整，且試驗過程中外界壓強及溫度不變，因此，根據理想氣體狀態方程，可假設泡沫顆粒與砂土顆粒在接觸融合與分離過程中體積變化忽略不計。

由于泡沫顆粒與砂土顆粒接觸前后體積不變，故接觸前后泡沫顆粒半徑關系為

式中：R4為泡沫-砂土顆粒非接觸狀態泡沫顆粒半徑；R5為接觸狀態下泡沫顆粒半徑。

砂土和泡沫接觸后，泡沫顆粒呈半球體，因此，接觸泡沫分離后單個泡沫顆粒增加面積S增2為

當砂土-泡沫分離后，泡沫液膜生成新表面，其所需外界提供的能量為

式中：E2為泡沫與砂土顆粒分離所需提供的能量；S增2為分離后泡沫顆粒表面積增量。

泡沫顆粒可視為彈性體，顆粒間分離過程中可視其發生彈性變形，因此，可得泡沫與砂土顆粒分離所需的作用力F2與相對位移s2的關系式為

式中：k2為顆粒變形剛度。

泡沫與砂土顆粒分離過程中外力對系統所做的功為

式中：W位移2為泡沫-砂土顆粒分離過程中兩顆粒形心的總相對位移。

根據能量守恒定理，聯立式(13)和式(15)可得

則砂土-泡沫顆粒間抗拉強度σ2為

式中：F極限2為泡沫-砂土顆粒間分離力；S界面2為泡沫-砂土顆粒間接觸界面面積。

綜上可知，在泡沫改良土的離散元數值模型中，只需測得泡沫的表面張力及確定模型中泡沫顆粒粒徑，便可根據式(10)及(17)確定泡沫-泡沫顆粒及砂土-泡沫顆粒間的黏結強度。為驗證該解析式的可靠性，采用顆粒間抗拉強度測定裝置測定泡沫-泡沫顆粒及砂土-泡沫顆粒間的抗拉強度，并探究泡沫溶液質量分數及泡沫顆粒半徑對泡沫-泡沫及泡沫-砂土顆粒間抗拉拔強度的影響規律。

2 試驗方案

2.1 試驗材料

砂土地層盾構掘進常采用通用型泡沫劑作為改良劑，試驗選擇以該類型泡沫劑為溶質的泡沫溶液作為泡沫發生試劑，其主要成分為陽離子表面活性劑十二烷基三甲基氯化銨、復配有陰離子表面活性劑十二烷基硫酸鈉以及非離子表面活性劑氯代十二烷等，屬于陰陽離子復配型泡沫劑。

2.2 試驗設備

為了測定泡沫-泡沫、砂土-泡沫顆粒間抗拉強度，設計顆粒間抗拉強度測定裝置，如圖3 所示，裝置由精度為0.001 g 的高精度電子秤(a)、升降支架(b)、上部泡沫固定管(c)、下部泡沫(土顆粒)固定管(d)組成。上部泡沫固定管(c)垂直固定于升降支架的伸臂上，可通過調節旋鈕隨伸臂上下運動；下部泡沫固定管(d)垂直固定于鐵墊片之上并將其整體放置于電子秤中部。

2.3 試驗方案

2.3.1 顆粒間抗拉強度測定

泡沫顆粒接觸狀態及分離狀態圖片如圖4 所示。測定泡沫-泡沫、砂土-泡沫顆粒間抗拉強度的具體試驗步驟如下。

1)配制特定質量分數的泡沫溶液。泡沫溶液質量分數為泡沫劑在泡沫溶液中的質量占比。

2)根據被測泡沫粒徑選擇合適管徑的泡沫固定管垂直固定于升降支架的伸臂之上，將另一泡沫固定管垂直固定于鐵墊片上，使固定管中心軸與墊片平面保持垂直。然后，將墊片連同固定管放置于電子秤上。試驗時，兩泡沫固定管的豎向中心軸線保持重合。

3)往注射器中吸入與目標泡沫顆粒體積相同的氣體，尖端蘸取適量的泡沫溶液，生成具有目標體積的泡沫顆粒。將泡沫顆粒導引至上部泡沫固定管下端。當測定泡沫-泡沫顆粒間抗拉強度時，將泡沫顆粒導引至下部泡沫固定管上端；當測定砂土-泡沫顆粒間抗拉強度時，將砂土顆粒置于下部固定管上端。

4)對電子秤的質量讀數清零，旋轉升降支架旋鈕使2個泡沫(或泡沫與砂土顆粒)相互接觸并在接觸面處融合，之后適當旋轉旋鈕使電子秤讀數為0。

5)拍攝記錄泡沫接觸且電子秤讀數為零時的圖片，用于后期獲得兩顆粒間接觸面的直徑(圖4(a))。

6)將升降支架勻速緩慢向上運動，使上部泡沫固定管隨伸臂緩慢升高直至2個顆粒相互分離并拍照(圖4(b))，電子秤自動記錄2 個泡沫顆粒分離過程中的峰值讀數，此即為使泡沫-泡沫(或砂土-泡沫)顆粒分離所需的拉力。

泡沫-泡沫(或砂土-泡沫)顆粒間的抗拉強度σ為兩泡沫顆粒間分離時所能承受的拉力F極限與顆粒間接觸界面面積S界面的比值，其計算式為

在顆粒接觸過程中，假定體積不變而且近似球形。

2.3.2 溶液表面張力測定

泡沫溶液表面張力采用JZHY-180型表面張力儀測量(見圖5)，具體測量步驟為：將鉑金環裝在吊桿臂上，把被測溶液倒在玻璃杯中，液面高為20～25 mm，將此玻璃杯放在樣品座A 的中心位置，旋轉底端螺母B，玻璃杯便與樣品座A一起上升，使鉑金環浸入溶液中，且使臂上的指針與鏡片上的紅線重合；旋轉蝸輪手柄C 增加鋼絲的扭力，當液體表面被鉑金環拉得很緊時，指針L始終保持與紅線相重合。繼續施加這2個力，直到液體薄膜破裂，刻度盤上指針的讀數就是被測液體的表面張力。

2.4 試驗工況

泡沫液膜的性質主要由排列在界面的表面活性劑分子決定。當泡沫溶液質量分數提高時，分布在液膜界面上的表面活性劑分子數量隨之增加[23]，使得溶液表面張力相應減小。因此，泡沫溶液質量分數變化改變了溶液表面張力，進而對泡沫的力學性質產生較明顯影響。此外，由于試驗過程中存在測量誤差，當泡沫顆粒粒徑較小時，測量誤差對試驗結果影響會更大。另外，根據式(10)和式(17)，顆粒間抗拉強度與粒徑之間存在一定聯系，因此，可在試驗中放大顆粒粒徑并根據試驗結果擬合得到粒徑與作用力之間的關系式，從而得到全粒徑范圍內顆粒間作用力。試驗中，通過生成不同體積的泡沫顆粒得到對應的顆粒粒徑，最小泡沫顆粒體積為0.5 cm3，最大泡沫顆粒體積為3 cm3，以0.5 cm3的增量逐次遞增，對應泡沫顆粒半徑范圍為0.49～0.89 cm，并且分別配置質量分數為1%，3%和5%的泡沫溶液進行試驗。對每種粒徑工況進行5組重復性試驗，取平均值作為試驗結果。

為探究泡沫溶液質量分數及泡沫粒徑對泡沫-泡沫、砂土-泡沫顆粒間作用力的影響，試驗工況分別如表1和表2所示。

表1 泡沫-泡沫顆粒間抗拉強度試驗工況Table 1 Test conditions of tensile strength between foam and foam particles

表2 砂土-泡沫顆粒間抗拉強度試驗工況Table 2 Test conditions of tensile strength between sand and foam particles

3 試驗結果及分析

3.1 泡沫-泡沫顆粒間接觸力學特性

3.1.1 泡沫粒徑對泡沫顆粒間接觸界面半徑的影響

圖6所示為兩等粒徑泡沫顆粒間接觸面半徑與泡沫顆粒半徑間的關系，可以得到泡沫顆粒間接觸界面半徑與顆粒半徑間大致呈斜率為0.842的線性關系。由此可知，兩等粒徑泡沫顆粒在不受外力的條件下接觸，顆粒接觸界面與單個泡沫顆粒半徑的比值為定值。由此可得兩泡沫顆粒接觸界面半徑僅與泡沫顆粒本身粒徑相關，在實際應用時，只需測得泡沫顆粒的粒徑便可通過對應關系得到兩泡沫顆粒相接觸時的接觸界面半徑。

3.1.2 泡沫粒徑對泡沫顆粒間分離拉力的影響

圖7所示為泡沫顆粒間分離拉力與顆粒半徑間的關系曲線。從圖7可知：等粒徑泡沫顆粒間的分離拉力隨泡沫顆粒半徑增加而增加，兩者之間大體上呈線性關系。根據泡沫顆粒間接觸面半徑及泡沫顆粒間分離拉力與泡沫粒徑間的關系曲線(圖6和圖7)，可得泡沫顆粒間抗拉強度與顆粒半徑間的關系曲線如圖8所示。根據圖8可知：泡沫顆粒間的抗拉強度與泡沫顆粒半徑大體上呈反比例關系；隨著泡沫顆粒半徑增加，泡沫顆粒間的抗拉強度隨之減小。出現這一現象的原因是兩泡沫顆粒在接觸界面處融合后，泡沫液膜表面氣-液界面張力轉變為液體本身液-液界面張力，泡沫顆粒間所能承受的拉力絕大部分由沿泡沫顆粒間接觸界面分布的氣-液界面張力承擔，泡沫顆粒間整體所能承受的主要拉力隨顆粒界面半徑呈一次方的線性關系增加，而泡沫顆粒間接觸界面面積與界面半徑的二次方呈正相關關系；當泡沫顆粒半徑增加時，顆粒間界面面積的增長量為半徑的2 次方，拉力增長量為半徑的1次方，因此，泡沫顆粒間抗拉強度與顆粒半徑呈反比例關系。

3.1.3 泡沫溶液質量分數對泡沫顆粒間抗拉強度的影響

圖9所示為泡沫顆粒間抗拉強度與泡沫劑溶液質量分數間的關系。從圖9可見：隨泡沫溶液質量分數增加，泡沫顆粒間抗拉強度有所減小。這是由于泡沫溶液質量分數增高可使溶液中表面活性劑分子數量增加，使得泡沫顆粒氣-液界面間的表面活性劑分子數量增加，從而有效減小泡沫顆粒氣-液界面間的張力，而泡沫顆粒間所能承受的拉力主要由顆粒氣-液界面間的張力提供，所以，增大泡沫溶液質量分數會使泡沫顆粒間的抗拉強度減小。泡沫溶液質量分數與表面張力間的關系如圖10所示。從圖10中不同溶液質量分數下泡沫溶液的表面張力曲線可知[23]，初始添加表面活性劑時，表面活性劑分子分布在溶液表面使其表面張力急劇減小，然而，溶液表面所能填充的表面活性劑分子數量有限，當泡沫溶液質量分數從1%增至5%時，排布于溶液表面的表面活性劑分子數量略有增加[24]，因此，溶液表面張力僅較小下降，這與增大泡沫溶液質量分數后泡沫顆粒間的抗拉強度略微減小相符。

此外，泡沫顆粒粒徑越大，泡沫溶液質量分數對其抗拉強度的影響越小。這是由于顆粒間的抗拉強度與溶液表面張力成正比，與顆粒間半徑成反比，當泡沫溶液質量分數增加時，較小粒徑的泡沫顆粒黏結強度下降更大。

3.2 砂土-泡沫顆粒間接觸力學特性

3.2.1 泡沫顆粒粒徑對砂土-泡沫顆粒間接觸界面半徑的影響

圖11所示為砂土-泡沫顆粒間接觸界面半徑與泡沫顆粒半徑間的關系。從圖11 可知：隨泡沫顆粒半徑增加，顆粒間接觸界面半徑大致呈線性增加，其斜率約為1.32；當泡沫顆粒與砂土顆粒接觸后，泡沫顆粒由于界面力的影響發生了明顯變形。由于液膜在四周受到相等的氣壓作用，因此，其與空氣接觸的部分保持為球形，使得液膜整體為球體的一部分。考慮到在變形過程中，泡沫顆粒依然保持完整且外界大氣壓強及環境溫度不發生變化，根據理想氣體狀態方程可得泡沫顆粒整體體積不變時，變形前與變形后泡沫顆粒的粒徑比值為1.26，與試驗結果較接近，表明試驗結果較準確。

3.2.2 泡沫顆粒半徑對砂土-泡沫顆粒間抗拉強度的影響

圖12所示為砂土-泡沫顆粒間的抗拉強度與泡沫顆粒半徑間的關系。從圖12 可知：顆粒間抗拉強度隨泡沫顆粒半徑增加而減小，兩者間大體上呈反比例關系。砂土-泡沫顆粒接觸界面間黏結力主要由固-液界面張力及邊界處固-液-氣三相界面張力組成，顆粒間受拉時，泡沫-砂土顆粒間的抗拉強度也由這兩部分提供。當泡沫顆粒半徑增加時，邊界處固-液-氣三相界面張力隨泡沫半徑增加呈線性增大，接觸面面積與顆粒半徑的平方呈正比，固-液-氣三相界面張力對界面張力的貢獻與泡沫顆粒半徑呈反比例關系。固-液界面張力對抗拉強度的貢獻部分不發生變化，因此，砂土-泡沫顆粒間的抗拉強度隨泡沫顆粒半徑增加而減小，并且當半徑增大到一定程度時，強度受半徑的影響程度逐漸減弱。

3.2.3 泡沫溶液質量分數對砂土-泡沫顆粒間抗拉強度的影響

為分析泡沫溶液質量分數對砂土-泡沫顆粒間抗拉強度的影響規律，對質量分數為1%，3%和5%這3 種泡沫溶液砂泡間抗拉強度進行測定，試驗結果如圖13 所示，從圖13 可見：砂土-泡沫顆粒間抗拉強度隨泡沫溶液質量分數增大而略有減小。由于泡沫溶液質量分數增加使得固-液界面及邊界處固-液-氣三相界面處表面活性劑分子數量增加，界面張力隨之減小。而泡沫與砂土顆粒間的抗拉強度主要由界面張力產生，因此，砂土-泡沫顆粒間界面張力隨泡沫溶液質量分數增加而減小。界面張力僅產生于泡沫與砂土顆粒接觸界面的邊界上，其與泡沫顆粒半徑呈線性關系。隨著泡沫溶液質量分數增加，界面張力隨之減小，從而造成顆粒間抗拉強度減小。然而，由于抗拉強度與接觸面面積呈反比例關系，在界面張力減小幅度相同的條件下，泡沫顆粒粒徑越大，溶液質量分數對顆粒間抗拉強度的影響就越小。

4 顆粒間抗拉強度理論結果與試驗結果對比

為了驗證顆粒間抗拉強度解析式是否合理，對顆粒間抗拉強度的理論計算結果與試驗結果進行對比，圖14 和圖15 所示分別為泡沫-泡沫和砂土-泡沫顆粒間抗拉強度對比，所用的泡沫劑質量分數為3%，與前面試驗工況相吻合。從圖14和圖15 可見：除個別數據點外，顆粒間抗拉強度的理論值與實測值隨泡沫顆粒半徑的增大趨勢一致，且兩者相對誤差不超過10%，因此，可以分別采用式(10)和式(17)計算泡沫-泡沫顆粒間和砂土-泡沫顆粒間的抗拉強度。造成兩者差異的原因主要是基于能量守恒原理進行顆粒間抗拉強度計算時忽略了顆粒分離過程中的能量損耗，然而，實際上，顆粒分離過程中存在能量損失。

5 結論

1)基于能量守恒原理，推導了泡沫-泡沫及砂土-泡沫顆粒間抗拉強度與泡沫顆粒粒徑及溶液表面張力相關的理論計算公式。

2)泡沫-泡沫、砂土-泡沫顆粒間的抗拉強度主要受泡沫顆粒半徑及泡沫溶液質量分數的影響，顆粒間的抗拉強度隨泡沫顆粒半徑增加而明顯減小；隨泡沫溶液質量分數增加，顆粒間的抗拉強度有所減小。

3)泡沫溶液的表面張力主要受溶液質量分數影響，在一定質量分數范圍內隨溶液質量分數增加而減小。而顆粒間抗拉強度主要受泡沫液膜的表面張力影響，因此，泡沫溶液的質量分數對顆粒間抗拉強度有較明顯影響，增加泡沫溶液質量分數可有效減小顆粒間抗拉強度。

4)顆粒間抗拉強度的理論值與實測值較吻合，采用理論計算式可較好反映顆粒間的抗拉強度。

5)需說明的是，本文試驗僅測定了等粒徑泡沫顆粒間的抗拉強度，未考慮不同粒徑顆粒間的抗拉強度特性，結果有一定局限性，并且在推導抗拉強度理論式時，忽略了顆粒間化學鍵等內在因素對分離過程能量損耗的影響，使理論值與實測值存在一定差異。然而，在離散元數值模型中，受計算能力限制，常常在簡化模型中采用等粒徑顆粒表征泡沫，所以，獲得的泡沫-泡沫及砂土-泡沫顆粒間的抗拉強度理論計算公式可較好應用于離散元數值模型。在已知模型中泡沫顆粒粒徑及對應溶液表面張力時，通過理論公式可方便地確定泡沫改良砂性土離散元模型中黏結鍵強度參數，且該參數選取方式有物理依據，取值結果較合理，可為建立精細化泡沫改良砂土離散元數值模型提供參考依據。