新舊教材立體幾何部分例習(xí)題比較研究

●呂海濛 韓 紅

一、問題的提出

高中數(shù)學(xué)的立體幾何部分由于比較抽象，難以理解，一直以來都困擾著廣大師生。2019 年黑龍江省逐漸普及《2019 版普通高中教科書數(shù)學(xué)（A 版）》，那么新的問題也就隨之而來，作為高中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點內(nèi)容，立體幾何部分的例習(xí)題數(shù)量與類型有哪些變動？例習(xí)題的難度是否增加？例習(xí)題的教學(xué)又該做出那些調(diào)整呢？

二、研究對象

本文節(jié)選的內(nèi)容是2019 年6 月人民教育出版社出版的《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊（A 版）》（以下簡稱“新教材”）中第八章立體幾何初步與2007 年2 月人民教育出版社出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修二（A 版）》（以下簡稱“舊教材”）中第一章空間幾何體和第二章點、直線、平面之間位置關(guān)系。

三、例習(xí)題數(shù)量比較

例習(xí)題是數(shù)學(xué)教材中必不可少的內(nèi)容，無論是完成教學(xué)目標(biāo)，還是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，都需要一定數(shù)量的例習(xí)題。本文統(tǒng)計的是教材中明確帶有藍(lán)色“例”字標(biāo)記的例題，立體幾何部分的所有練習(xí)題、習(xí)題，以及復(fù)習(xí)題，其中若存在一道題含有多個小題的情況時，我們規(guī)定，如果每個小題之間是相互獨立的，按照小題的數(shù)量計算例習(xí)題的個數(shù)，若各小題之間是相互聯(lián)系的，則按照一道大題來計算。

經(jīng)統(tǒng)計，新教材中例題26 道，練習(xí)題87 道，習(xí)題96 道，復(fù)習(xí)題17 道，共計226 道例習(xí)題；舊教材中例題21 道，練習(xí)題61 道，習(xí)題81 道，復(fù)習(xí)題33 道，共計196 道練習(xí)題。可以發(fā)現(xiàn)，立體幾何部分，新舊教材在例習(xí)題的數(shù)量上有著明顯的差距，我們從下面兩個方面分析：

（一）新舊教材例習(xí)題的數(shù)量比較

新教材中例習(xí)題共計226 道，舊教材中例習(xí)題共計196道，可見，新教材在例習(xí)題的總體數(shù)量上有所上升，我們具體來看，新舊教材在例題數(shù)量上沒有發(fā)生太大的變化，但在練習(xí)題和習(xí)題的數(shù)量上有所增加，主要是因為新教材在每一小節(jié)都配有3～4 個練習(xí)題，這樣的設(shè)置使得學(xué)生能夠即學(xué)即練，能夠達(dá)到及時鞏固知識的目的。在復(fù)習(xí)題方面，舊教材將立體幾何部分設(shè)置為兩個章節(jié)，故含有兩個章末復(fù)習(xí)題，而新教材只有一個復(fù)習(xí)題，因此在復(fù)習(xí)題的數(shù)量上新教材要少于舊教材。值得一提的是，在第二小節(jié)中，新教材刪除了“立體幾何三視圖”部分內(nèi)容，主要是由于在初中階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過三視圖，對三視圖已經(jīng)有所了解，避免重復(fù)學(xué)習(xí)。

（二）新舊教材習(xí)題設(shè)置比較

在習(xí)題內(nèi)容的設(shè)置上，舊教材是按照習(xí)題的難度進(jìn)行歸類，A 類是基礎(chǔ)題，題型相對簡單，多是對概念或定理的理解與簡單應(yīng)用，適合基礎(chǔ)掌握不牢固的學(xué)生；B 類為拔高題，增設(shè)隱含條件，以考察學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)為目的的題型，適合基礎(chǔ)知識牢固，思維活躍的學(xué)生。新教材將習(xí)題拓展到了三類，劃分的更加細(xì)致，第一類“復(fù)習(xí)鞏固”主要是用來鞏固所學(xué)的知識，加深對概念的理解；第二類“綜合應(yīng)用”主要是考察學(xué)生對概念和定理的掌握程度；第三類“拓廣探索”這一類題多是探究類和開放類題型，主要是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和探究思維。

四、例習(xí)題類型比較

新舊教材中的例習(xí)題主要分為以下幾種，見下圖。

圖1 新舊教材題型數(shù)量柱狀圖

從題型數(shù)量柱狀圖上我們可以看出，新舊教材在題型的種類上沒有發(fā)生太多的改變，題型比較豐富多樣，就各題型的數(shù)量而言，判斷題和簡答題的差距比較明顯，新教材在判斷題和簡答題的題量上有所增加，相對應(yīng)的填空題與作圖題稍作刪減，其主要原因有：一是判斷題有助于培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、判斷能力以及理解能力，提高學(xué)生的邏輯推理和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)；二是有目的增加簡答題的數(shù)量可以使得學(xué)生能夠更好地從生活中的立體幾何中抽象出幾何體的特征，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，為后面的點、線、面位置關(guān)系的知識學(xué)習(xí)做鋪墊。

五、例習(xí)題難度比較

（一）例習(xí)題綜合難度模型

根據(jù)立體幾何部分例習(xí)題的特性，本文在鮑氏綜合難度模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改良。立體幾何部分內(nèi)容中屬于符號運算的題型，未含有復(fù)雜類的符號運算，也未出現(xiàn)屬于“科學(xué)情境”水平的例習(xí)題，故將各難度水平因素均劃分為三個水平，將簡單符號運算和復(fù)雜符號運算劃分為符號運算，將背景類中“科學(xué)情境”難度水平刪除，下面是改良后的例習(xí)題綜合難度水平劃分表：

例習(xí)題綜合難度計算公式：

表1 數(shù)學(xué)例習(xí)題的改良后的綜合難度因素與水平劃分表

其中，di表示第i 個難度因素上的加權(quán)平均值；dij表示第i個難度因素的第j 個水平的權(quán)重。我們直接采用等級權(quán)重，即dij=j；nij則表示這套教材例習(xí)題中屬于第i 個難度因素的第j個水平的題目個數(shù)，而n 是樣本總數(shù)。顯然，對任何i，都有∑=n。[1]

（二）各難度水平的分析

根據(jù)上面的綜合難度分布框架和難度系數(shù)計算公式，分別從五個難度對數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，最后再利用所計算出各難度的加權(quán)平均進(jìn)行整體分析。

1.在背景上的差異分析。經(jīng)統(tǒng)計，屬于“無背景”難度水平的例習(xí)題，舊教材占86.67%，新教材占90.27%；屬于“個人生活”難度水平的例習(xí)題，舊教材占7.18%，新教材占5.75%；屬于“公共常識”難度水平的例習(xí)題，舊教材占6.15%，新教材占3.98%。

由此可知，新教材在“無背景”方面的例習(xí)題要比舊教材多4 個百分點，屬于無背景難度的例習(xí)題均是基礎(chǔ)題，因此新教材中的例習(xí)題重在考察學(xué)生對于所學(xué)知識的掌握程度，加深學(xué)生對于概念的理解，相應(yīng)的新教材在屬于“個人生活”和“公共常識”兩個難度水平的例習(xí)題降低了兩個百分點，從整體來看屬于背景難度的各個水平呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢，但高達(dá)80%的無背景水平的例習(xí)題，無疑使得學(xué)生產(chǎn)生厭倦感，因此在教學(xué)過程中，要緊密聯(lián)系生活實際，把比較抽象的立體幾何和生活中的實例相結(jié)合，便于教學(xué)。[2]

2.探究上的差異分析。經(jīng)統(tǒng)計，新舊教材在立體幾何部分，在探究難度上，屬于“識記”水平的例習(xí)題新教材占18.58%，舊教材占17.95%；屬于“理解”水平的例習(xí)題新教材占63.27%，舊教材占61.54%；屬于“探究”水平的例習(xí)題新教材占18.15%，舊教材占20.51%。

因此，通過統(tǒng)計我們可以發(fā)現(xiàn)在立體幾何部分，新舊教材在“理解”水平的例習(xí)題占比較高，達(dá)到了60%左右，屬于“識記”和“探究”水平的例習(xí)題占比相對平衡，只達(dá)到了20%，新舊教材在探究層次整體呈現(xiàn)出類似“山峰”的變化趨勢，說明新舊教材在考查學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、定理的理解方面比較重視。

3.運算上的差異分析。經(jīng)統(tǒng)計，新舊教材在立體幾何部分，屬于“無運算”水平的例習(xí)題分別占82.74%和78.97%；屬于“數(shù)值計算”水平的例習(xí)題分別占10.62%和12.31%；屬于“符號計算”水平的例習(xí)題分別占6.64%和8.72%。我們可以清晰地看到新舊教材在運算層次的各個難度水平的分布類似，屬于“無運算”水平的例習(xí)題占了絕大部分，尤其是在直線與平面的位置關(guān)系章節(jié)。

4.推理上的差異分析。經(jīng)統(tǒng)計，新舊教材在立體幾何部分，屬于“無推理”水平分別占19.03%和27.2%；屬于“簡單推理”水平分別占63.27 和58.97%；屬于“復(fù)雜推理”水平分別占17.70%和13.85%；可以看出，在“簡單推理”和“復(fù)雜推理”兩個水平上新教材的例習(xí)題數(shù)量都要高于舊教材，說明新教材例習(xí)題的“推理”水平整體上要高于舊教材。

5.知識點上的差異分析。經(jīng)統(tǒng)計，新舊教材在立體幾何部分，屬于“一個知識點”水平的例習(xí)題中新教材占59.73%，舊教材占61.03%；屬于“兩個知識點”水平的例習(xí)題中新教材占24.78%，舊教材占27.69%；可以看出，新舊教材在“1～2 個知識點”水平的例習(xí)題數(shù)量差別不大，都比較重視考察學(xué)生對基礎(chǔ)知識理解，屬于“多個知識點”水平的例習(xí)題中新教材占15.49%，舊教材占11.28%，在多個知識點層次的例習(xí)題中，新教材要高于舊教材4 個百分點，也就是說新教材在例習(xí)題的知識含量上略有增加。這也使得新教材例習(xí)題的難度增大，因此，教師在例習(xí)題的教學(xué)過程中也要加強(qiáng)對各知識點的滲透。

6.綜合難度分析。我們運用鮑建生綜合難度計算公式計算出新舊教材例習(xí)題在各個難度的加權(quán)平均，在背景難度上，新教材為1.14，舊教材為1.19；在探究難度上，新教材為2.00，舊教材為2.03；在運算難度上，新教材為1.24，舊教材為1.30；在推理難度上，新教材為1.99，舊教材為1.89；在知識點難度上，新教材為1.56，舊教材為1.50。下圖是根據(jù)計算結(jié)果得出的例習(xí)題綜合難度雷達(dá)圖。

圖2 例習(xí)題綜合難度雷達(dá)圖

根據(jù)所得的計算結(jié)果和雷達(dá)圖，可以發(fā)現(xiàn)新教材在“推理”和“知識點”兩個因素上占優(yōu)，在“運算”和“背景”方面稍顯劣勢，這說明新教材重視例習(xí)題的知識點含量和邏輯推理，體現(xiàn)了新課標(biāo)提高課程綜合性的指導(dǎo)思想。此外，圖中的兩個雷達(dá)圖，均有下降的趨勢，這說明新舊教材在“背景”水平的都偏低，這也是高中教材例習(xí)題在立體幾何部分相比于其他部分的顯著差異，也體現(xiàn)了立體幾何部分的例習(xí)題更加注重數(shù)學(xué)題本身的理論深度，降低與生活實際的聯(lián)系的趨勢。[3]

六、立體幾何部分例習(xí)題的教學(xué)建議

（一）以學(xué)生為主，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版）》中強(qiáng)調(diào)“以學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)”，教師在例習(xí)題的教學(xué)過程中，可以通過模型或?qū)嵨?，?chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情景，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)例習(xí)題中的隱含條件，采用哪些知識點可以進(jìn)行解題，以助于提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（二）重視信息技術(shù)的運用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

例習(xí)題中屬于“無背景”水平難度的大約占90%，這樣使得學(xué)生在做例習(xí)題時比較抽象，不易理解，無形中增加了解題的難度，大部分學(xué)生都是首次接觸空間幾何體的概念，一時間難以從“二維圖形”轉(zhuǎn)換到“三維圖形”，這也使得教學(xué)的難度大增。因此在教學(xué)過程中教師可以運用計算機(jī)軟件將學(xué)生難以理解的空間幾何體呈現(xiàn)出來，幫助學(xué)生清晰地認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，逐漸掌握如何在平面上表示空間圖形的方法和技能，為學(xué)生理解和掌握圖形幾何性質(zhì)提供直觀，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。的教學(xué)原則

（三）遵循從整體到局部，從具體到抽象

立體幾何部分的例習(xí)題也是遵循從整體到局部，從具體到抽象的教學(xué)原則，例如在證明面面垂直時，很多學(xué)生不知從何處著手，此時可以引導(dǎo)學(xué)生從證明面面垂直這個整體上轉(zhuǎn)換到證明線面垂直上來，同時教師在例習(xí)題的教學(xué)過程中，可以利用生活中的實例或模型，抽象出空間立體圖形，進(jìn)而利用空間立體圖形研究點、線、面的位置關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的形成。[4]

（四）鍛煉學(xué)生邏輯思維，加快空間觀念的形成

立體幾何部分的教學(xué)目的是培養(yǎng)學(xué)生形成空間觀念和鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力，立體幾何部分的例習(xí)題，一題多解的題型也是屢見不鮮，因此教師在一道例題的講解過程中，可以多角度的提出不同的問題，加快學(xué)生對概念的理解，以便抓住解題的要點，理解例習(xí)題的考點是什么，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，加快空間觀念的形成。但是問題的難易程度會影響學(xué)生的心態(tài)，因此在提出多角度的問題時，要根據(jù)不同層次的學(xué)生選擇性地提問。

（五）避免過量的理論推理

在例習(xí)題的教學(xué)過程中存在多種定理的同時運用，這也使得證明過程中出現(xiàn)大量的理論推理的現(xiàn)象，面臨這種情況時，如果學(xué)生對于概念的理解不夠，就會出現(xiàn)多種定理和概念的混亂，這時教師就需要采用具體的實物配合理論證明的過程，使得證明過程變得清晰明確，但也要避免采用過量的實物，即避免從一個極端走向另一個極端的現(xiàn)象發(fā)生。