三角形的概念與性質的“問題鏈”設計探究

薛靖宇　薛穎

摘 要：三角形是平面幾何中的基本圖形，是之前所學的線段、角等幾何基礎知識的延續，也是研究多邊形的重要基礎，多邊形的許多問題都可以轉化為三角形問題來研究解決，在知識體系上具有承上啟下的作用。本文以三角形的概念與性質為例，構建符合學生認知的“問題鏈”，把握“問題鏈”中問題的教學功能，驅動學生思考數學知識的發生發展過程，在師生互動中提高學生的思維能力。

關鍵詞：三角形的概念與性質;問題鏈;教學功能

中圖分類號：G40-01? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2022）04-0094-03

1 引言

問題在數學的發展歷程中占據舉足輕重的地位。數學家哈爾莫斯曾言：“問題是數學的心臟”，這個觀點得到了數學界和教育界的廣泛認同。中國偉大教育家孔子的“不憤不啟，不悱不發”，就是指不要輕易地把答案告訴學生，也不要過多地替學生思考，更不要灌輸標準答案，要達到有悱而發。采用“問題鏈”是導學理念下的一種有效地教學方式，受到很多中學教師的重視?！皢栴}鏈”的有機串聯，有效地克服了課堂教學中某些問題的細碎、離散、隨意等不足，不僅能更簡潔有效地驅動教學，還能讓學生在解決系列問題的過程中學習和提煉知識并獲得解決問題的技巧策略[1，2]。

數學“問題鏈”是指教師在課外預設并在課堂上以多種方式呈現給學生有序的主干數學問題序列[3]，既為學生提供了數學學習的框架，又為學生發展高水平的思維提供了可能性[4]。教師通過一系列的“問題鏈”設置，與學生實現“對話”，在師生交流互動中，以問題為抓手，以知識為基礎，以思維為導向，將晦澀難懂的數學邏輯轉化為動態的課堂建構過程，從而提高學生的理解能力和創新意識。本文以人教版八年級上冊三角形的概念與性質教學為例，設置“問題鏈”，使學生領會數學知識的發生發展過程，從而更好地接受課堂教學，提高教學效率，同時可以為教育領域其他學者研究“問題鏈”教學提供一些參考。

2 “問題鏈”中問題的教學功能

“問題鏈”的應用方式在教學中是應目標而變化的，不同的教學目標，所體現出來的教學功能也不同。唐恒鈞教授按照教學功能，將“問題鏈”中的問題分為起點問題、延伸問題和提煉問題等三種基本類型，為“問題鏈”的設計應用提供了理論支持。

起點問題的首要任務是觸發學習的產生，設置該問題的目的是希望能由此引發學生更多的思考;延伸問題是在起點問題的基礎上，在數學思維方法的引導下生成的問題，其功能是將學習者的學習引向深入;提煉問題是在起點問題和延伸問題的基礎上提出更具有普遍性、周延性的問題，使學習者對某一主題的理解更為全面而深刻。而在“問題鏈”的實施過程中，教師需要根據問題的教學功能選擇恰當的呈現方式。在問題情境中，以教師為主提出起點問題;在思考脈絡中，以學生為主提出具有多重可能性的延伸問題;在概括反思中，以教師為主提出提煉問題。

3 三角形的概念與性質的“問題鏈”設計與應用

以“三角形的有關線段”課程內容為例，記錄課堂教學案例，分析“問題鏈”教學在課堂情境中的應用，把握“問題鏈”教學中問題的教學功能及應用，促進學生思維的轉變，回歸數學教學本質。

3.1 情境導入，初步認識

問題1 在小學我們已經認識了三角形，三角形看起來簡單，但在實際生活中起著很大的作用。有哪位同學能起來說一下，生活中你見到什么物體上有三角形呢？

設計意圖：從實際生活入手，學生有熟悉感，趣引“三角形”話題。

3.2 合作交流，探索新知

問題2 觀察由房屋屋頂抽象出來的具體圖形回答以下問題：（1）你能從圖1中找出3個不同的三角形嗎？并把它們畫下來。（2）這些三角形的共同特征是什么？

讓學生根據上面所找出的特點，描述什么樣的圖形是三角形。在學生充分交流后得出三角形定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫作三角形。

設計意圖：教師提出起點問題（低起點）來探究新知，觸發學習欲望，降低思考難度學生容易上手，讓學生從感性到理性的認識，符合學生認知規律。

問題3 你所畫的三角形是圖中哪一個三角形？

引導學生在回憶角與平行線的表示方法的基礎上思考、交流，通過類比得到：“三角形”的表示符號為“△”，可以把三角形頂點標上字母，用三個頂點字母來表示。得到圖2中的三角形可表示為△ABC，讀作“三角形ABC”;線段AB、BC、AC都是三角形的邊，點A、B、C是三角形的頂點，∠A、∠B、∠C都是三角形的內角，簡稱三角形的角，△ABC的三邊有時也用小寫字母a、b、c來表示，如頂點A所對的邊BC用a來表示。

設計意圖：由學生不能明確指出所畫三角形是屋頂框架圖中的哪個三角形來引入三角形的表示方法。

問題4 你能表示出剛才所找出的三角形嗎？圖中以AD為邊的三角形有哪些？圖中以B為頂點的三角形有哪些？

設計意圖：規范學生對三角形邊和角的書寫，在學生回答后讓學生思考有無更好的表示方法，培養學生正確的數學思維。

3.3 動手實踐，體會三邊關系

問題5 在如圖3所示的△ABC中，假設有一個小螞蟻從點B沿三角形的邊爬到點C，圖中有幾條線路可以選擇？每條線路的長度是一樣的嗎？

學生回答后，教師追問：你能從中得到什么結論？初步引入三角形的三邊關系，為接下來探究做鋪墊。

設計意圖：教師通過一個實際問題，希望引導學生形成數學問題思考的一般框架，并引導學生產生后續的思考，產生延伸問題。

問題6 選擇5cm，6cm，8cm，13cm的小木條擺一擺，三根一組，共有幾種組合？其中哪些可以組成三角形？哪些不能構成三角形？

學生七嘴八舌，發現5cm，6cm，13cm不能擺成三角形，教師順勢追問：為什么這三個小木條不能構成三角形呢？有的學生說5cm太短了，還有說是因為13cm太長，此時教師引導：你能看出三邊有什么關系嗎？得出結論5+6<13。

設計意圖：該問題由起點問題延伸而來，在思維上具有關聯性，屬于正向推廣思維，通過提前課外預設，經過數次動手操作，探索其可能存在的規律。

問題7 兩邊長度的和與第三邊比較還能怎么比呢？

發現5+13>6，6+13>5。有了這些鋪墊，引導學生將視角放到兩邊的長度和與第三邊的比較上。

問題8 是否任意長度的三條線段都能首尾相連構成三角形呢？

學生發現有一組兩邊長度大于第三邊不能構成三角形，兩組的也不能構成三角形，只有三組兩邊長度和大于第三邊的才能構成三角形。這樣學生能夠深刻理解“任意”一詞的含義。

設計意圖：提出“怎樣的三條線段一定能圍成三角形”核心問題，貫穿了整節課的學習活動，使學生思維空間更為廣闊。

問題9 兩邊長度的差與第三邊之間有沒有聯系呢？

學生胸有成竹，類比剛才的方法得出結論，此時教師順勢追問：能否用我們之前學過的數與代數的知識來推導兩邊長度的差與第三邊的關系呢？學生茅塞頓開，可以通過不等式移項來解決。

設計意圖：留下懸念，讓學生通過類比兩邊之和大于第三邊得出結論的方法去尋找兩邊之差與第三邊的關系，使問題變得自然，對于學生來說是有脈絡的、自然的，教師的提醒提供了另一種解決思路，使學生聯系舊知，學會融會貫通，改善知識結構。

問題10 猜一猜三角形的三邊之間有什么數量關系呢？你能用什么方法證明自己的猜想是否正確？剛才的習題你都做對了嗎？

教師出示答案，四條小木條里可以組成三角形的以及不能組成三角形的是哪幾個組合，由學生驗證結果，最后引導學生得出結論：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

設計意圖：通過前面一系列推導得出此問題，使其更具有一般化，且過渡自然，學生自然而然能得到答案，符合問題鏈階梯式遞進的結構。此時再讓學生驗證之前所做習題結果，屬于數學思維的逆向反推。

3.4 例題講解，鞏固新知

問題11 已知三角形的兩邊長分別是25cm，10cm，第三邊與其中一邊長相等，則第三邊長為多少？

問題12 已知三角形的三邊長為整數：2，x-3，4，則共可以組成多少個不同長度的三角形？當x為多少時，所組成的三角形的周長最大？

設計意圖：此題為鞏固“三角形兩邊之和大于第三邊”而設。利用方程來解，注意利用定理判斷得是否合理，同時初步培養學生的邏輯推理能力。

4 問題評估及教學反思

教師設計“問題鏈”應用到課堂教學中，根據當堂的教學效果剖析問題的結構和問題的水平，判斷“問題鏈”設計是否對課堂教學有驅動性。教師根據中學生給出的反饋可以判斷學生的認知能力和思維水平以及難易程度的接受情況，從而根據其進行不斷改進和優化，設計更為符合學生特點的“問題鏈”。

在“問題鏈”教學中，盡管教師在課前做了大量的準備工作，準備了盡可能詳細的問題，而在實施過程中并不是完全由教師一一呈現在課堂上，需要根據不同的問題功能選擇呈現方式，即教師提出問題，學生根據自己的思維脈絡提出問題，由此可以看出，“問題鏈”教學并不是單一的模板，是需要與時俱進的，是處于一個動態的變化之中的，這樣才能為數學的教學注入不斷的生機與活力。

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參考文獻：

〔1〕王先進.談問題串的設計方法[J].數學通報，2012， 51（07）：17-19+23.

〔2〕黎棟材，王尚志.于無聲處聽驚雷——以一道高考試題例談問題鏈教學[J].數學通訊，2015，83（12）：21-23.

〔3〕唐恒鈞，黃輝.數學問題鏈教學設計與實施的三個關鍵[J].中學數學，2020，42（05）：78-80.

〔4〕吳丹紅，唐恒鈞.基于問題鏈的“函數單調性”教學探索[J].中學教研（數學），2016，39（05）：7-9.

收稿日期：2022-01-24

通訊作者：薛穎，教授，碩士研究生導師，研究方向：教育技術學中的遠程教育和教學系統設計。