混凝土圓環形截面非均勻配筋計算的解析法

李彬，周東華

(昆明理工大學 建筑工程學院，昆明 650500)

工程中的圓環形截面構件有的有明確單一的彎曲方向，例如：邊坡抗滑樁為單向彎曲，高橋墩沿跨度方向為主彎曲，通常，這類構件截面尺寸大、長度長。采用均勻配筋的最大缺點是不能充分利用中性軸附近的鋼筋強度，而能充分發揮鋼筋強度且經濟性好的配筋方式是非均勻配筋，即將受力鋼筋設置在離中性軸較遠的外圍區域。

環形截面配筋的計算具有雙重非線性(材料非線性和截面寬度變化非線性)，因此，計算較為困難。《混凝土結構設計規范》(GB 50010—2010)[1](以下簡稱《規范》)中雖然給出了相關的計算公式，但僅僅是針對均勻配筋，沒有非均勻配筋的計算方法或公式。另外，《規范》給出的公式是超越方程組，須迭代求解，無法手算。針對這一問題，筆者做了兩方面的工作，一是提供環形截面非均勻配筋的計算方法，二是解決雙重非線性不能手算的問題。無需迭代計算的思路是：由截面應變計算應力，進而計算內力[2-3]。要實現這一點的關鍵是確定截面應變，根據《規范》給出的混凝土和鋼筋的本構關系確定截面應變的極限范圍，將其范圍分成了5個區域[4-8]，使每個區域均有一側含有極限應變，便可將截面應變變為已知量。

1 截面抗力

1.1 本構關系

《規范》中給出了完整的混凝土和鋼筋的本構關系數學表達式

(1a)

(1b)

式中：εc和εs分別為混凝土和鋼筋的應變(式中應變值取千分位)。

1.2 截面應變區域

采用的計算方法和思路是由截面應變通過本構關系確定應力，再由應力求內力和判斷受力狀態(軸拉、小偏拉、大偏拉、純彎、小偏壓、大偏壓、軸壓)。如圖1所示，根據本構關系構造可能的截面應變范圍[9-10]，并把可能的截面應變范圍分成5個應變區域，各受力狀態對應的截面應變能夠完全在圖1中表示出來，圖中：r為外圓半徑；r1為內圓半徑；h0為截面有效高度；as為鋼筋合力至截面下邊緣的距離。截面上邊緣應變范圍從10‰～-3.3‰；截面下邊緣應變范圍從10‰～-2.0‰。

圖1 混凝土和鋼筋的應變變化區域Fig.1 Strain variation area of concrete and

在截面應變范圍劃分的5個區域中，每個區域至少有一側的應變是極限應變[11]并在這一區域內保持不變(極限應變是常量)，以確保截面處于極限狀態，即區域①、②截面下側應變為鋼筋的極限應變εs=10‰；區域③、④截面上側應變為混凝土受壓區上邊緣的極限應變εc=-3.3‰；由區域⑤中截面上下邊緣應變的數值和幾何關系可得區域⑤的旋轉點位置為距離截面下邊緣20d/33處εc=-2‰(軸壓時的極限應變)，這樣就可以使平衡方程中未知量的個數等于方程個數，方便求解截面內力[12-14]。5個區域的截面應變規律和受力情況如表1所示。

表1 截面應變與實際受力狀態Table 1 Section strain and actual stress state

上述5個應變分布區域可適用于各種截面形狀的鋼筋混凝土，推導圓環形截面的配筋計算都基于這些應變區域[15]，這5個應變區域的分布不僅能滿足《規范》中對混凝土和鋼筋極限應變的規定，即圖1中區域，而且還能夠完善混凝土等效矩形應力換算引起的區域②、⑤的應變缺失。

1.3 截面參數

根據區域中混凝土和鋼筋應變規律，可由圖2計算出混凝土受壓區高度，即

(2)

圖2 截面參數及應變Fig.2 Section parameters and strain

根據圖2的幾何關系h0=t+z，其中：t為混凝土合力位置與混凝土受壓區邊緣間的距離；z為混凝土受壓區合力至鋼筋重心的距離，令kz=z/h0,即kz為內力臂系數；x為混凝土受壓區高度，令kx=x/h0，即kx為受壓區高度系數。

通過已知的受壓區高度，截面范圍內任意高度u處的應變均可求出

(3)

但圓形截面內任意高度處的應變還不能通過u求出來，需要引入一個參數弦高fi=r(1-cosφ)，弦高最小時在圓的頂部，弦高最大時在圓的底部，可得圓內任意高度u的表達式u=x-fi=x-r(1-cosφ)，其中x和fi為兩個相互獨立的變量，當截面應變已知，也就是x固定時，弦高就只隨著圓心角的變化而變化，這樣就可以找出任意纖維處的應變與圓心角的函數關系，即

(4)

將式(4)代入式(1a)可求得任意高度處的應力計算式

(K1+K2cosφ+K3cos2φ)fc

(5)

根據材料的本構關系，當混凝土應變εc≥-2‰時，對應的應力分布為拋物線；當混凝土應變-3.3‰≤εc<-2‰時，對應的應力分布為矩形+拋物線。

1.3.1 拋物線階段(εc≥-2‰) 混凝土受壓區邊緣應變εc≥-2‰的應力分布如圖3所示。

圖3 εc≥-2‰時的應力分布Fig.3 The stress distribution of

(6)

(7)

以上計算的軸力和彎矩(按混凝土受壓區每一層纖維對中性軸的距離計算的彎矩)都與截面尺寸和混凝土強度相關,為了消除這種相關性，將軸力和彎矩分別除以πr2fc和πr3fc，其中，弦長與對應圓心角的關系b(φ)=2rsinφ、積分上下限φ0=0、φ1=arccos(r-x)/r，這樣就能計算出拋物線階段的無量綱軸力和彎矩，見式(8)和式(9)。

(8)

(9)

1.3.2 矩形+拋物線階段(-3.3‰≤εc<-2‰) 混凝土受壓區邊緣應變-3.3‰≤εc<-2‰的應力分布如圖4所示。

圖4 -3.3‰≤εc<-2‰時的應力分布Fig.4 The stress distribution of

(10)

(11)

同樣，將軸力和彎矩分別除以πr2fc和πr3fc，其中積分上下限φ0=0、φ1=arccos[(r-x+a)/r]、φ2=arccos[(r-x)/r]，計算出矩形+拋物線階段的無量綱軸力和彎矩，見式(12)和式(13)。

(12)

(13)

如圖5所示，圓形截面與圓環形截面的區別僅在于圓環形截面比圓形截面少了一部分混凝土弓形受壓區面積，圓形截面減去混凝土弓形受壓區的應力，即可得到圓環形混凝土受壓區的內力。

圖5 環形截面受壓區Fig.5 Compression zone of annulus

2 配筋計算的諾謨圖

無量綱化后的彎矩設計值為m,受壓區混凝土無量綱合力對受拉鋼筋合力點取矩得m=nz=nkzh0,可知，無量綱彎矩僅與無量綱軸力n、內力臂系數kz和截面有效高度h0相關，其中無量軸力又與受壓區高度系數kx相關，截面有效高度僅與受拉鋼筋的配筋圓心角α相關。

鋼筋在其配置區域內離散均勻分布，為了便于解析計算，對鋼筋做連續分布處理，也就是把鋼筋面積均勻分布于配筋圓心角對應的弧長上，即弧長l=As/(α·rs)，其中：α為配筋圓心角；rs為每根鋼筋的重心所在圓弧的半徑，取rs=r-35 mm。配筋圓心角對應弧長的重心與混凝土合力間的距離即為內力臂長度。受拉區配筋圓心角越大，受拉鋼筋重心位置就越高。經計算，配筋圓心角α=90°的截面有效高度h0=1.787r；α=120°的截面有效高度h0=1.717r；α=150°的截面有效高度h0=1.625r。繪制了內圓和外圓兩種比例的環形截面配筋計算諾謨圖，即r1/r=0.5和r1/r=0.7，按照不同情況查找對應的諾謨圖，該圖為無量綱圖表，適用于C50及以下混凝土強度及任意半徑的環形截面。

在圖6中繪出了內力臂系數kz、受壓區高度系數kx、配筋圓心角α、混凝土應變εc和鋼筋應變εs與無量綱彎矩m的關系曲線。從諾謨圖中可以看出，隨著彎矩的增大，混凝土邊緣應變εc的絕對值和混凝土受壓區高度系數kx也逐漸增大，而受拉鋼筋的應變εs和內力臂系數kz逐漸減小。同時，圖1中的5個應變區域在圖6中也有對應的位置，這樣，在《規范》中沒有包含的區域②和⑤也可以用圖6來計算配筋，避免了《規范》中應變變化不連續的弊端，更符合混凝土圓環形截面的實際受力狀態。

圖6 環形截面的計算諾謨圖Fig.6 The calculation nomograph of circular

該計算方法不僅限于純彎截面，還適用于截面有軸力的情況，具體方法是先將軸力平移到鋼筋合力的重心位置，如圖7所示，由式Ms=M+P(r-as)計算所需受拉鋼筋的面積，Ms為截面計算彎矩，M、P分別為截面彎矩和軸力的設計值。其中，軸力P受拉為正，受壓為負。

圖7 截面上的彎矩和軸力Fig.7 Axial forces and bending moments on the

由平衡關系即可得出配筋計算公式

(14)

(15)

(16)

(17)

考慮到偶然荷載的不確定性，為使荷載作用端與構件的抵抗端相匹配，根據構件工況和偶然荷載可能的作用方向，可繼續使用文中的諾謨圖進行偶然荷載作用下的配筋計算。

3 算例

3.1 算例1

某圓環形截面混凝土構件外圓半徑r=60 cm，內圓半徑r1=30 cm，彎矩設計值2 400 kN·m，軸力設計值P=-700 kN(壓力)，采用混凝土等級C30，鋼筋HRB400級,根據要求計算截面所需鋼筋面積。

1)規范解法

根據《規范》附錄E中的超越方程組E.0.3-1和E.0.3-2，通過雅克比迭代法求解，最后計算得到受壓區混凝土面積與全環截面比值為0.177 3；全部縱向普通鋼筋截面面積As=14 224 mm2。

2)本文解法

設配筋圓心角α=120°，得as=0.28r，h0=1.72r，截面內外半徑比r1/r=0.5，fc=14.3 N/mm2，fy=360 N/mm2。

Ms=M+P(r-as)=2 097.6 kN·m

查圖6(a)可得

kz=0.92 (εs=10‰,εc=-1.9‰)

按該方法計算所需(單側)受力鋼筋與規范結果之比為5 077/14 224=0.357。

3.2 算例2

某圓環形截面混凝土構件，外圓半徑r=50 cm，內圓半徑r1=35 cm，構件截面荷載如圖8所示，彎矩設計值M1=1 000 kN·m，考慮偶然荷載作用的彎矩設計值M2=-900 kN·m，采用混凝土等級C35，鋼筋HRB400級,根據要求計算截面配筋。

圖8 某截面的荷載示意圖Fig.8 Diagram of load on a

1)規范解法

根據《規范》附錄E中的超越方程組E.0.3-1和E.0.3-2，通過雅克比迭代法求解，最后計算得受壓區混凝土面積與全環截面比值為0.157 7；全部縱向普通鋼筋截面面積As=7 117 mm2。

2)本文解法

根據M1對截面下側進行配筋計算，設配筋圓心角α1=120°，得as=0.28r，h0=1.72r，截面內外半徑比r1/r=0.7，fc=16.7 N/mm2，fy=360 N/mm2。

查圖6(b)可得

kz1=0.94 (εs=10‰,εc=-1.5‰)

=3 443 mm2

根據M2對截面上側進行配筋計算，設配筋圓心角α2=150°，得as=0.375r，h0=1.625r。

查圖6(b)可得

kz2=0.95 (εs=10‰,εc=-1.5‰)

截面雙側配筋面積As=As1+As2=6 682 mm2

按該方法計算所需(雙側)受力鋼筋與規范結果之比為6 682/7 117=0.94。

4 結論

1)通過混凝土和鋼筋的本構關系，繪制了環形截面非對稱配筋計算的諾謨圖，與中國現行《規范》中只給出圓環形截面的均勻配筋計算方法相比，該方法不用解超越方程組，計算簡便,截面非受拉區可按構造要求配筋，適各種截面半徑(r)的環形截面。

2)在工程實際中，如深基坑圍護結構使用的懸臂灌注樁(主要承受一個方向的水平力)，或者高大的橋墩(截面上既有軸力，又有彎矩)，這種荷載方向明確的環形截面構件，若采用非對稱配筋，可充分利用材料強度，提高經濟效益。

3)對于需要考慮偶然荷載作用的結構構件，可根據偶然的作用大小再次使用該諾謨圖，給偶然荷載作用的方向配筋，以保證荷載作用與結構抗力相匹配。