混凝土單軸受拉斷裂行為的近場動力學模擬

張晨明，侯東帥，張洪智，張 偉

(1.青島理工大學土木工程學院，青島 266520；2.山東大學齊魯交通學院，濟南 250002)

0 引 言

作為建筑結構中最重要的材料之一，混凝土的用量巨大。然而混凝土中裂縫的存在會導致其力學性能劣化甚至破壞。因此，研究混凝土中裂縫的萌生和擴展機理對預測和預防混凝土開裂具有重要意義。盡管國內外眾多學者[1-2]對混凝土開展了眾多研究，但其破壞機理仍有待深入探索。目前數值模型是研究混凝土斷裂問題的有效途徑，傳統的混凝土數值模型主要包括粘聚區模型(CZM)[3-6]、有限元模型(FEM)[7-10]、擴展有限元模型(EFEM)[11-14]，以及格構模型[15-17]等。其理論基礎是基于空間偏微分方程和連續性假設的斷裂力學理論，而裂縫出現時會造成裂縫尖端位移場不連續，即此處的偏導數不存在，因而偏微分方程中的空間導數便失去了意義。傳統力學的另一個假設是局部性假設，即認為某質點的應力狀態只取決于該質點處的變形。該假設在宏觀尺度一般是可接受的，但當尺度進一步縮小時，局部作用假設的精度就會降低。此外，傳統數值模擬方法在分析斷裂問題時需要劃分網格或者預設裂紋路徑，因此在預測裂縫萌生和擴展方面還存在著精度和計算效率方面的困難[18-19]。

近年來，一種新興的非局部理論近場動力學[20-22](peridynamics，PD)的提出，為進一步研究混凝土的斷裂機理提供了另一種方案。與基于連續性假設的斷裂力學理論不同的是，前者采用偏微分方程，而PD理論采用空間積分方程和時間微分方程來描述不連續現象，質點與一定距離內的其他質點相互作用，而不僅僅是與相鄰的質點相互作用。因此，在沒有附加修正準則的情況下，可以避免裂紋尖端位移場的不連續性，使裂紋能夠在物體中自然萌生、擴展和分支。基于此，利用PD理論可以對許多傳統的混凝土動、靜態斷裂問題進行更加合理的研究。如Huang等[23]建立了混凝土板的數值模型，采用PD理論分析了其在沖擊荷載和靜態荷載作用下的損傷形式。考慮到水泥砂漿在細觀尺度上的非均質性，Hou等[24]利用PD理論對水泥砂漿的斷裂性能和應力應變響應進行了研究。此外，已有文獻報道了PD理論和FEM的耦合工作。Oterkus等[25]研究了復合結構加筋板在軸向拉伸荷載下的損傷過程，結果與實驗現象吻合較好。為了充分利用PD和FEM的優點，Liu等[26]引入界面單元對PD區域和FEM區域進行耦合，通過對三維桿件的研究，驗證了耦合損傷方法的合理性。在這些研究中，PD理論在處理斷裂、失穩和沖擊等方面的可靠性得到了成功驗證。但目前應用PD理論研究混凝土卻較少涉及其多相非均質性，因此，本文通過構建由多相材料組成的混凝土數值模型，對其在單軸拉伸作用下的力學性能和斷裂特征進行了研究。

1 模擬方法

1.1 近場動力學簡介

圖1為原始微觀彈脆性模型(original micro-elastic brittle model)中質點間的相互作用力。如圖1所示，近場動力學理論假定物體占據空間某一區域，通過研究某一質點x與其影響區域(近場范圍δ)內的其他質點間的相互作用來分析物體的運動。在任一時刻t，質點x近場范圍內的質點稱為x的族Hx，超出族Hx以外的質點將不與x發生相互作用。類似地，質點y也僅與族Hy內的質點存在相互作用。根據牛頓第二運動定律，其基本運動方程可用式(1)表示：

圖1 原始微觀彈脆性模型中質點間的相互作用力

(1)

兩質點的位置矢量和位移矢量可分別表示為ξ=y-x和η=u(y)-u(x)，則運動方程可簡化為：

(2)

根據牛頓第三運動定律，本構力函數f必須滿足：

f(-η,-ξ)=-f(η,ξ)

(3)

作為鍵基近場動力學理論中最常用的一種，原始微觀彈脆性模型忽略橫向和剪切變形，假定質點間的成對等值相互作用力(又稱為鍵力)只取決于質點間鍵的伸長率。對于由單層材料組成的近似二維物體，本構力函數f可表示為：

(4)

(5)

(6)

式中：c為質點間的鍵剛度；s為鍵的伸長率；k為材料的體積模量；h為單層材料點的厚度。

原始微觀彈脆性模型的本構模型可用圖2表示。在線彈性階段，本構力函數f與伸長率s呈線性增加關系，當伸長率s超過某一閾值s0，質點間的相互作用將會不復存在。鍵的狀態μ可用式(7)表示：

圖2 材料受拉的本構模型

(7)

質點x的損傷可被定義為：

(8)

損傷D(x,t)的取值范圍為0～1，當損傷為0時代表質點處于彈性階段，損傷為1時表示質點完全發生破壞，一般認為，當損傷≥0.5時就會有裂縫產生[27]。

1.2 模型構建和參數設置

本文基于隨機骨料模型[28]和蒙特卡羅法[29]開展研究。模型尺寸如圖3所示，骨料形狀為球形，粒徑范圍為3～8 mm，符合富勒級配，骨料體積比為40%。模型分辨率為0.4 mm，共包含76 576個質點。根據數值模型中的質點位置將其分為兩類：骨料質點和砂漿質點，因此形成了砂漿-砂漿鍵、骨料-骨料鍵以及砂漿-骨料(ITZ)鍵。近場作用范圍δ=1.2 mm，各類型鍵剛度c可通過式(5)計算，模型在x和y方向均為自由邊界。借助LAMMPS軟件，對數值試件上下端25 mm范圍內賦予1 μm/s的初始速度開始拉伸直至完全破壞。

圖3 單軸拉伸模型

2 結果與討論

2.1 數值算例

采用表1所示的各相材料力學參數(下文各相材料的彈性模量和抗拉強度分別用EA、EM、EITZ、fTA、fTM以及fTITZ表示)，數值試件的應力-應變關系和斷裂過程如圖4所示。在單軸拉伸荷載作用下，數值試件首先進入線彈性階段(O-A段)，此過程質點間的鍵幾乎不發生斷裂，沒有微裂縫萌生；隨著變形的增大，試件應力逐漸增大直至達到峰值應力(A-B段)，此過程質點間的鍵開始發生斷裂，裂縫從ITZ區域的多個位置萌生；接著進入下降段(B-C段)，此時質點間鍵的斷裂數量急劇增加，裂縫逐步擴展并形成貫通的主裂縫(C-D段)，導致試件發生破壞。值得注意的是，本文中的力學曲線中基本沒有出現軟化段，這主要是因為鍵基近場動力學本構關系忽略了砂漿在更小尺度的延性[30-31]。根據結果可知，正是骨料和砂漿之間存在的薄弱區域(ITZ)造成了混凝土在外荷載下的開裂以致破壞。從力學曲線和斷裂過程來看，所建立的數值模型能較好地對應混凝土在單軸拉伸作用下的力學行為。

表1 數值模型的各相力學參數

圖4 單軸拉伸載荷下數值模型的應力應變關系及斷裂鍵數與應變的關系

2.2 粗骨料含量的影響

保持各相力學參數不變，對粗骨料含量分別為30%、40%和50%(均為體積分數)的數值試件進行單軸拉伸模擬。圖5為三種粗骨料含量下的應力-應變曲線。如圖5所示，隨著粗骨料含量的升高，在線彈性階段，各試件彈性模量和抗拉強度均逐漸降低，達到峰值應力時所對應的峰值應變逐漸減小。具體來說，在達到峰值應力時，粗骨料含量為30%、40%和50%對應的應變分別為4.06×10-4、3.98×10-4和3.42×10-4。這是因為隨著粗骨料含量的增多，砂漿與粗骨料之間的薄弱區域(ITZ)也隨之增加。將應力-應變曲線進行歸一化處理后(見圖6)，結果表明50%粗骨料含量的試件延性最高。這主要是因為隨著粗骨料含量的增加，ITZ也隨之增加，結合三種粗骨料含量下數值試件破壞形態(見圖7)可知，與含30%和40%粗骨料的數值試件相比，含有50%粗骨料數值試件的ITZ區域萌生了更多的裂縫，因而拉伸過程中消耗了更多能量，延性較前兩者略好。

圖5 三種粗骨料含量下數值試件的應力-應變曲線

圖6 三種粗骨料含量下數值試件的歸一化應力-應變曲線

圖7 三種粗骨料含量下數值試件的破壞形態

2.3 ITZ抗拉強度的影響

數值算例中fTA∶fTM∶fTITZ=20∶10∶1，通過改變fTITZ的值研究了其對數值試件力學性能的影響。圖8為不同ITZ強度下的應力-應變曲線。由圖8可知，在單軸拉伸荷載作用下，數值試件的抗拉強度隨著fTITZ的增強而提高。當ITZ不存在(即fTM=fTITZ)時，數值試件抗拉強度提高比較明顯，說明混凝土均質性的提高有助于力學性能的提升。圖9為不同ITZ強度下的歸一化應力-應變曲線。圖9表明，隨著fTITZ的增大，數值試件脆性也呈現逐漸增大的趨勢。

圖8 不同ITZ強度下數值試件的應力-應變曲線

圖9 不同ITZ強度下數值試件的歸一化應力-應變曲線

通過對圖10數值試件破壞的過程分析可知，當fTA∶fTM∶fTITZ=20∶10∶0.5和20∶10∶1時，隨著變形的增加，裂縫均從多個ITZ區域萌生和擴展，最終形成貫通裂縫導致混凝土破壞。當fTA∶fTM∶fTITZ=20∶10∶5時，裂縫基本上只在試件截面中間位置的ITZ區域萌生，截面尺寸最小位置處的砂漿內部也會有少許裂縫萌生。隨著進一步加載，兩區域的裂縫逐漸擴展、交叉形成貫通裂縫。當fTA∶fTM∶fTITZ=20∶10∶10時，裂縫不再從ITZ區域萌生，而是從截面尺寸最小的位置萌生并逐步向試件內部擴展。此外，隨著fTITZ的提高，出現損傷的ITZ區域逐漸減少，這也是造成含有較低強度ITZ的試件有較大延性的原因。

圖10 不同ITZ強度下數值試件的最終破壞形態

2.4 粗骨料強度的影響

以數值算例為基準組(fTA∶fTM∶fTITZ=20∶10∶1)，保持砂漿和ITZ的力學參數不變，通過等比例改變粗骨料的彈性模量和抗拉強度，模擬了數值試件的力學響應和斷裂形態。

圖11為不同粗骨料強度下數值試件的應力-應變曲線。由圖11可知，隨著粗骨料力學性能的降低，數值試件的抗拉強度總體呈現降低趨勢，但當fTA∶fTM∶fTITZ為10∶10∶1和5∶10∶1時，數值試件的抗拉強度反而上升。圖12為不同粗骨料強度下數值試件的歸一化應力-應變曲線。由圖12可知，當fTA∶fTM∶fTITZ=10∶10∶1和5∶10∶1時，數值試件的延性要更好。

圖11 不同粗骨料強度下數值試件的應力-應變曲線

圖12 不同粗骨料強度下數值試件的歸一化應力-應變曲線

圖13為不同粗骨料強度下數值試件的最終破壞形態。由圖13可知，當fTA∶fTM∶fTITZ=20∶10∶1、15∶10∶1、10∶10∶1和5∶10∶1時(見圖13(a)～(d))，數值試件中裂縫的萌生、擴展以及最終斷裂形態與基準組類似。與(a)、(b)兩組相比，(c)、(d)兩組在破壞時除了存在一條主裂縫以外，還萌生了一條次裂縫，因此斷裂的鍵數更多，抗拉強度更高。當fTA∶fTM∶fTITZ=1∶10∶1和0.5∶10∶1時(見圖13(e)和(f))，裂縫不只從ITZ區域萌生，而是在骨料內部和ITZ區域同時萌生并擴展，最后穿過骨料內部形成主裂縫，該情況與輕骨料混凝土的破壞形式[31]類似，因此通過改變骨料力學參數，本文所建立的模型也能較為合理地模擬出單軸拉伸荷載下輕骨料混凝土的破壞過程。

圖13 不同粗骨料強度下數值試件的最終破壞形態

2.5 砂漿和ITZ抗拉強度的影響

以數值算例為基準組，保持骨料的力學參數不變，通過同比例增大砂漿和ITZ的彈性模量和抗拉強度，對數值試件的力學曲線和斷裂形態進行了模擬。

圖14為不同骨料和ITZ強度下數值試件的應力-應變曲線。如圖14所示，砂漿和ITZ力學性能的提升會帶來數值試件彈性模量和抗拉強度的明顯增大，這主要是因為裂縫一般從ITZ區域萌生并沿砂漿內部擴展，因此砂漿和ITZ性能提高會使裂縫在萌生和擴展時消耗更多能量，因而數值試件的彈性模量和抗拉強度逐漸增大。此外，不同骨料和ITZ強度下數值試件的歸一化曲線(見圖15)表明，隨著砂漿和ITZ的彈性模量和抗拉強度的增大，數值試件的延性逐漸降低，脆性逐漸增大。

圖14 不同骨料和ITZ強度下數值試件的應力-應變曲線

圖15 不同骨料和ITZ強度下數值試件的歸一化應力-應變曲線

圖16為不同骨料和ITZ強度下數值試件的最終斷裂形態。如圖16中(a)～(c)所示，當fTA∶fTM≥1時，砂漿和ITZ力學性能的提高對混凝土斷裂的最終形態基本沒有影響，裂縫的萌生和擴展過程也與基準組相似。當fTA∶fTM<1時，ITZ雖仍是體系中的最薄弱區域，但砂漿強度超過骨料強度，骨料成為體系中的次薄弱區域，因此骨料表面出現少量損傷。當fTM∶fTITZ=1時，裂縫從骨料表面萌生并向試件截面尺寸最小的中間部位擴展，數值試件的抗拉強度出現大幅度提升，模擬結果可以與高強混凝土的斷裂過程對應[32]。

圖16 不同骨料和ITZ強度下數值試件的最終斷裂形態

3 結 論

(1)本文所建立的基于近場動力學理論的數值模型可以較好地模擬混凝土在單軸拉伸作用下的力學曲線和斷裂形態。但由于鍵基近場動力學本構關系忽略了砂漿在更小尺度的延性以及二維數值模型不能很好地再現實際三維混凝土試件，因而試件在達到峰值應力之后，力學曲線出現急劇下降趨勢，不能很好地再現軟化段的曲線。后續研究對鍵基近場動力學理論進行修正,同時也應結合CT斷層掃描、圖像識別技術和有限元方法對三維試件進行模型重構，使其能更加精確地預測混凝土的破壞過程,從而對工程結構的材料設計起到指導作用。

(2)粗骨料含量的增加會在混凝土中引入更多的界面過渡區，從而導致抗拉強度降低，但存在閾值。粗骨料含量小于此閾值時，隨著粗骨料含量的增加，混凝土的延性降低；粗骨料含量大于此閾值時，界面過渡區萌生了更多的裂縫，因此延性有所提高。此外，不同粗骨料含量下，裂縫的萌生均從界面過渡區開始，沿著骨料邊緣或砂漿內部擴展和交叉，最終形成貫通的主裂縫。但粗骨料含量較高時，多個位置的界面過渡區萌生裂縫。

(3)砂漿基體和界面過渡區力學性能的提高會提升混凝土的抗拉強度，同時導致混凝土延性降低，脆性增加。改變骨料、砂漿和界面過渡區的力學參數比值可以較好地模擬出不同類型的混凝土在單軸拉伸荷載下的力學性能和斷裂形態。輕骨料混凝土中的輕骨料取代界面過渡區成為體系中較為薄弱的區域，而高強混凝土中截面尺寸最小位置和界面過渡區共同成為體系中較為薄弱的區域，因而輕骨料混凝土和高強混凝土裂縫發展規律與普通混凝土有所不同。