VSI EWMA單邊極差控制圖設計

劉海博 宋向東

（燕山大學 理學院，河北 秦皇島 066004）

一、引言

控制圖為統計質量控制過程作出了極大貢獻，可以較為直觀地觀察過程是否穩定可控。1924年，Shewhart繪制出了第一張質量控制圖，并以此命名為休哈特控制圖[1]。后續各國學者在休哈特控制圖的基礎上演變出兩類控制圖：一是1954年Page提出的基于序貫概率比檢驗的CUSUM控制圖[2]；二是1959年Robert通過賦予樣本不同權重的EWMA控制圖[3]。這兩類控制圖作為休哈特控制圖的變體，均能很好地對中小偏移作出更快速地響應，在實際生產中均被廣泛使用。以上所述的控制圖均是以抽樣區間、樣本容量固定不變為前提的靜態控制圖，當控制樣本接近控制限時，此時的監控過程已經大概率存在偏移，若仍按原來的抽樣區間間隔或樣本量進行監控，就不能及時預知生產過程的偏移變化，將會造成生產損失。基于可變抽樣區間或可變樣本容量的動態控制圖也被越來越多的學者加以研究，且已有研究證明動態控制圖在生產質量控制過程中表現更加合理[4-5]。

極差R控制圖在傳統控制圖中一般用來取代標準差S控制圖，以計算方便、簡單而廣受現場工作人員喜愛。在現有研究中，濮曉龍和汪洋等針對國家標準極差控制圖中現有的問題，提出了非對稱極差控制圖[6]。張維銘提出了可變參數的中位數和極差控制圖，通過計算平均鏈長比較二者的控制效率[7-9]。郭寶才和林雙苗等提出帶參數估計的極差控制圖設計，對等尾控制圖和無偏控制圖加以討論，利用Bootstrap方法對控制圖的控制限加以修正，使修正圖的條件受控平均鏈長高于目標值[10]。莊芳和郁淼淼等梳理了參數過程中常見的四類干擾項，從而比較不同EWMA控制圖的運行效率及誤差[11]。尚云艷以提高控制圖對中小漂移的敏感度為目標，設計了基于似然比的變化樣本容量的EWMA動態控制圖[12]。

已有研究中，對于可變抽樣區間條件下的EWMA單邊極差圖的研究仍然存在空白，本文在已有研究基礎上設計了可變抽樣區間條件下的EWMA單邊極差圖，以總體服從正態分布為假設前提，通過計算平均報警時間（ATS）來比較控制圖效率。

二、VSI EWMA單邊極差控制圖描述

（一）極差相關統計量推導

設樣本點 xi～N（μ，σ2），表示第 i點抽取的樣本，均來自同一生產過程且相互獨立，μ0、σ0分別為標準差的目標值，即受控過程下的均值和方差。對于極差圖來說，僅需要考慮標準差的變化，記σ=cσ0，c為標準差的偏移系數。c=1時，認為過程無偏移；c≠1時，認為過程存在偏移。記 R=X（n）-X（1），其中 X（1），X（2），…，X（n）為順序統計量。易推得極差R的分布函數FR（n）及概率密度函數fR（n）分別為：

其中，φ（·）和φ（·）分別為正態分布的概率密度函數和分布函數，由上述表達式我們可知，極差的分布函數和概率密度函數均與樣本量n有關。其對應期望ER（n）和方差VarR（n）分別為：

值得注意的是，極差R的方差計算需要考慮X（1）與X（n）的相關性，以上均可通過MATLAB利用數值積分來計算結果。

（二）VSI EWMA單邊極差控制圖

EWMA控制圖，即指數加權移動平均控制圖，所有抽取的觀測值都依賴于EWMA點，可以通過設置不同參數來規定不同程度的偏移。EWMA控制圖的優點在于，它不僅考慮了當前的樣本值，也考慮了歷史觀測值對現在的影響，最新的樣本值占最大權重，歷史觀測值按相反次序以幾何級數依次遞減加權，所以對于連續生產過程中的中小偏移有較高的敏感度。記EWMA統計量為：

Zt=（1-λ）Zt-1+λ Rt

其中，λ為平滑參數，0<λ≤ 1；Rt為第 t個樣本觀測值的極差。對于Z0一般記為μ0，λ=1時即為常見的Shewhart控制圖。

當過程可控時：

E（Z）=ER（n）=μR（n）

為計算方便，取t→∞，此時方差會收斂于漸進值，將其與單邊極差控制圖結合，可推得其上限UCL、上警戒限UWL為：

通常情況下取a=3，w=1。

對于常規控制圖來說，通常需要同時控制圖的上限UCL、下限LCL，但由極差的含義可知，極差R只能取正值，遂在此僅討論單邊極差圖。由此，可將極差圖分為警戒域I1，中心域I2，失控域I3：

I1=（UWL，UCL）

I2=（0，UWL）

I3=（UCL，+∞ ）

對于固定抽樣區間控制圖來說，樣本點與樣本點間的時間長度固定不變。可變抽樣區間極差控制圖的樣本抽樣區間則依賴于對應極差值。對可變抽樣區間極差圖應用有限個區間長度0

在固定樣本容量情況下，如果第一次抽樣樣本點落入中心域I2，對于第二次抽樣擴大抽樣區間至s2以便節省成本；第一次抽樣樣本點落入警戒域I1，對于第二次抽樣縮短樣本區間至s1，以便更快響應異常；樣本點落入失控域I3，及時報警。理論上來說，短抽樣間隔s1越小越好，s1越小越能降低抽樣時間；長抽樣間隔s2越大越好，s2越大越能減少抽樣次數，從而節約成本。

三、VSI EWMA單邊極差圖的平均鏈長

常規固定抽樣區間控制圖，通常以平均鏈長（ARL）作為控制圖效率的評價標準，即在發出失控通知前所抽取的樣本個數n；此時時間區間長度乘以發出失控通知前的樣本數即從過程運行至發出預警所需平均時間。過程無偏移時，ARL越大越好；過程存在偏移時，ARL越小越好。與ARL經常搭配的一個控制評價標準為ATS，對于子組抽樣為等時間間隔抽樣時，設某子組發出失控信號為止所用時間為t，則其期望Et為ATS。過程無偏移時，ATS越大越好；過程存在偏移時，ATS越小越好。且在固定抽樣間隔及樣本容量時，ARL與ATS可以列出如下等式：

ATS（σ）=tARL（σ）

對于可變抽樣區間控制圖來說，子組抽樣頻率依賴于過程標準差，此時發出預警信號的時間便不再是樣本數的常數倍，對于可變抽樣區間控制圖，其平均鏈長需要依賴于發預警信號前的樣本數和時間。所以，這里以平均預警時間可變抽樣區間作為動態控制圖的評價標準[13]。在保證控制限不變時，可變抽樣區間控制圖并不影響樣本點失控或預警的概率。記pi為落入Ii區域的概率，q為樣本點落入失控域I3的概率，N為發出信號時所需樣本數，易知N～Ge（q），T為發出信號時所需時間，ξi為抽取第i個樣本之前的抽樣區間，在過程未發生變化時，有：

因為s（Zt）是只受控制限內的樣本點定義，所以ξi為s（Zt）的條件分布。為方便后續計算，這里給定一個默認前提，假設控制圖起始點為0，且在過程開始時使用短的抽樣區間s1。在過程均值為常數時，ξi獨立且同分布，根據瓦爾德等式：

四、效率比較

要使可變抽樣區間（VSI）控制圖與固定抽樣區間（FSI）控制圖可比較，需要保證兩個相同前提：一是抽樣比相同，即在較長的固定時間間隔內，兩方案的抽取樣本總數相同；二是需要令其在無偏移情況時，即σ=σ0時，平均預警時間相同。也就是說，假設FSI控制圖每隔一小時抽取一個樣本點觀測，即以一小時為單位時間，就要求FSI控制圖的平均預警時間與發信號的平均樣本數相等。對于設計的VSI控制圖在無偏移情況下的E（ξi）為一個時間單位，此時才能保證兩圖可以通過ATS來對比控制效率。因而在接下來的VSI EWMA R圖與FSI EWMA R圖比較中，控制以上兩個前提均相等。

給定n=5，a=3，w=1，固定抽樣情況下選取抽樣區間s=1，變抽樣區間情況下選取s1=0.5，s2=1.5。以下為應用MATLAB軟件隨機模擬10000次的數值結果，分別計算了VSI EWMA單邊極差控制圖與FSI EWMA單邊極差控制圖的ATS。從模擬數據的對比中可以看到，控制平滑系數不變的情況下，隨著偏移增大，VSI EWMA單邊極差圖相較于FSI EWMA單邊極差圖有著較快的響應速度。

表1 λ=0.1條件下VSI EWMA單邊極差圖與FSI EWMA單邊極差圖的ATS對比

表2 λ=0.2條件下VSI EWMA單邊極差圖與FSI EWMA單邊極差圖的ATS對比

表3 λ=0.3條件下VSI EWMA單邊極差圖與FSI EWMA單邊極差圖的ATS對比

表4 λ=0.4條件下VSI EWMA單邊極差圖與FSI EWMA單邊極差圖的ATS對比

表5 λ=0.5條件下VSI EWMA單邊極差圖與FSI EWMA單邊極差圖的ATS對比

五、結論

本文構造了VSI EWMA單邊極差控制圖，與傳統FSI EWMA單邊極差控制圖對比后發現，在給定若干前提的情況下，隨著標準差偏移系數c的增大，兩圖的ATS都有一定程度的減小，這與預想相同，即隨著過程偏移愈發明顯，控制圖更容易檢測出過程異常；若控制標準差偏移系數c一致，對比兩圖的ATS發現，VSI EWMA單邊極差圖的ATS更低，即在相同偏移情況下，VSI EWMA單邊極差控制圖的平均預警時間更低，可以更快發現過程異常，方便工作人員及時檢測生產過程，從而在一定程度上減少抽樣成本，為生產提效，因而有一定研究和推廣意義。

本文在新控制圖的設計上進行了有價值的研究，但由于本文設計的控制圖所有參數較多，在后續的研究中，仍然有一定優化空間。如對于不同抽樣區間的取值，在何種抽樣區間組合下，可以使VSI EWMA單邊極差控制圖最優且效率最大化；結合控制圖的推廣來說，在何種條件組合下可以使該圖的設計成本最低。這些都是后續可以研究、改進的方向。