基于GA-BP模型及時(shí)間序列分析的GDP預(yù)測(cè)
——以四川省為例

尤旭洋

（四川省社會(huì)科學(xué)院，四川 成都 610072）

一、引言

預(yù)測(cè)在日常生活中十分常見(jiàn)。采用科學(xué)方法預(yù)測(cè)，可以使人們掌握事物發(fā)展趨勢(shì)，進(jìn)而規(guī)避許多風(fēng)險(xiǎn)。小到衣食住行，大到國(guó)家政治經(jīng)濟(jì)決策，預(yù)測(cè)貫穿哲學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、人口學(xué)等多方面，如何做到精確預(yù)測(cè)是非常重要的工作。GDP作為衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要指標(biāo)，研究其變化規(guī)律尤為重要，本文采用時(shí)間序列等方法研究GDP增長(zhǎng)趨勢(shì)。經(jīng)濟(jì)生活中的大部分時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，GDP數(shù)據(jù)就是典型的非平穩(wěn)時(shí)間序列，它的變化受許多因素的影響，很多因素對(duì)GDP有長(zhǎng)期性、決定性作用，使時(shí)間序列變化呈某種趨勢(shì)和一定規(guī)律性，還有很多因素，則起到短期的非決定性作用，使時(shí)間序列變化呈隨機(jī)的不規(guī)則性。GDP預(yù)測(cè)具有很強(qiáng)的時(shí)效性，本文采用最新數(shù)據(jù)，用多種方法預(yù)測(cè)四川省GDP的變化趨勢(shì)。

二、利用ARIMA模型預(yù)測(cè)四川省GDP

時(shí)間序列數(shù)據(jù)預(yù)處理。先從時(shí)間序列的平穩(wěn)性及隨機(jī)性方面進(jìn)行預(yù)處理。根據(jù)四川省歷年GDP總量時(shí)序圖，可以看出GDP有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，因此判定該時(shí)間序列不滿足平穩(wěn)性。對(duì)其進(jìn)行一階差分預(yù)處理，結(jié)果如圖1所示，仍然不平穩(wěn)，做進(jìn)一步的差分處理，結(jié)果如圖2所示，二階差分后的序列一直圍繞均值波動(dòng)，于是判定其為二階差分平穩(wěn)序列。

圖1 四川省GDP一階差分時(shí)序圖

圖2 四川省GDP二階差分時(shí)序圖

白噪聲檢驗(yàn)。二階差分之后的序列自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖分別如圖3、圖4所示，自相關(guān)系數(shù)圖顯示序列有短期相關(guān)性，說(shuō)明差分后序列隱藏了很多可供提取的數(shù)據(jù)信息，所以二階差分后序列為平穩(wěn)非白噪聲序列。通過(guò)平穩(wěn)性及白噪聲檢驗(yàn)之后，進(jìn)行ARIMA模型的定階。

圖3 四川省GDP自相關(guān)系數(shù)

由圖3、圖4可知，自相關(guān)系數(shù)圖和偏自相關(guān)系數(shù)圖都符合正弦震蕩衰減的拖尾形態(tài)。接下來(lái)進(jìn)一步確定模型參數(shù)，根據(jù)BIC準(zhǔn)則，BIC函數(shù)定義如下：

圖4 四川省GDP偏自相關(guān)系數(shù)

N是時(shí)間序列的序列長(zhǎng)度，擬合的參數(shù)一般不超過(guò)N/10，隨著不斷提升模型的參數(shù)p和q，BIC函數(shù)中的第一項(xiàng)序列殘差平方估計(jì)量的自然對(duì)數(shù)值會(huì)減小，第二項(xiàng)會(huì)增大，存在某一數(shù)值使得BIC值最小，R2更接近1，盡量選取BIC信息量值最小的參數(shù)，建立ARIMA模型?？梢杂^察到二階差分后序列的自相關(guān)圖表現(xiàn)出自相關(guān)系數(shù)迅速衰減到零，自相關(guān)圖表現(xiàn)出典型的一階截尾性，即q=1，而偏自相關(guān)系圖表現(xiàn)出非截尾的性質(zhì)。原序列二階差分后平穩(wěn)，差分次數(shù)為d=2，因此用 ARIMA（0，2，1）模型擬合原序列。

部分模型效果如表1所示，選擇建立 ARIMA（0，2，1）模型?？梢钥闯觯Ｐ偷膮?shù)顯著性較高，預(yù)測(cè)值為40046，真實(shí)值為40678，誤差百分比為1.6%，預(yù)測(cè)效果較好。

表1 模型不同參數(shù)比較

三、利用BP模型預(yù)測(cè)四川省GDP

（一）構(gòu)建BP模型

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模仿的是大腦神經(jīng)元功能，是一種智能仿生模型，可以通過(guò)學(xué)習(xí)和訓(xùn)練掌握大量知識(shí)，從而對(duì)變量進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到給定精度下的預(yù)測(cè)值。神經(jīng)元的默認(rèn)激勵(lì)函數(shù)通常如下：

單個(gè)神經(jīng)元的功能非常有限，但是大量神經(jīng)元相互連接，每一層的神經(jīng)元狀態(tài)都會(huì)影響下一層的神經(jīng)元，具有十分強(qiáng)大的功能，并且能夠很好地進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。輸入層m個(gè)神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)到輸出層的n個(gè)神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)，可以形成從m個(gè)自變量映射到n個(gè)需要預(yù)測(cè)的因變量的函數(shù)。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有很多模型，但應(yīng)用最廣泛、最直觀的是多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和誤差反向傳播學(xué)習(xí)算法，即BP網(wǎng)絡(luò)。輸出層用于輸出網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的結(jié)果向量，輸出向量的尺寸應(yīng)根據(jù)具體的應(yīng)用要求進(jìn)行設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)盡量減少系統(tǒng)的規(guī)模，以減少系統(tǒng)的復(fù)雜性。m個(gè)變量就是輸入層選定的自變量輸入信號(hào)，然后通過(guò)隱藏層的不停處理反饋，進(jìn)而得出輸出層所需的變量預(yù)測(cè)值。因此，需要選取多個(gè)可能會(huì)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生影響的自變量指標(biāo)。

（二）訓(xùn)練數(shù)據(jù)的選擇及預(yù)處理

選取訓(xùn)練數(shù)據(jù)時(shí)，必須基于正確的宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，否則選取的自變量也許僅僅有一定的相關(guān)關(guān)系，但并不適宜用這些變量進(jìn)行預(yù)測(cè)。

GDP的核算方法有生產(chǎn)法、支出法、收入法，其中支出法為：

GDP=C+I+G+NX

公式中的I主要與固定資產(chǎn)投資和存貨投資有關(guān)，而C與各行各業(yè)的消費(fèi)購(gòu)買(mǎi)金額有關(guān)，G代表政府購(gòu)買(mǎi)，NX代表凈出口。

表2 選擇的自變量指標(biāo)含義

首先，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理：

部分?jǐn)?shù)據(jù)的歸一化處理結(jié)果如表3所示：

表3 數(shù)據(jù)歸一化

特別說(shuō)明本文的創(chuàng)新點(diǎn)之一在于，一般情況下BP網(wǎng)絡(luò)為了增強(qiáng)映射能力和泛化能力都會(huì)采用非線性函數(shù)，實(shí)際上BP模型就是一種非線性預(yù)測(cè)的強(qiáng)手段。但是GDP、從業(yè)人口增長(zhǎng)等實(shí)際生活中的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，通常更趨向于線性，而不會(huì)呈現(xiàn)為指數(shù)形式。從GDP核算公式可以看出兩者是符合某種線性關(guān)系的。因此輸入層和隱藏層的擬合函數(shù)本文均選擇線性擬合函數(shù)purelin，而沒(méi)有選用普通的默認(rèn)函數(shù)。下文對(duì)線性擬合函數(shù)purelin與默認(rèn)函數(shù)預(yù)測(cè)效果進(jìn)行比較。

圖5 預(yù)測(cè)值與真實(shí)值對(duì)比

圖6 GDP誤差變化曲線

表4 神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)為15時(shí)的一次B P神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)GDP預(yù)測(cè)結(jié)果

圖7 學(xué)習(xí)效果曲線圖

由結(jié)果可知在訓(xùn)練到第8次時(shí)，誤差表現(xiàn)已經(jīng)達(dá)到訓(xùn)練精度要求，此時(shí)停止訓(xùn)練，預(yù)測(cè)值誤差穩(wěn)定在2%左右，相關(guān)度R均大于0.99，非常接近1。

（三）擬合函數(shù)變化對(duì)預(yù)測(cè)的影響

圖8 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)程圖

采用默認(rèn)函數(shù)預(yù)測(cè)，與上文線性函數(shù)預(yù)測(cè)效果進(jìn)行比較?？梢钥闯霎?dāng)采用BP模型默認(rèn)的節(jié)點(diǎn)激活函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，預(yù)測(cè)效果很差，不僅預(yù)測(cè)值與真實(shí)值相差極大，預(yù)測(cè)的誤差不降反升，一度達(dá)到20.1%，學(xué)習(xí)次數(shù)達(dá)到44次，學(xué)習(xí)效果不佳，所以采用線性函數(shù)效果更好。

圖9 非線性函數(shù)預(yù)測(cè)值與真實(shí)值對(duì)比

圖10 非線性函數(shù)預(yù)測(cè)誤差變化曲線

表5 神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)為非線性函數(shù)時(shí)的一次預(yù)測(cè)結(jié)果

（四）網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化對(duì)預(yù)測(cè)的影響

由于初始輸入層和輸出層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式確定，并不一定是最優(yōu)的。所以為進(jìn)一步探究隱含層神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)以達(dá)到學(xué)習(xí)效果相對(duì)最優(yōu)，接下來(lái)保持預(yù)測(cè)精度、最大迭代次數(shù)、學(xué)習(xí)率等參數(shù)不變，改變節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，比較學(xué)習(xí)次數(shù)多少和誤差大小，結(jié)果如表6所示，不同神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)下的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型學(xué)習(xí)效果存在一定差別。

表6 不同神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的學(xué)習(xí)結(jié)果比較

神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為5-10時(shí)，學(xué)習(xí)次數(shù)偏多，學(xué)習(xí)效果不好，誤差偏大，處于欠擬合狀態(tài)。神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)大于20時(shí)，學(xué)習(xí)次數(shù)良好，但誤差偏大，處于過(guò)擬合狀態(tài)。在神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為15左右時(shí)，誤差相對(duì)最小，學(xué)習(xí)次數(shù)相對(duì)較少，能達(dá)到預(yù)測(cè)誤差要求。

由此可見(jiàn)，BP預(yù)測(cè)的效果雖好但是要基于大量多維的數(shù)據(jù)，需要利用所有的歷史數(shù)據(jù)提高人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化能力，實(shí)際上這種預(yù)測(cè)方法適合短期預(yù)測(cè)。

四、利用GA-BP模型預(yù)測(cè)四川省GDP

（一）構(gòu)建GA-BP模型

BP模型有一些固有的缺點(diǎn)。首先，BP模型的隱含層神經(jīng)元數(shù)量結(jié)構(gòu)是事先規(guī)定好的，僅僅是試出來(lái)的最優(yōu)解。其次，BP模型網(wǎng)絡(luò)的初始閾值以及權(quán)值是隨機(jī)產(chǎn)生的，沒(méi)有選擇的原理，隨著算法不斷迭代更新。最后，BP模型采用梯度下降法，容易陷入局部最優(yōu)解，而找不到全局最優(yōu)解。為解決這些問(wèn)題，進(jìn)一步引入GA-BP模型（遺傳-誤差反向傳播算法Genetic Algorithm-Error Back Propagation）進(jìn)行預(yù)測(cè)。遺傳算法（GA）是一種從自然界中的進(jìn)化過(guò)程得到啟發(fā)的算法，是人工智能的一種算法，本質(zhì)上是一種并行處理的全局搜索算法。搜索過(guò)程中不斷優(yōu)化，尋求最優(yōu)解。通過(guò)類(lèi)似基因遺傳、片段交叉、基因突變、自然選擇的作用下產(chǎn)生更新迭代，具體操作如下：

選擇操作：類(lèi)似于自然選擇過(guò)程，更加適應(yīng)要求的個(gè)體特征，被遺傳的概率更大。反之，不太適應(yīng)的個(gè)體會(huì)逐漸被淘汰。

交叉操作：類(lèi)似基因交叉，可以產(chǎn)生新的，與之前個(gè)體特征都不一樣的新個(gè)體，產(chǎn)生的新個(gè)體通常相對(duì)原個(gè)體更先進(jìn)。為了判斷構(gòu)建的染色體進(jìn)化效果，必須要引入一個(gè)評(píng)價(jià)方式，我們稱(chēng)為適應(yīng)度函數(shù)，它保證了算法向好的方向進(jìn)行下去，模擬了物競(jìng)天擇自然選擇的過(guò)程。不同問(wèn)題需要專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)不同的適應(yīng)度函數(shù)，最直接的設(shè)定方式是采用問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，但這個(gè)函數(shù)必須基于原來(lái)的算法，與原來(lái)的誤差有關(guān)，實(shí)際應(yīng)用時(shí)通常?。?/p>

分母與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的殘差平方和（SSE）相關(guān)，誤差越大，適應(yīng)函數(shù)值越小，表示該個(gè)體適應(yīng)度越差，反之，適應(yīng)度良好的個(gè)體可以被保留。適應(yīng)度函數(shù)會(huì)影響遺傳算法的迭代停止條件?，F(xiàn)實(shí)中，對(duì)于遺傳算法何時(shí)停止迭代的理論研究還不成熟。但是，當(dāng)采用與原來(lái)的誤差有關(guān)的目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度度量時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)種群中的個(gè)體已趨于穩(wěn)定的狀態(tài)為算法停止迭代條件。遺傳算法迭代的停止條件要視情況而定，何時(shí)停止要具體問(wèn)題具體分析。某種程度上，適應(yīng)度驅(qū)動(dòng)了遺傳算法的進(jìn)化。但現(xiàn)實(shí)中有些求解問(wèn)題含有約束條件，而適應(yīng)度缺乏明確表示約束條件的能力。當(dāng)然，目前為止也有一些解決該問(wèn)題的辦法，但考慮到本文不涉及約束條件，不再深入闡述該問(wèn)題。

（二）預(yù)測(cè)結(jié)果

用matlab實(shí)現(xiàn)GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)算法結(jié)果如圖11、圖12所示。

圖11 GA-BP預(yù)測(cè)值與真實(shí)值對(duì)比

圖12 GA-BP預(yù)測(cè)誤差變化曲線

表7 神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)為15時(shí)的一次GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)GDP預(yù)測(cè)結(jié)果

訓(xùn)練到第8次時(shí)，誤差表現(xiàn)達(dá)到訓(xùn)練精度要求，此時(shí)停止訓(xùn)練，預(yù)測(cè)值誤差穩(wěn)定在2%左右，相關(guān)度R均大于0.99，非常接近1。與原來(lái)的BP模型相比，GA-BP模型誤差更小，最為明顯的是誤差下降速度更快。

（三）GA-BP算法與BP算法對(duì)比

為了進(jìn)一步比較GA-BP算法與BP算法的預(yù)測(cè)效果，改變神經(jīng)元個(gè)數(shù)，對(duì)比兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)誤差是否達(dá)到要求的精度，比如要求均方誤差MSE小于0.01。

由表8可知，設(shè)置目標(biāo)MSE為最大0.01，最大迭代次數(shù)參數(shù)均為1000次，但神經(jīng)元個(gè)數(shù)分別為5和10時(shí)，BP模型并不能在規(guī)定次數(shù)內(nèi)達(dá)到要求精度，此時(shí)對(duì)應(yīng)的GA-BP模型的預(yù)測(cè)達(dá)標(biāo)次數(shù)已經(jīng)分別達(dá)到21次和24次，達(dá)標(biāo)率分別為72%和80%。可以得出結(jié)論：在神經(jīng)元個(gè)數(shù)低于經(jīng)過(guò)試驗(yàn)檢驗(yàn)的最優(yōu)個(gè)數(shù)15時(shí)，GA-BP模型的預(yù)測(cè)效果好于BP模型。設(shè)定神經(jīng)元個(gè)數(shù)為20時(shí)，也就是高于經(jīng)過(guò)試驗(yàn)檢驗(yàn)的最優(yōu)個(gè)數(shù)15時(shí)，GA-BP模型的達(dá)標(biāo)率為90%，也高于BP模型75%。綜上所述，在規(guī)定誤差精度時(shí)，用GA-BP模型進(jìn)行預(yù)測(cè)可以比BP模型更快速地達(dá)到目標(biāo)，迭代次數(shù)更少。除此之外，在隱藏層神經(jīng)元個(gè)數(shù)增加時(shí)，兩種人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)效果都在變好，但此時(shí)是否已經(jīng)處于過(guò)擬合狀態(tài)還有待考察。

表8 兩種算法預(yù)測(cè)效果對(duì)比

采用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)比較兩種算法的性能，結(jié)果如表9所示，隱藏層神經(jīng)元個(gè)數(shù)相同時(shí)，GA-BP算法的調(diào)整R2的中位數(shù)比BP算法的調(diào)整后R2要高，說(shuō)明前者的擬合效果更好。還可以觀察到神經(jīng)元個(gè)數(shù)不是經(jīng)驗(yàn)最優(yōu)15時(shí)，通常是GA-BP算法更優(yōu)，但是在神經(jīng)元個(gè)數(shù)是15時(shí)，調(diào)整R2的中位數(shù)差距很小，且在0.9以上，非常接近1，即兩者的效果已經(jīng)沒(méi)有統(tǒng)計(jì)學(xué)上的差異，因此更推薦GA-BP模型。

表9 兩種算法預(yù)測(cè)R2對(duì)比

五、利用灰色預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)四川省GDP

為了進(jìn)一步比較其他方法的預(yù)測(cè)效果，引入灰色算法預(yù)測(cè)模型GM（Gray Model）?；疑惴ㄊ窃跀?shù)據(jù)比較簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)比較單一且不完備的情況下，數(shù)據(jù)的不確定性很強(qiáng)、約束條件很弱，此時(shí)需要在原來(lái)的基礎(chǔ)上，按照實(shí)際屬性和特征進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)?；疑珕?wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中有很廣泛的應(yīng)用。

解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一維的灰色預(yù)測(cè)通常用GM（1，1），它的灰色微分方程的解是在初始條件基礎(chǔ)上求得的，擬合曲線在坐標(biāo)平面上必然通過(guò)[1，x（1）]也就是第一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。但由最小二乘法原理可知的，擬合曲線不一定通過(guò)第一個(gè)點(diǎn)，所以基于初始條件的預(yù)測(cè)結(jié)果不一定是精確的。

圖13 灰色算法預(yù)測(cè)GDP值

后驗(yàn)差比值為0.1097，系統(tǒng)預(yù)測(cè)精度更好。但2015年的預(yù)測(cè)值誤差百分比為8.2%，傳統(tǒng)灰色算法預(yù)測(cè)GDP的誤差相對(duì)傳統(tǒng)的BP算法預(yù)測(cè)誤差還是偏大。但灰色算法預(yù)測(cè)結(jié)果簡(jiǎn)單明了，且相對(duì)BP算法更為簡(jiǎn)單，適用于相對(duì)要求不太精確的預(yù)測(cè)過(guò)程。

表10 灰色算法預(yù)測(cè)GDP結(jié)果

六、結(jié)論

本文在之前研究的基礎(chǔ)上，利用時(shí)間序列分析方法、BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，對(duì)四川省GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)。分析各種方法的優(yōu)越性和不足，探究結(jié)構(gòu)對(duì)預(yù)測(cè)的影響。時(shí)間序列分析預(yù)測(cè)方法軟件功能成熟、操作簡(jiǎn)單、結(jié)果直觀，有嚴(yán)密的數(shù)理邏輯基礎(chǔ)，相對(duì)傳統(tǒng)方法預(yù)測(cè)誤差較小，現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用廣泛。時(shí)間序列預(yù)測(cè)需要大量的歷史數(shù)據(jù)，且預(yù)測(cè)基于數(shù)據(jù)慣性，很難對(duì)拐點(diǎn)變化進(jìn)行預(yù)測(cè)，ARIMA模型很難實(shí)現(xiàn)自序列匹配。BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)相對(duì)時(shí)間序列分析方法更加精確，但算法相對(duì)復(fù)雜，容易陷入局部極小值，不具有較強(qiáng)的全局搜索能力。GA-BP算法在BP算法的基礎(chǔ)上，在權(quán)值和閾值的更新迭代上加入遺傳算法，更加優(yōu)化，且算法穩(wěn)定性相對(duì)BP算法更高?；疑A(yù)測(cè)算法雖然較為容易，對(duì)數(shù)據(jù)要求較低，但精度不如BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，可以應(yīng)用于較為粗略的預(yù)測(cè)。盡管很多統(tǒng)計(jì)軟件都有自帶的建模預(yù)測(cè)方法，但都不可能是完美的，預(yù)測(cè)過(guò)程中需要不斷測(cè)試和調(diào)整，甚至建立多個(gè)模型加以比較，從而選出最佳參數(shù)和模型。