思維中的計算機

陳凱

在有些時候，為了要判斷某個論斷是否為真，人們并不需要實際去觀察或實驗，只需要依托想象來創建一個特殊的情境，將這個論斷放置到情境中加以考察，判別它是否在所有的可能性中都能成立。以上方法被稱為思想實驗。例如，伽利略為反駁亞里斯多德關于“越重的物體下落越快”觀點的比薩塔落球實驗就是一個著名的思想實驗的例子，即便不實際測試，而只是經由邏輯推理，就可以知道，如果不同重量的球在同一高度下落卻不同時落地，會產生邏輯上的矛盾。

類似地，可以借助思想實驗的方式，在思維的想象空間中建立起某個計算裝置，通過這樣的方法對計算機的能力進行考察。筆者之所以做這方面的探索，是因為發現，學生在面對存儲程序計算機的體系結構的時候，可能會采取兩種不同的態度：一是直接將關于此體系結構的知識，如五大邏輯部件、邏輯部件的作用、邏輯部件之間的關系等作為現成的知識加以接受;二是以批判性的目光看待這個體系結構，對何以有如此結構或者是否可能有其他結構，或者當前絕大多數計算機為何采用此體系結構的原因，自主產生出疑問。根據筆者的經驗，課堂上圍繞以上問題主動發問者實屬罕見，但若發放調查問卷，詢問學生是否在學習過程中曾經自主產生過——哪怕只是在很短暫的念頭中產生過——諸如此類疑問，肯定的回答大約占總調查人數的三分之一。但教師面臨的困難是，若真有學生提出關于計算機體系結構的疑問，確實很難在有限的時間里加以回答，因為對這些問題的回答涉及太多學生未曾接觸到的計算機底層的技術細節。正因為如此，要想在計算機體系結構這一部分教學中落實思維培養的目標，障礙很大。筆者試圖以思想實驗作為突破以上障礙的某一種可能的工具。

● 簡單的排序計算裝置——物理和邏輯的雙重保證

計算裝置工作的可行性需要得到物理的和邏輯的雙重保證。在物理方面，某種機械計算裝置中機構的運轉，無論是齒輪、連桿、金屬滾珠的運動，還是電子計算裝置中電信號的保持、反轉、按規則變化等，都在自然齊一律的保證之下;在邏輯方面，如果規定某種信號狀態為1，那么它就不會是0，如果規定某種運算是與邏輯運算，那么它不會自行變成或邏輯運算。有了物理和邏輯的保證，就能夠在頭腦中以思想實驗的方式來虛構出某個計算裝置。例如，設計某個裝置，能將一系列體積不同的球，按其體積從小到大進行排序，可行的一種方法是：將這些球安置在略有傾角的滾動槽上緩慢滾落，槽上每隔一段距離，就開有小洞，越是靠上方的洞越小，越是靠下方的洞越大，所以，體積小的球會先行從洞中掉落，快速進入最下面的收集槽，而體積越大的球，就越慢進入到收集槽，最終，收集槽中的球是按體積從小到大排列的。以上過程，僅憑頭腦想象，就可認為是可行的。并且，在想象中還能發現這個裝置的弱點，只有當球的體積差異很大時，裝置才是可靠的，否則，球有可能在滾動中，卡入到比自己略小一些的洞口中上下不得。當然，還能設計出其他樣子的自動裝置方案，來給不同體積的球排序，這可以布置為一項開放且有挑戰性的任務。

● 純粹邏輯的簡單計算裝置

本文主要是想討論，在邏輯的保證下如何構造思維中的計算裝置，而暫時擱置物理上的保證。這當然不是說物理現實不重要，其中的一個原因是為了在有限的教學時間內有更集中的聚焦點。另一個很重要的原因是，當今人們所使用的計算裝置具有高度的虛擬化的特點，即便是在簡單的高級語言的程序表達式中，也難以看出計算機底層晶體管具體的工作過程。不妨想象一下，人們既可以在虛擬現實中以真實世界中建造計算機的方式來模擬建造計算機，當然也可以在虛擬現實中以不遵守現實物理規律的方式來建造計算機（這其實還更簡單），但兩者都必須遵守邏輯上的規則。

那么，在純粹的思維空間中，一個最簡單的計算裝置應當是怎樣的？它應該有幾個組成部分？可以讓學生在五大邏輯部件的系統結構圖上大膽對部件進行裁剪，看看在哪種情況下，剩下的部件還能組建成一個有計算功能的裝置。這是一個開放性的問題，大部分學生的回答是一致的，認為這個計算裝置至少應該有輸入、運算和輸出三部分。不妨在頭腦中想象某個布滿按鍵，但按了之后卻全無反應的盒子，或者想象某個布滿印有數字按鍵的盒子，按下什么數字則照樣顯示這個數字，又或者想象某個只管自顧自顯示數字的盒子。以上這些裝置可以歸為裝飾藝術品，但顯然不能用于計算。

這里有一個功能簡單的計算裝置的例子，某個用0和1兩種數字組成的點陣圖像，為了觀看方便，將數字0隱而不現，這樣就可以看出這是一張直升飛機的圖像，如圖1所示。如果這些數字作為輸入數據，而運算部件所做的是將所有的“01”轉換為“10”，那么輸出的數據所顯示的就是一個“向左移動”一格位置的直升飛機，如圖2所示。為了能順利地實現這個效果，每個數字1之間都至少夾著一個0。

可以假設，在符號串上方有許多個檢測符號串的掃描器，一旦發現符號串是“01”，就將其變成“10”，假設這個掃描器既能橫向掃描，也能縱向掃描，那么就能為直升飛機創設出上下移動的效果。至于這個功能具體是如何實現的，暫時不需要去深究，絕大多數學生認可這個功能是能夠被制造出來的。

即便是這種將符號串中所有的“01”轉換為“10”的簡單的計算裝置，當仔細分析它的輸入與輸出時，也能發現其中蘊藏著超出預想的復雜性。考慮要實現讓直升飛機不停地向左移動的功能，最簡單的辦法就是將輸出的結果重新反饋到輸入。但是，當人們這樣做的時候，又該如何定義什么是輸入、什么是輸出？對于每一次執行轉換的動作來說，前一時刻的數據是輸入，轉換后的數據是輸出;但對于期望實現直升飛機移動的動畫效果的人來說，最初時刻的數據是輸入，一系列變化中的圖像效果是輸出。在控制論中，對于一個計算部件，將其放置在整個閉環的反饋系統中分析，與將其從整體系統中分離僅作為一個局部的組件來分析，其輸入和輸出是有很大區別的。如果不結合具體任務，而只是單純地觀看計算裝置的系統結構圖，是很難發現這些微妙的區別的。

● 簡單計算裝置中的存儲和控制

對上述所說的僅有輸入、運算、輸出三個部件的簡單計算裝置繼續發問：這個裝置中真的沒有用于存儲的部件嗎？假設圖像點陣的輸入依靠的是某種開關矩陣，當觸碰矩陣中某個位置的開關，相應位置的圖像點陣的值就發生變化，顯然，人沒有足夠多的手指去觸碰所有能讓直升飛機圖像顯現出來的開關，所以當觸碰了開關后，相應位置的圖像點陣的值就應該被保持在那里，這種保持其實就是一種存儲。同樣地，對于輸出運算結果的部件來說，也需要能夠在一定時間內保持點陣的狀態。這樣看來，這個簡單裝置中的輸入和輸出的部件，其實都兼有存儲的功能。人們在網絡上搜索存儲程序計算機體系結構圖的時候就會發現，有些結構圖是以存儲器為中心繪制的，有些是以運算器為中心繪制的，這兩種繪制方式其實都只是展現出了計算機動態工作過程中的某一個角度的剖面。

以直升飛機的移動為例，如果要產生出一種連續移動的效果，就需要將輸出結果反饋到輸入。在頭腦中構建一個簡單的反饋裝置，就能夠明白存儲和控制部件存在的必要性。假設某個桿子上裝了某種滑塊，滑塊只有“上”和“下”兩種狀態，而運算部件唯一的功能就是將滑塊位置滑動到其原來相反的方向，考慮用戶期望的運算效果是讓滑塊不斷從上到下、從下到上往復運動，如果直接將輸出反饋到輸入（如上頁圖3），即便是在頭腦中想象一下，也會發現這在邏輯上是不成立的。

引入存儲和控制部件，就能夠讓裝置的自動運行在邏輯上成為可能。當反轉滑塊的運算完成后，由控制部件開通復制通道A，將剛才的輸出狀態傳遞給臨時存儲部件（注意，這里不討論具體的物理實現，實際上需要設計某個裝置來保證狀態的單向傳遞），接下來，是關閉復制通道A，開啟復制通道B，將狀態傳遞給計算裝置的輸入部件。雖然上頁圖4中沒有特意畫出那個執行開關A和B通道的控制部件，但大家很容易認可它是必須存在的。

● 能產生不同效果的簡單計算裝置

有一個問題很值得思考：上述計算裝置能實現的效果是單一的，如直升飛機的圖案只能向左移動，那么，怎么讓圖案向右移動呢？大家最容易想到的就是將規則變動一下，改成將所有的“01”轉換為“10”，但假設計算裝置是一個預先制造好的實體，修改轉換規則，就等同于要求修改實體結構。考慮人們希望有這樣一個制造好的規則不再變動的裝置，可以自由決定直升飛機究竟是向左移動還是向右移動，當然，其中的符號變換規則可能會有許多條，也會涉及更多除了“0”和“1”之外的符號，也可能每一次變換符號的數量超過兩個（如把“abc”轉換為“efg”）。但這些轉換過程一定是嚴格按順序循環執行的。另一個需要說明的情況是，裝置在運行過程中，必然會有許多必要的中間狀態，但只要最終在某個時刻能實現圖像移動的效果就可以了。根據以上條件，請在頭腦中想象一下，這個裝置是否可行，甚至還可以在思維空間中模擬一下，究竟如何做才是可行的。對這個問題的調查結果顯示，大部分學生認為，實現多種移動效果是可行的。可能的方法當然有多種，其中有一種方案很少被人想到，所以這里特別提一下，那就是將二維的數據擴展到三維，在代表圖像的數據層上方，覆蓋上一層代表操作動作的數據，而符號串的變換也需要在三維的數據空間中進行。

可以繼續將問題變得普遍化一些，想象一些輸入的數據中，除了真正用來做運算的數據之外，其中某些數據起到了指定做何種運算的作用。根據上述一系列的想象，學生們基本上都認可，在輸入的數據中也可以混雜有代表某種指令的特殊的數據，這樣就能夠指定讓運算部件對數據（不包括代表某種指令的數據）做某幾種特定變換工作中的一種。然而從中也可以看出，將用作指令的數據以及用作對數據中間變化狀態進行記錄的數據一起混雜于輸入和輸出的數據中，對于使用計算裝置的用戶而言，是十分不友好的，這也是要在計算裝置中引入存儲器的另一個原因。

可以進一步引出的問題是，是不是存在這種可能，在輸入的數據中混雜有一系列特殊的指令，能夠指定讓運算部件對數據做任意種可能的變換工作。這個問題實際上是問，是不是存在某種程序用以實現通用性的任務。結論當然是存在，關于為何這種通用性程序存在的解答，最早來自圖靈的證明，證明中不僅用到了純粹用思想構建的圖靈機，還用到了特定的數學工具，以及關于利用圖靈機來模擬圖靈機的可行性的精彩推論。盡管在有限的課時中可能難以詳述圖靈機的工作原理，但經由以上一系列的純粹思維空間中的想象與推理，學生們就能夠領會到圖靈所做工作的巨大價值。