傅科擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究*

姜付錦 李 都 劉 穎(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)

傅科擺是法國(guó)物理學(xué)家傅科1851年在巴黎首先制成，擺線長(zhǎng)大約是67 m，通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)證明地球在自轉(zhuǎn).由于科氏力的存在，傅科擺在來(lái)回?cái)[動(dòng)的同時(shí)又在繞豎直軸緩慢的轉(zhuǎn)動(dòng)，類似水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象.大學(xué)教材[1]在分析傅科擺時(shí)，認(rèn)為擺球在豎直方向上沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，擺線的拉力近似等于擺球的重力，得到擺球的振動(dòng)規(guī)律，這樣處理可以讓小球的運(yùn)動(dòng)有解析解.若忽略地球的自轉(zhuǎn)，按照以上分析發(fā)現(xiàn)傅科擺的運(yùn)動(dòng)軌跡可能是橢圓，但實(shí)際上小球的運(yùn)動(dòng)軌跡不可能是橢圓.

1 傅科擺的動(dòng)力學(xué)微分方程

如圖1和圖2所示，傅科擺所處緯度為λ，擺線長(zhǎng)為R，擺球質(zhì)量為m，重力加速度為g，則

(1)

擺球的限制方程為

x2(t)+y2(t)+[R-z(t)]2=R2

(2)

式(1)沒(méi)有解析解，可以這樣近似處理

(3)

圖1 傅科擺在地球上的坐標(biāo)系

圖2 傅科擺受力分析

式(1)中最后一式變?yōu)?/p>

(4)

則式(1)前兩項(xiàng)可變?yōu)?/p>

(5)

進(jìn)一步分析，可得傅科擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律[1～5]，

(6)

式(6)中A，B是兩個(gè)積分常數(shù)，其值由擺球的初始條件決定.

以上處理可等效為：一根原長(zhǎng)為零的彈簧(ZLS)振子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)[6]，帶電粒子所受洛倫茲力與科氏力可以等效[3]；若傅科擺在赤道處擺球不受科氏力，傅科擺的運(yùn)動(dòng)是球面擺，其運(yùn)動(dòng)軌跡不可能是橢圓，其運(yùn)動(dòng)軌跡類似水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象[7]；參考文獻(xiàn)[1]之所以認(rèn)為傅科擺在赤道處時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡可能是橢圓，是因?yàn)樗鼪](méi)有考慮擺球在豎直方向上的運(yùn)動(dòng).

2 傅科擺在地球兩極處運(yùn)動(dòng)規(guī)律

設(shè)傅科擺所處緯度為λ，從圖3可以看出地球自轉(zhuǎn)的角速度ω0在xOz平面內(nèi)，并與-x方向的夾角為λ，由圖3可知角速度為

ω0=-iω0cosλ+kω0sinλ

(7)

其中ω0的模為一個(gè)定值，即為地球自轉(zhuǎn)的角速度.

圖3 角速度的方向

對(duì)于傅科擺而言，因?yàn)榈厍虻淖赞D(zhuǎn)，擺球所受的科氏力為

F科=-2mω0×v′

(8)

(1)當(dāng)ω0沿z方向時(shí)，vθ對(duì)應(yīng)的F科沿vφ方向，大小為2mvθω0cosθ，vφ對(duì)應(yīng)的F科過(guò)z軸，如圖4所示，對(duì)z軸應(yīng)用角動(dòng)量定理有

2mvθω0Rcosθsinθdt=d(mvφRsinθ)

(9)

d(mvφRsinθ+mω0R2cos2θ)=0

(10)

得

mvφRsinθ+mω0R2cos2θ=C

(11)

所以，傅科擺此時(shí)正則動(dòng)量守恒.

圖4 傅科擺正則動(dòng)量研究

(2)若還存在ω0x，則2mvφ×ω0x與z軸平行，對(duì)z軸不產(chǎn)生力矩,如圖5所示，有

v∥=vθcosθvz=-vθsinθ

(12)

圖5 傅科擺的經(jīng)向速度

由于2mv∥×ω0x與z軸平行，不產(chǎn)生力矩，2mvz×ω0x沿-j方向，它對(duì)z軸的沖量矩為

(Rsinθcosφi+Rsinθsinφj)×

(-2mvθω0cosλsinθj)dt=

Mdt=-2Rmω0vθsin2θcosφcosλdt=

-2mR2ω0sin2θcosφcosλdθ

(13)

因?yàn)棣找彩亲兞浚允?13)不能寫(xiě)成全微分的形式，對(duì)z軸用角動(dòng)量定理

-2mR2ω0sin2θcosφcosλdθ=

d(mvφRsinθ+mφ0R2sinλcos2θ)

(14)

參考文獻(xiàn)[2]之所以認(rèn)為“傅科擺在水平面內(nèi)正則動(dòng)量守恒”，是因?yàn)樗鼪](méi)有考慮擺球在豎直方向的振動(dòng)，故擺球在豎直方向運(yùn)動(dòng)引起的科氏力為零；若考慮擺球在豎直方向上運(yùn)動(dòng)，則傅科擺只在地球兩極處正則動(dòng)量守恒.

2.1 傅科擺運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)速度

如圖6所示，在球坐標(biāo)系中，由機(jī)械能守恒和正則動(dòng)量守恒，有[8]

(15)

mvφRsinθ+mω0R2cos2θ=mω0R2cos2θ0

(16)

聯(lián)立式(15)、(16)得

圖6 傅科擺速度與角度關(guān)系

2.2 傅科擺運(yùn)動(dòng)的周期

(18)

在一個(gè)周期內(nèi)，沿緯線方向轉(zhuǎn)過(guò)的角度Δφ，由于

(19)

所以

(20)

軌跡閉合性的條件

n1Δφ=2πn2

(21)

式中，n1,n2為正整數(shù).

3 傅科擺運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬解

傅科擺的實(shí)際運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜，沒(méi)有解析解，可以進(jìn)行數(shù)值模擬分析和近似分析.

3.1 傅科擺運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬圖

圖8 z與t關(guān)系

圖9 傅科擺進(jìn)動(dòng)軌跡1

圖10 z′與z相圖

圖11 x′與x相圖

圖12 y′與y相圖

圖13 x和y與t關(guān)系

圖14 z與t關(guān)系

圖15 傅科擺進(jìn)動(dòng)軌跡2

圖16 z′與z相圖

圖17 x′與x相圖

圖18 y′與y相圖

圖19 x和y與t關(guān)系

圖20 z與t關(guān)系

圖21 傅科擺進(jìn)動(dòng)軌跡3

圖22 z′與z相圖

圖23 x′與x相圖

圖24 y′與y相圖

圖25 x和y與t關(guān)系

圖26 z與t關(guān)系

圖27 傅科擺進(jìn)動(dòng)軌跡4

3.2 傅科擺運(yùn)動(dòng)的近似解

筆者結(jié)合上面的數(shù)值模擬解猜想傅科擺在x軸、y軸和z軸方向上運(yùn)動(dòng)近似解分別為

(22)

3.3 傅科擺運(yùn)動(dòng)近似解與數(shù)值模擬解對(duì)比

圖28 傅科擺進(jìn)動(dòng)圖

圖29 傅科擺進(jìn)動(dòng)近似解

圖30 擺長(zhǎng)近似解的相對(duì)誤差

圖31 近似解能量的相對(duì)誤差

圖32 x近似解與數(shù)值模擬解對(duì)比圖

圖33 y近似解與數(shù)值模擬解對(duì)比圖

通過(guò)以上6幅圖的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)傅科擺運(yùn)動(dòng)的近似解與數(shù)值模擬解的相對(duì)誤差很小，尤其是x與y的兩種解幾乎重合，充分說(shuō)明在誤差允許范圍內(nèi)傅科擺運(yùn)動(dòng)近似解的合理性.

3.4 傅科擺在赤道處進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象

若將傅科擺放在赤道處，則其所受科氏力為零.先讓擺球在某一水平內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，再讓小球的角速度有一個(gè)微擾，則擺球一種可能運(yùn)動(dòng)軌跡的三視圖如圖34～36所示.

圖34 x與y關(guān)系圖

圖35 z與x關(guān)系圖

圖36 z與y關(guān)系圖

可以發(fā)現(xiàn)，擺球的運(yùn)動(dòng)軌跡是一種閉合周期解，其在水平面上的投影類似“水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)”現(xiàn)象；最外側(cè)與最內(nèi)側(cè)分別對(duì)應(yīng)小球運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，兩幅側(cè)視圖完全相同；若小球在緯線方向和在經(jīng)線方向上運(yùn)動(dòng)周期之比是有理數(shù)，則小球在三維空間的運(yùn)動(dòng)軌跡有閉合周期解[9]；若擺球初始角速度滿足特定條件時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡側(cè)視圖可能是李薩如圖形[7].

4 結(jié)束語(yǔ)