Geo Gebra軟件在物理問題表征中的應用*

龔圣卿 林 欽(福建師范大學物理與能源學院 福建 福州 350108)

表征是問題解決的一個中心環節.認知心理學家Simon指出，“如果一個問題得到了正確表征，可以說它已解決了一半.”[1]美國著名的數學家斯蒂恩也曾說，“如果能用圖形表征特定問題，那么思想就對這個問題有了整體把握，就可以找到創造性地解決問題的辦法.”[2]

在現實教學中，很多學生學習物理都有這樣的感受，老師上課講的物理規律、定理以及例題、習題等好像都聽懂了，可是一旦之后碰到類似的物理問題，又變得茫然無措了.拿到題目時無從下手、不知所措，很多學生就直接開始套用相關公式，最后代數計算結果，如果最后發現錯了，再換另一個公式接著嘗試，就這樣盲目的嘗試錯誤[3].顯然，學生解決物理問題的步驟變成了讀題、接著套用物理公式、最后進行數學演算這一機械過程.

究其原因是多方面的，其中很重要的原因是解決問題的表征形式影響著學生的思維方式，學生學習物理變成了只習慣于用文字表征、數學表征，而對“問題表征”中圖形表征、方法表征等能力卻顯得比較弱，導致學生不能有效解決物理問題[4].對問題做什么樣的表征，這種表征是否適宜，直接影響解決問題的難易、快慢和成敗.

在物理表征教學中，GeoGebra軟件有其自身獨特的優勢.例如滑塊木板模型往往讓學生感到頭疼，認為該過程和情境復雜.若在教學過程中，利用GeoGebra將動態過程可視化地呈現出來，同時配合滑塊木板運動的速度-時間圖像，如圖1所示，可以使學生更容易理解該情境的物理過程，教學效果往往更佳.

圖1 滑塊木板模型

目前GeoGebra軟件在物理教學中的應用情況大致可分為4大類:

(1)在物理概念教學中的輔助教學應用，文獻[5]利用該軟件進行簡諧運動和機械波物理課堂教學.

(2)輔助習題教學應用，文獻[6]針對一道高考題，對等量同種電荷連線中垂線上場強進行研究.

(3)輔助物理實驗教學應用，文獻[7]將該軟件運用在平拋運動實驗數據的可視化處理.

(4)輔助物理問題探究等，文獻[8]利用GeoGebra軟件模擬行星現象.

筆者認為GeoGebra軟件在物理教學的各方面應用過程中的優勢主要體現在分析動態過程、探討臨界狀態，繪制函數圖像、理解物理規律，圖形維度轉換、突破思維障礙等3個方面.

1 分析動態過程探討臨界狀態

臨界狀態往往是極值出現的狀態，該狀態涉及的物理過程往往比較復雜，考查學生推理能力和分析綜合能力，利用圖形進行表征，可以幫助學生巧妙地解決臨界狀態問題.

例如在探究三共點力動態平衡問題時，如圖2所示，“∠”形鐵架中，∠ABO=60°，鐵架中放一鋼球，系統恰好靜止于實線位置(鋼球與OB邊接觸，AB邊水平).現使鐵架繞水平轉軸O逆時針緩慢轉過90°至虛線位置，不計一切摩擦，則該過程中鋼球受到BA和OB的彈力變化情況如何.

圖2 三共點力動態平衡問題情境圖

鐵架繞O點轉動某一角度，鋼球受力如圖3所示，其中鐵架夾角為α，鐵架繞O點轉過的角度為β.在GeoGebra中，利用力的合成的思路，繪制出鐵架轉動過程動態圖形，如圖3所示.

圖3 鋼球受力分析圖

通過β調節鐵架繞O點轉動的角度，N1和N2的大小可在動態文本工具中同步顯示出來.

由于鐵架形狀保持不變，N1和N2的夾角保持不變，合力始終與重力平衡，根據“同一弦所對應的圓周角相等”的規律建立如圖4所示的輔助圓.在圖3矢量三角形CDE中，兩彈力的夾角α，它們的夾角α始終對應鋼球所受合力F合，繪制出輔助圓，如圖4所示，在輔助圓中，E點為在圓周上的動點，移動點E，可以改變角度β，分析鐵架繞O點轉動過程兩彈力大小的變化趨勢.

圖4 輔助圓

斜拋運動中，可利用GeoGebra將斜拋運動軌跡可視化，分析動態變化的斜拋運動軌跡，進而得出斜拋運動結論.

如圖5所示，調節初速度或拋射角，斜拋運動軌跡即可發生相應的改變，變化的軌跡也可以記錄下來，進而分別探究初速度、拋射角度與斜拋運動的射程和射高的關系.

圖5 拋射軌跡

如圖6所示，通過調節拋射角θ滑動條，實時讀取拋射軌跡的長度、軌跡的邊界與水平軸所圍面積大小、射程的長度等數值，比較拋射角θ取何值時三者數值分別達到最值.且在圖7中，以拋射角為橫坐標，分別以面積大小、軌跡長度、水平射程長度為縱坐標，繪制出三者與拋射角θ的函數圖像，圖像能夠直觀地看出拋射角θ存在一個臨界值，使得該三者存在最大值.

圖6 拋射角度與軌跡長度、面積、射程關系

圖7 關系曲線

利用GeoGebra繪制出科學準確的物理圖形，可顯現出物體變化和運動的動態過程出現的關鍵點、轉折點、臨界點.在解決物理問題時，畫出圖形的過程，形成物理圖景，往往需要形象思維活動的參與，可以有效幫助學生構建物理模型，培養學生形象思維能力.

2 繪制函數圖像理解物理規律

物理教學中離不開數學思想的滲透，物理規律的得出往往也需要列出物理量之間的數學關系式，利用恰當的函數圖像進行分析、表達，進而通過圖像找出其表達的物理內容，記憶物理規律.

在“∠”形鐵架例題中，為了更好地說明兩分力的大小變化情況，還可以利用正弦定理進行輔助分析.圖3可知

其中θ=120°-β，利用GeoGebra繪制出兩個力N1和N2與轉動角度β之間的關系圖像，如圖8所示，觀察函數圖像可以發現，鐵架在轉動過程，兩個力與旋轉角度的關系存在著臨界狀態：當鐵架轉動時，N1先增大后減小；鐵架旋轉角度為零時，N1大小等于重力，此時N2值為零；鐵架旋轉角度為30°時，力N1達到最大值，N2先增大后減小；鐵架旋轉角度為90°時，力N2達到最大值；鐵架旋轉角度為120°時，N2大小等于重力，此時N1值為零；其中，鐵架旋轉角度為60°時，N1和N2大小都等于重力.

圖8 作用力與轉動角關系曲線

在探究分壓電路中各部分電流變化規律時，學生往往難以理解數學表達式的結果.例如，在圖9電路圖中，若滑片P將電阻R2分為兩部分，設右部分電阻為r，則滑片從b端滑至a端，A，B處的電流分別如何變化？

圖9 電路圖

學生在解答此類問題時，常常利用“程序法”“特殊值法”定性分析，有時卻不能得出結論，究其本質，還需要列出該過程的函數關系式，進行定量分析.根據歐姆定律列出電流IA與電阻r之間的關系

電流IB和電阻r之間的關系

觀察函數關系式發現，對于給定的電源U和電阻R0，R1，R2，輸出各支路的電流與電阻r相關，但它們之間存在什么樣的關系，只從表達式中不容易得出結論.可根據函數表達式，利用GeoGebra以數化形，可以較為直觀地分析出電流隨滑動變阻器的變化情況.

在GeoGebra輸入框中分別輸入電流IA和IB與電阻r之間的函數關系，分別得到電流IA和IB與電阻r的靜態曲線，開啟靜態曲線跟蹤功能，改變R0，可得到不同R0對應的靜態曲線.同時分別創建A，B點，兩點分別為電流IA和IB與電阻r函數上的動點，啟動動畫按鈕，觀察動點A，B在靜態曲線上運動，動點坐標顯示電阻r與對應電流值，如圖10所示.

觀察函數圖像可知，滑片從b端滑至a端過程，電流表IA的讀數隨著r值的增大而單調遞增.而電流IB的單調性卻沒有唯一確定，當R0較小時，電阻r增大，電流表IB的數值先減小后增大；當R0較大時，電流表IB的數值隨電阻r的增大單調遞減.可見電阻R0的大小影響著分壓電路中滑動變阻器支路部分電流的單調性.

利用GeoGebra將物理公式和函數圖像結合起來，引導學生理解公式和數學圖像背后的物理意義，幫助學生更直觀地從整體上把握規律.在解決物理問題時，往往涉及列方程等數學步驟，恰當進行邏輯推理思維活動，以數形結合的方式，加深數學表征的理解，得出物理結論，有利于培養學生的物理運算能力和推理思維能力.

3 圖形維度轉換突破思維障礙

物理教學中含有許多抽象的物理知識，教師在課堂講解過程常以二維平面中畫圖為主，學生理解起來費勁.因此，我們在畫圖的過程中“升維”能夠有效突破學生思考過程的思維障礙，提高學生的抽象思維能力，促進問題的解決.

例如在水平桌面M上放置一塊正方形薄木板abcd，在木板的正中央放置一個質量為m的木塊，如圖11所示.

圖11 圖形維度轉換問題情境圖

先以木板的ad邊為軸，將木板向上緩慢轉動，使木板的ab邊與桌面的夾角為θ1，再接著以木板的ab邊為軸，將木板向上緩慢轉動，使木板的ad邊與桌面的夾角為θ2(ab邊與桌面的夾角不變).在轉動過程中木塊在木板上沒有滑動，求轉動以后木塊受到摩擦力的大小.

如果把桌面稱為水平面M，第一次轉動θ1得到平面M′，將物體重力正交分解，如圖12所示，第二次翻轉θ2，得到平面M″，如圖13所示，作平面M″的垂線N，第一次在水平面翻轉θ1所產生的靜摩擦力f1=mgsinθ1，第二次翻轉時“等效重力”大小為mgcosθ1,第二次在斜面上翻轉后所增加的側向靜摩擦力應為f2=(mgcosθ1)sinθ2，因此最后的摩擦力為

圖12 翻轉一次受力分析圖

圖13 翻轉兩次受力分析圖

利用GeoGebra繪制出三維物理情境圖，類比二維斜面時的受力分析，利用等效的原理進行力的分解是解題的關鍵.在解決物理問題時，只有正確運用科學的方法抓住問題的要害，才能找出解決問題的途徑，類比、聯想、等效、圖解等都是常用的科學思維方法，學習和運用這些科學思維方法，進行恰當的分析思維活動，能夠有效促進問題的解決.

綜上所述，物理問題解決過程中，表征的難點和方式有所差異，但不同的表征過程都涉及了物理思維活動，思維活動貫穿問題解決的全過程[9].在平常的物理教學中，提高學生物理思維能力、物理想象能力、物理運算能力、運用科學方法能力等是有效促進問題解決的關鍵所在.