巧用運算模型，聯系算理和算法

【摘要】當下的小學計算教學，教師往往更加重視學生的計算正確率和計算的速度，而忽視了學生對算理的理解。文章重點談談模型思想在小學數學計算教學中的滲透和應用，旨在讓教師發現對算理的理解有助于提高計算正確率和計算的速度。教師只有加深學生對各類運算模型的理解并有效遷移，理解算理和算法，才能有效提高學生的計算正確率和計算的速度。教師在小學數學計算教學中有意識地滲透模型思想，有助于培養學生的計算能力、應用意識和創新能力。

【關鍵詞】模型思想;運算模型;定律模型;應用意識;創新能力

【基金項目】本文系福建省教育科學“十三五”規劃2020年度課題“在小學數學教學中滲透模型思想的實踐研究”（立項編號：FJJKCG20-150）的研究階段性成果之一。

作者簡介：吳謀友（1984—），男，福建省福州市城門中心小學（一級教師，曾獲得福州市小學數學優質課現場評選一等獎）。

模型思想是《義務教育數學課程標準（2011年版）》的十大核心詞之一。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，教師在教學中滲透模型思想有助于學生發現數學知識之間的聯系與規律。學生可以從生活情境或數學情境中，提取數學信息，建立數學模型，解決問題，驗證模型，發現數學模型的價值，并把發現和建立的模型應用到其他生活情境或數學情境中[1]。這樣的數學建模活動有助于學生發現數學的學習方法和研究方法，有助于啟發學生用數學的眼光觀察生活，培養學生的應用意識和創新意識。計算教學中存在的數學模型是學生后續進行計算學習的原動力，數學計算模型有助于學生理解數學算理，培養學生的計算能力。在小學數學教學中，計算是重要的教學內容之一，也是學生在生活中必須掌握的一項技能。作為數學教學的一部分，計算教學還需要培養學生的數學思維能力、推理能力等數學素養。教師在小學計算教學中有意識地滲透模型思想，有助于培養學生的計算能力、應用意識和創新能力。

一、 巧用運算模型，理解算理，掌握計算方法

掌握計算方法的關鍵在于理解算理，理解了才能“通”，“通”才能“久”。如果學生不理解算理，只是單純地模仿或記憶教師的算法，那么即便學生當下會計算，并且能正確地計算出結果，對后續學習也不能起到多少幫助，甚至會越學越糊涂，產生負遷移。教師在計算教學中，要有意識地提煉各類運算模型，讓學生掌握各類運算模型的算理，進而能推廣至其他同類的或相似的計算情境中去;開展一系列的數學活動，讓學生理解整數、小數、分數的四則運算體系，把握運算規律，提升數學素養[2]。

例如，在人教版三年級數學上冊“多位數乘一位數”這部分內容中，學生需要學習多位數乘一位數（不進位）的筆算乘法。教學中，教師可借助小棒、計數卡片等教具，讓學生熟悉多位數乘一位數（不進位）的筆算乘法豎式的寫法，理解乘法豎式中的加法豎式使用的是簡潔形式（如圖1所示）。

在此基礎上，學生在學習進位乘法時（如14×3），就很容易想到4×3=12，10×3=30，向十位進一，所以得42。通過小棒圖，學生可以更容易地理解個位滿幾個十，就要向十位進幾。

又如，教師在教學人教版三年級數學下冊“兩位數乘兩位數”這部分內容時，應善于利用學生之前學過的運算模型——多位數乘一位數的計算法則，讓學生將已有經驗有效遷移到新知識的學習中。如在教學14×12的豎式寫法時，教師可以引導學生在點子圖上分一分、圈一圈、畫一畫，并把想法用算式表示出來。通過操作，學生發現在計算14×12時，應先算14×2=28，再算14×10=140，最后算28+140=168（如圖2所示）。之后，教師再引導學生歸納兩位數乘兩位數的算法。通過運算模型，學生很容易想到兩位數乘兩位數是多位數乘一位數的2.0版本，從算理上講，兩者之間的差異只是數位對齊的問題。學生明白了算理之后，在計算時就不容易出現將第二步的計算結果寫錯位置的錯誤。

在教學中，教師要善于引導學生對比兩位數乘兩位數和兩位數乘一位數這兩種運算的異同點，不斷地體會算理的統一性及算法的相似性，體會到乘法計算即加法計算的累加。通過辨析、討論，學生能自覺地將兩位數乘兩位數的算理和算法納入自己的計算方法體系中，為將來學習三位數乘兩位數積累經驗和奠定基礎。

二、 巧用定律模型，理解法則，提高簡算能力

在小學階段需要學習的運算定律中，乘法分配律是學生學習的重點，更是難點，特別是在辨析其與乘法結合律的區別上，令許多學生頭疼。教師通過分析學生的錯題可以發現，學生的錯誤主要是對運算定律的特征認識不夠深入。而部分教師在教學中往往采用不完全歸納法，如a×c+b×c=（a+b）×c這樣的例子，讓學生發現這些算式的共同點，歸納總結出乘法分配律的定義與特點。筆者認為這樣的教學缺少了一個環節，那就是分析及歸納乘法分配律的結構模型的環節。

例如，教師可以向學生展示乘法分配律的直觀圖（如圖3所示）。通過直觀圖，學生可以很容易地理解5個4加3個4等于8個4，即5×4+3×4=（5+3）×4。這樣直觀的展示形式，不僅能揭示乘法與加法之間的聯系，還能讓學生更容易接受、理解相關知識。

在此基礎上，教師可以再列舉一些滿足這種規律的等式，引導學生觀察這些等式兩邊結構的異同點，如等式的左邊有3個數，右邊卻有4個數;等式左邊有括號，右邊沒有;等式右邊出現了兩個c……讓學生體會“分配”二字的含義，進而總結出“（a+b）×c=a×c+b×c”（順向應用）和“a×c+b×c=（a+b）×c”（逆向應用）這兩個運算模型。

另外，教師還可以設計如下練習，提高學生對乘法分配律和乘法結合律這兩個運算模型的辨別能力。

找一找哪些算式是相等的？

①25×（4×3）? ? ? ? ? ? ④25×4×3

②25×（4+3）? ? ? ? ? ⑤25×4+3

③25×4+25×3? ? ? ? ⑥25×4×25×3

教師可以借助模型思想，從運算定律的模型結構入手，加深學生對運算模型的直觀認識，使學生對各種運算定律的結構模型印象深刻，培養學生由此及彼的推理能力，讓學生感受知識的產生和發展過程。

三、 巧用“一題多變”，類比分析，體會估算價值

估算教學是小學數學計算教學的重要組成部分，但由于部分教師在教學中缺乏指導，或者一些習題的命題導向不清晰，導致部分學生錯誤地認為估算沒有筆算準確，既然能準確算出結果，為什么還要進行估算呢？那么教師該如何避免這樣的現象發生？如何讓學生對估算產生需求，感受估算的優越性、簡潔性和必要性？筆者認為，教師可通過“一題多變”，營造不同的教學情境，但需注意這些情境應符合估算的模型特征，符合學生的生活實際，具有一定的可操作性，給學生廣闊的估算空間，讓學生在“變”中了解估算的優勢和必要性，體會估算模型的價值，培養學生在具體情境中應用估算的主動性，讓學生學會求同存異。

例如，教師在教學加法估算時，可呈現如下情境。

1.媽媽去商店買衣服，一件襯衫54元，一件短褲43元，買這兩件衣服，媽媽帶90元夠嗎？（去尾法：50+40=90，不夠。）

2.媽媽去商店買衣服，一件西服158元，一件長褲133元，買這兩件衣服，媽媽帶300元夠嗎？（進一法：160+140=300，夠。）

3.媽媽去商店買衣服，因標簽信息模糊了，只能看到一件襯衫5□元，一件短褲4□元，買這兩件衣服，媽媽帶100元夠嗎？（引導學生進行分類討論，主要看個位的兩數之和是否大于10。）

4.媽媽去商店買衣服，因標簽信息模糊了，只能看到一件西服15□元，一件短褲14□元，買這兩件衣服，媽媽至少帶（? ?）元才夠。（這題是利用第3小題的結論進行估算的問題。）

只有教師設置的問題具有可行性和可操作性，學生才有興趣參與到數學活動中去。有意義的“一題多變”，能幫助學生在“變”中找出“不變”，進而找出估算的方法。在這一過程中，教師要注意每一題不一定都引導學生采用四舍五入法進行估算。不論是四舍五入法、進一法還是去尾法，關鍵是方法需要適用于問題情境。

在此基礎上，教師可以改變情境，引入更多物品的計算問題，可呈現如下情境。

媽媽帶100元去超市購物。她買了1袋大米，花了61.8元;還買了1kg肉，花了26.4元。

1.剩下的錢夠買一盒10元的雞蛋嗎？（把一個或兩個數據估大或是一個估大、一個不變。）

2.剩下的錢夠買一盒20元的雞蛋嗎？（把一個或兩個數據估小或是一個估小、一個不變。）

創設“一題多變”情境，拓展了學生的思維空間，激發了學生學習估算的內在動力，同時能讓學生在分析、類比、拓展、歸納、總結等活動中體會估算模型在不同問題情境中的應用，有助于培養學生的思辨能力和創新能力。

四、 巧用“一題多解”，發散思維，優化運算模型

計算教學中的“一題多解”，即計算方法多樣化。日常教學中，教師往往只重視計算方法的“多”，不求計算方法的“精”，也就是說，在滲透模型思想時，沒有反思各類計算模型的優缺點，這樣的教學會影響學生更好地改進計算方法[3]。教師在計算教學中，應有意識地滲透模型思想，引導學生對建模的全過程進行反思，使學生在觀察、討論、分析等活動中逐步領悟相關知識，獲得自我體驗，最終找到具有普遍性、規律性、持久性的適合自己的算法，實現算法的優化。

例如，人教版一年級數學教材中有關20以內退位減法的計算方法很多，教師在教學時關鍵是要讓學生自主選擇最佳的計算模型。教師可先讓學生結合操作分析算理，然后說明算理內容，在這一過程中，學生的思維層次能不斷提升，知識不斷內化，很容易感受到平十法和破十法（如圖4所示）在計算中的優勢，從而達到算法的優化。在此基礎上，教師要善于引導學生回顧和思考，使學生認識到不論是平十法還是破十法，都是把新知識轉化為舊知識的過程，即10以內的減法。學生可以體會到10以內的減法和20以內退位減法的模型意義，并認識到此類模型可推廣到其他的減法中，為將來學習多位數的減法、小數減法、分數減法等內容打下基礎。

再如，在人教版四年級數學下冊“運算定律與簡便計算”單元的學習中，學生在計算中經常出現關于乘法分配律與乘法結合律的錯誤，如25×（4+40）=25×4+40;67×38+62×67=（38+62）×（67+67）;125×32×25=125×8+4×25;99×99=99×100-1，為了讓學生了解乘法分配律和乘法結合律的運算模型的異同點，找出錯誤的原因，筆者設計了“一題多解”環節，讓學生用多種計算方法解題，體會不同的算法和思維過程。如學生在計算125×48這一算式時，運用了以下3種方法：125×8×6，125×（40+8），（125×8）×（48÷8）。通過對不同算法的梳理與比較，學生能夠針對模型的特點再次進行總結，對運算模型結構進行完善。

綜上所述，教師要充分運用各類運算模型來揭示數學計算中的本質和聯系，在教學中向學生滲透模型思想，引導學生借助模型去學習和思考數學知識。教師要具備培養學生模型思想的自覺意識，將模型思想的培養工作自始至終落實到數學計算教學的每個環節中，培養學生的創新意識和數學素養。

【參考文獻】

中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

鄒穎軍.基于核心素養，培養學生的計算能力[J].小學教學參考，2020（26）：93-94.

謝碧瑾.發散性思維在小學計算教學中的應用研究[J].小學教學參考，2020（11）：68-69.