一類線性橢圓型偏微分方程組解的邊界正則性

杜厚維，向長林

1.長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023 2.三峽大學三峽數學研究中心，湖北 宜昌 443022

1 引言

考慮如下橢圓型偏微分方程組解的邊界正則性：

-Δu(x)=Ω(x)·u(x)x∈B

(1)

上述方程組可以用分量表示為：

(2)

上述分量表示使用了Einstein求和約定：重復指標代表求和。

方程組(1)可以用來線性化很多具體的幾何偏微分方程，這是因為具體的幾何偏微分方程通常是非線性的問題，研究起來非常困難。例如，假設u=(u1，…，um)是從B映射到N的調和映照，N是等距嵌入到Rm中的光滑黎曼流形，則調和映照方程可以表示為：

式中：A(u)代表靶流形N在Rm中的第二基本形式。以ν代表流形N的法叢的一組標準正交基，只需要取：

則上述方程可以寫成式(2)的形式。又如，假定u：B→R3滿足預定平均曲率方程：

-Δu=-2H(u)?xu∧?yu

(3)

式中：H代表預定的平均曲率。直接驗證可知式(3)可以寫成方程組(2)的形式，只需要取：

對于上述的幾何偏微分方程，通常無法直接得到光滑的解，因此優先考慮的都是弱解的存在性，此時需要付出正則性的代價，即弱解的光滑性一般來說比較差。由此帶來的一個基本問題就是提升解的正則性，即證明弱解事實上恰是想要得到的光滑解。這里的一個顯然的困難在于方程組(1)的右端的低正則性。由假設可知右端Ω·u∈L1(B)，這使得該問題恰好處于經典的橢圓方程Lp理論的端點p=1上，從而無法直接使用Lp理論去提升正則性。而且，FREHSE[1]的下述反例表明，如果僅僅假設Ω是平方可積函數，則弱解可以不連續：令m=2，u=(u1,u2)是從平面上的單位圓盤B1(0)?R2到單位圓周S1?R2的映射，定義為：

直接驗證可知u∈W1,2(B1(0),R2)是方程(1)的解，其中Ω定義為：

此時解屬于L∞但是不連續。因此，一定要求具有額外的好性質，才能夠保證解的連續性。譬如，RIVIRE[12]通過略微加強Ω的可積性，即假設Ω屬于Lorentz空間L2,1，就能夠證明方程組(2)解的連續性。但是這個里面的一個缺陷是，在應用到實際問題中時，難以保證Ω屬于Lorentz空間L2,1。

在開創性的工作[11]中，RIVIRE發現，不僅僅是調和映照方程與平均曲率方程，而且平面上所有的橢圓型共形不變的Lagrange泛函的臨界點都可以寫成方程組(1)的形式，其中Ω是平方可積函數，且Ω具有額外的代數結構：

即此時Ω還是反對稱矩陣。因此，RIVIRE假設方程組(1)中的Ω平方可積且具有反對稱性。在該假設下，RIVIRE創造性地應用UHLENBECK[15]的分解方法，證明方程組(1)滿足守恒律，并且具有Jacobian結構，從而可以利用Hodge分解與積分補償理論[1]證明解的連續性。這一結果同時解決了共形幾何中的兩大猜想。特別的是，RIVIRE的這一工作以大不相同的方法再次得到了HELEIN[6]關于二維弱調和映照連續性的著名結果。反對稱性是RIVIRE非常關鍵的一個假設。有反例表明，如果Ω是對稱矩陣，則弱解可以是不連續(甚至是無界)[11]。RIVIRE與STRUWE[13]進一步把文獻[11]中的主要結果推廣到了高維情形。

(4)

則方程組(1)的每一個解都是局部H?lder連續的。

上述文獻討論的是解在區域內部的連續性問題，即內部正則性，解的整體正則性是與內部正則性同樣重要的一個問題。要得到整體正則性，必須要建立邊界正則性。譬如，考慮平面有界區域上的薄膜，固定其邊界，則薄膜具有最小能量的狀態對應于區域上的調和函數。很自然的問題是：薄膜在邊界會有斷裂的點嗎? 或者調和函數能夠連續到區域的邊界去嗎?又如，RIVIRE的工作[11]留下一個自然的問題：假設u是方程組(1)的弱解，并且具有連續的邊值，那么解是整體連續的嗎? 在假定Ω滿足與文獻[11]同樣的條件下，MüLLER與SCHIKORRA[10]對這一Dirichlet邊值問題給出了肯定的回答。他們利用Gauge變換重新改寫方程，從而得以改進RIVIRE[11]的連續性結果，并證明了解在區域內部的局部H?lder連續性，最后再通過比較原理等方法得到邊界附近的連續性。同樣地，在LAMM與RIVIRE關于四階橢圓方程組的研究[7]中，他們用守恒律的方法建立了解的內部連續性，但是沒有得到H?lder連續性與邊界正則性結論。最近，GUO等[2]用衰減估計的方法把文獻[7]的連續性結果改進為局部的H?lder連續性，并利用比較原理等方法證明了該四階方程組兩類邊值問題的邊界正則性。對于某種特定的四階以上的臨界增長的高階非線性橢圓方程組，LAMM和WANG[8]也建立了類似的邊界正則性結果。

文獻[5]考慮了方程組(1)解的內部正則性，但沒有考慮帶有邊值的整體正則性問題，為此，筆者考慮方程組(1)在條件(4)下的邊界正則性問題。

2 主要結論

令1≤p≤2,a∈B,r>0使得Br(a)?B，其中Br(a)表示以a為中心r為半徑的開圓盤。定義:

(5)

文獻[5]不僅證明了解的連續性，而且證明了如下的估計：存在與解無關的常數p∈(1，2)，C>0，R0>0，μ>0，使得對方程組(1)的任意解u，任意的a∈B，只要0

R0，1-|a|

}，都有:

(6)

記Br(x0)?R2表示平面上以x0為心r為半徑的開圓盤,Lp(D,Rm)表示區域D上的取值于Rm中的p次可積函數的全體，它的范數為:

W1,p(D,Rm)是標準的Sobolev空間,f=(f1,…,fm)∈W1,p(D,Rm)表示每個分量fi(1≤i≤m)是區域D上的p次可積函數，且具有p次可積的1階弱導數，它的范數定義為:

用:

表示函數u在區域D上的振幅。用字母C表示各種不等式中出現的常數，它的大小可以隨著出現位置的不同而不同。

引理1令x∈B，r=dist(x，?B)>0。則對任意的映射u∈W1，2(B2r(x)∩B，Rm)，都存在r1∈(r，2r)使得u∈W1，2(?Br1(x)∩B),且:

證明由Fubini定理有：

該不等式意味著，存在r1∈(r，2r)，使得u∈W1，2(?Br1(x)∩B)。再由Sobolev嵌入:

W1,2(?Br1(x)∩B)?C1/2(?Br1(x)∩B)

即可得到引理1中的估計。

下面的局部最大值原理是證明定理1的關鍵估計，筆者采用文獻[8]中定理3的方法。

引理2令u∈W1，2(B，Rm)是(1)的一個弱解，且假設Ω滿足定理1的條件。若u在?B上等于某個連續函數g∈C(?B)，則存在C>0使得對任意的x∈B，R>0，q∈Rm，都有下述估計成立：

式中:DR(x)=B∩BR(x)。

M≥‖u‖L2(D4R(x))

否則結論自動成立。由M的定義，可以選取x0∈DR(x),使得:

(7)

令r0=dist(x0，?DR(x))>0。則Br0(x0)?DR(x),并且對任意的0

(8)

接下來用引理1可以找到r2∈(r0，2r0)使得:

osc?Br2(x0)u≤C‖u‖L2(B2r0(x0))≤C‖u‖L2(D4R(x))

注意到Br2(x0)∩?DR(x)≠?。用(r，θ)表示以x0為中心的極坐標。則對任意的θ∈S1，只要(r1,θ),(r2,θ)∈DR(x),就有:

對所有的θ取下確界，得:

≤C‖u‖L2(D4R(x))

因此，用式(8)與上述估計，對任意的x*∈?Br2(x0)∩DR(x)，可得:

想要的估計從上述不等式即可得到。

證明令u是方程組(1)的一個弱解，且Ω滿足定理1的條件。假設u在?B上等于某個連續函數g∈C(?B)。令x0∈?B，q=g(x0)，由積分的絕對連續性，對任意的ε>0，都可以找到R>0使得：

從而存在r1∈(R,2R)使得:

于是，由引理2有：

由g的連續性可知，上述不等式蘊含了u連續到邊界。

推論1假定u∈W1,2(B,R3)是平均曲率方程(3)的弱解，若H∈L∞∩W1,2(B)且u在邊界?B上具有連續的邊值，則u連續到邊界。

假設B是一個單位圓盤，在這種情形下，區域內部到邊界可以由射線連接，因此可以不需要極大值原理。

證明應用與文獻[14]類似的方法證明。為簡便起見，記S=?B，S(r)=?Br。對r∈[0,1],ω∈S及x=rω∈S(r)，記:

υ(r,ω)=u(rω)

固定y0=ω0∈S，令x=ρω是B的內點且靠近y0，ρ非常接近1。令δ=1-ρ，令σ是一個待定的非常小的正數，用Cσ表示頂點在原點的錐，錐的張角為σ，錐開口方向的中線與ω0相同。假設x∈B∩Cσ，選取一個點x′=ρω′∈Bδ/2(x)∩Cσ，其中方向ω′∈S將在隨后選取。由三角不等式得:

|u(x)-g(y0)|≤|u(x)-u(x′)|+|u(x′)-g(ω′)|+|g(ω′)-g(y0)|

(9)

由假定，g是S上的連續函數，這意味著當δ與σ都很小時，不等式(9)右端的第3項隨之變得很小。由式(6)與H?lder不等式可知:

因而當δ→0時，不等式(9)右端的第1項也將趨于零。因此，只需證明當δ與σ很小時，不等式(9)右端的第2項也很小即可。

為此應用文獻[14]的想法,該想法本質上依賴于Sobolev映照的ACL性質。對任意的σ∈(0,π):

從而：

再用反證法即知存在一個具有正測度的集合Eσ?(Cσ∩S)，使得:

假設:

對所有這樣的θ成立,現在可以證明(9)右端的第2項很小：

其中ω∈Eσ。選取σ=cδ(注意到H1(Cσ∩S)≈σ)和ω∈Eσ，從上述估計可以得到:

當δ→0時，定理3得證。

由于文獻[5]已經證明了估計式(6)，因此定理2是定理3的一個簡單應用。

3 定理1的初等證明

文獻[5]通過選取非常高明的試驗函數，用一個比較初等的方法證明了定理1。筆者在此給出定理1的另外一種初等證明。

由MORREY的Dirichlet增長定理(見文獻[4])，只需要證明引理3，則定理1自然成立，詳細的證明見文獻[5]。

引理3設u是方程(1)的弱解，且定理1中的條件成立。記:

則對任意的p∈(1,2)，都存在只依賴于p和H以及系數υ常數λ∈(0,1)，r0>0，使得對任意的a∈B，0

(10)

證明1)任取開球Br(a)使得B2r(a)?B。在球Br(a)上把u分解為2個部分u1，u2，其中u1是球Br(a)上的調和函數組，在邊界?Br(a)上等于u，u2=u-u1。則u2滿足方程:

2)估計u2。由于u2在邊界?Br(a)上等于零，故存在一個只依賴于p的常數C>0使得:

(11)

(12)

(13)

于是，由u2的方程及分部積分公式得:

(14)

這里的第1個、第2個不等式用到了哈代空間H1(R2)與有界平均振蕩空間BMO(R2)的對偶關系，其中⊥υk·(φi)∈H1(R2)，且:

證明見文獻[14]。第3個不等式利用了式(12)和式(13)：

這里的常數C還依賴于H。

因此，在不等式(14)中對φ取上確界，由式(11)可得:

(15)

式中:C是一個只依賴于p，H的正常數。

3)對u作估計。λ∈(0,1)待定,有:

上述第1個不等式利用了調和函數的增長估計，證明見文獻[4]; 最后一個不等式由式(15)得到。從而：

≤C(λp+λp-2‖υ)Mp(a,2r;u)

從而結論成立。