從不同角度求樣本的數(shù)字特征

孫杰

統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的對(duì)象是客觀事物的數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系，它是關(guān)于數(shù)據(jù)的搜集、整理、歸納分析和解釋的科學(xué)，其基本思想是用樣本估計(jì)總體，用樣本的某種數(shù)字特征（平均數(shù)、方差等）去估計(jì)總體的相應(yīng)數(shù)字特征。平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小。標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定。

一、用定義與公式求樣本的數(shù)字特征

例1 袁隆平院士是中國(guó)雜交水稻事業(yè)的開(kāi)創(chuàng)者，50多年來(lái)，他始終在農(nóng)業(yè)科學(xué)的第一線(xiàn)辛勤耕耘、不懈探索，為人類(lèi)運(yùn)用科技手段戰(zhàn)勝饑餓帶來(lái)了綠色的希望和金色的收獲。袁老的科研團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)“野敗”后，將其帶回實(shí)驗(yàn)，在試驗(yàn)田中隨機(jī)抽取了100株水稻統(tǒng)計(jì)每株水稻的稻穗數(shù)（單位：顆）得到如圖1所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）。

A.a=0.01

B.這100株水稻的稻穗數(shù)平均值在區(qū)間[280，300）中

C.這100株水稻的稻穗數(shù)的眾數(shù)是250

D.這100株水稻的稻穗數(shù)的中位數(shù)在區(qū)間[240，260）中

分析：利用樣本的頻率分布直方圖估計(jì)總體的數(shù)字特征的方法：眾數(shù)的估計(jì)值是最高小矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo);中位數(shù)的估計(jì)值將頻率分布直方圖分成左右面積相等的兩部分;平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。

解：根據(jù)頻率分布直方圖知組距為20，所以20x（0.005+0.0075x2+0.0175+a+ 0.0025）=1，解得a=0.01，A正確。這100株水稻的稻穗數(shù)平均值x=20x（0.005x210+0.0075x230+0.0175x250+0.01x 270+0.0075x290+0.0025x310）=256，可知這 100株水稻的稻穗數(shù)平均值在區(qū)間[240，260）中，B錯(cuò)誤。由頻率分布直方圖知第三個(gè)小矩形最高，所以這100株水稻的稻穗數(shù)的眾數(shù)是250，C正確。前兩個(gè)小矩形的面積是0.25<0.5，前三個(gè)小矩形的面積是0.6>0.5，所以中位數(shù)在第三組中，即這100株水稻的稻穗數(shù)的中位數(shù)在區(qū)間[240，260）中，D正確。應(yīng)選B。

點(diǎn)評(píng)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)只能表示樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息;樣本中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但它僅僅利用了排在中間的數(shù)據(jù)的信息;樣本平均數(shù)與每個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì)。也正因?yàn)檫@個(gè)原因，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息。

二、利用性質(zhì)求樣本的數(shù)字特征

例2 一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都減去80，得到一組新數(shù)據(jù)的平均值是1.2，方差是4.4，則原數(shù)據(jù)的平均值和方差分別是。

分析：利用樣本的數(shù)字特征的性質(zhì)求解。解：由平均數(shù)和方差的定義可知，一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都減去80，平均數(shù)也減少80，但方差不變。

因?yàn)樾聰?shù)據(jù)的平均值是1.2，方差是4.4，所以原數(shù)據(jù)的平均值和方差分別是81.2，4.4。

點(diǎn)評(píng)本題考查平均數(shù)和方差的變化特點(diǎn)。若原數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)數(shù)，則所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)也乘以同一個(gè)數(shù)，而方差要乘以這個(gè)數(shù)的平方。

三、利用數(shù)字特征反推原始數(shù)據(jù)

例3 為了考查某校各班參加課外小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為（）。

A.8

B.9

C.10

D.11

分析：本題中的樣本數(shù)據(jù)較少，根據(jù)已知條件可列出方程組，通過(guò)觀察和配湊找到方程組的解。

解：設(shè)這5個(gè)班級(jí)的人數(shù)分別為x1，x2，x3，x4，x5。不妨設(shè)x1由題意得x1+x2+x3+x4+x5=35，且（x1-7）2+（x2-7）2+（x3-7）2+（x4- 7）2+（x5—7）2=20。若樣本數(shù)據(jù)中的最大值為11，則（x1—7）2+（x2—7）2+（x3—7）2+（x4—7）2=4，而樣本數(shù)據(jù)互不相同，顯然此式不成立;若樣本數(shù)據(jù)為4，6，7，10，代入驗(yàn)證均成立。故樣本數(shù)據(jù)中的最大值為10。應(yīng)選C。

或者，由題意得x1+x2+x3+x4+x5=35，且（x1-7）2+（x2-7）2+（x3-7）2 （x4—7）2+（x5—7）2=20。因?yàn)?個(gè)整數(shù)的平方和是20，且這5個(gè)整數(shù)互不相等，所以只能配湊出一種結(jié)果，即（—3）2+（—1）2+02+12+32=20，所以x1=4，x2=6，x3=7，x4= 8，x5=10。應(yīng)選C。

點(diǎn)評(píng)解答本題的關(guān)鍵是利用配湊法，反推原始數(shù)據(jù)。

四、巧妙構(gòu)造函數(shù)求樣本特征數(shù)

例4 已知總體的各個(gè)個(gè)體的值由小到大依次為2，3，3，7，a，b，12，14，17，20，且總體的中位數(shù)是11，則總體方差的最小值為（）。

A.32

B.34

C.34.2

D.342

分析：數(shù)據(jù)的總體方差可由數(shù)值a，b來(lái)表示，再能挖掘到a+b=22這一條件，該最值便可借助二次函數(shù)求出。

解：

顯然，當(dāng)a=b=11時(shí)，g（a）取得最小值2，即f（a，b）取得最小值2。故s2的最小值為34.2。應(yīng)選C。

點(diǎn)評(píng)本題巧妙構(gòu)造二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值。

感悟與提高

已知一組數(shù)據(jù)x1，X2，x3，··，xn的平均數(shù)為x，方差為s2。若3x1+1，3x2+1，3x3+1，，3xn+1的平均數(shù)比方差大4，則s2—2的最大值為。

提示：

作者單位：江蘇省鹽城市時(shí)楊中學(xué)

（責(zé)任編輯郭正華）