例析古典概型的交匯問題

鄭瑋

古典概型是一種概率模型，是概率論中最直觀和最簡單的模型。在這個模型下，隨機試驗的所有可能結果是有限的，并且每個基本結果發生的可能性是相同的。下面例析古典概型的交匯問題。

一、與集合有關的概率問題

例1 已知集合A={2，3，4，5，6，7}，B={2，3，6，9}，在集合AUB中任取一個元素，則它是集合ANB中的元素的概率為（）。

A.2/3

B.3/5

C.3/7

D.2/5

解：

應選C。

評注：古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性。在應用古典概型的概率公式時，關鍵是正確理解隨機事件和樣本點的關系，事件和樣本空間的關系。

二、與函數有關的概率問題

例2 已知aE{-2，0，1，2，3}，bE{3， 5}，則函數f（x）=（a2—2）e+b為減函數的概率是（）。

A.3/10

B.3/5

C.2/5

D.1/5

解：

應選C。

評注：涉及函數的概率問題，解題的關鍵是求出所求事件包含的樣本點的個數。

三、與向量有關的概率問題

例3 設連續擲兩次骰子得到的點數分別為m，n，令平面向量a=（m，n），b=（1，-3）。

（1）使得事件“aLb”發生的概率是。

（2）使得事件“|a|≤|b|”發生的概率是。

解：

評注：

四、與幾何圖形有關的概率問題

例4 從正方形的4個頂點及中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為。

解：從正方形4個頂點A，B，C，D及中心O這5個點中，任取2個點的結果為（A，B），（A，C），（A，D），（A，O），（B，C），（B， D），（B，O），（C，D），（C，O），（D，O），共10 種情況，這2個點的距離不小于該正方形邊長的為（A，B），（B，C），（C，D），（A，D），（A， C），（B，D），共6種情況。所以這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為6/10=3/5。

評注：求與幾何圖形有關的概率問題，應充分利用幾何圖形的性質。

五、與游戲有關的概率問題

例5 某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動。參加活動的兒童需轉動如圖1所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區域中的數。記兩次記錄的數分別為x，y。獎勵規則如下：①若xy≤3，則獎勵玩具一個;②若xy≥8，則獎勵水杯一個;③其余情況獎勵飲料一瓶。

假設轉盤質地均勻，四個區域劃分均勻。小亮準備參加此項活動。

（1）求小亮獲得玩具的概率。

（2）請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由。

解：

（1）記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的樣本點的個數為5，即A={（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）}，所以P（A）=5/6，即小亮獲得玩具的概率為

（2）小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率。

理由如下：記“xy≥8”為事件B，“3

事件C包含的樣本點的個數為5，即C={（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1）}，所以P（C）=5/16。因為3/8>5/16，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率。

評注：生活中的概率游戲問題，背景真實，內容鮮活，具有知識性、娛樂性、趣味性和益智性。

六、與取球有關的概率問題

例6一個盒子里裝有標號1，2，3，4的4個形狀大小完全相同的小球，先后隨機地選取2個小球，根據下列條件，分別求2個小球上的數字為相鄰整數的概率。

（1）小球的選取是無放回。

（2）小球的選取是有放回。

解：記事件A=“選取的2個小球上的數字為相鄰整數”。

（1）從4個小球中無放回隨機選取2個，試驗的樣本空間Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1）， （4，2），（4，3）}。事件A包含6個樣本點，即（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）。

由古典概型概率計算公式得P（A）=/2=1/2。故無放回選取2個小球，其上數字為相鄰整數的概率為1/2。

（2）從4個小球中有放回隨機選取2個，試驗的樣本空間Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）， （3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）， （4，4）}。事件A包含6個樣本點，即（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）。由古典概型概率計算公式得P（A）=6/6=3/8。故有放回選取2個小球，其上數字為相鄰整數的概率為。

評注：對于不放回抽樣，計算樣本點個數時，既可以看成是有順序的，也可以看成是無順序的，其最后結果是一致的。但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會產生錯誤。對于有放回抽樣，在連續取出兩次的過程中，因為先后順序不同，所以（a1，b），（b，a1）不是同一個樣本點。解答本題的關鍵是要分清“無放回抽取”與“有放回抽取”，且每一件產品被取出的機會都是均等的。

作者單位：清華大學附屬中學永豐學校

（責任編輯郭正華）