概率問題常見典型考題賞析

朱云飛

概率是高中數學的重要內容，也是高考的必考內容。高考主要考查隨機事件與概率，考查事件的相互獨立性以及概率與頻率等。下面就概率問題常見典型考題進行舉例分析，供大家學習與提高。

題型1：隨機事件的表示

理解隨機現象、樣本點和樣本空間的概念，理解隨機事件的概念，在實際問題中，能正確求出事件包含的樣本點的個數，并會寫出相應的樣本空間。

例1 拋擲紅、藍兩枚骰子的試驗，用（x，y）表示結果，其中x表示紅色骰子出現的點數，y表示藍色骰子出現的點數。

（1）寫出這個試驗的樣本空間。（2）寫出這個試驗的結果的個數。

（3）指出事件A={（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}的含義。

（4）寫出“點數之和大于8”這一事件的集合表示。

解：（1）這個試驗的樣本空間Ω為{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2， 1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3， 1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4， 1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5， 1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6， 1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}。

（2）這個試驗的結果的個數為36。

（3）事件A的含義為拋擲紅、藍兩枚骰子，擲出的點數之和為7。

（4）記事件B=“點數之和大于8”，則B={（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5， 6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}。

題型2：隨機事件的含義

解答此類問題，應先理解事件中樣本點的意義，再觀察事件中樣本點的規律，才能確定隨機事件的含義。

例2 柜子里有3雙不同的鞋，隨機抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分別表示3雙不同的鞋，其中下標為奇數表示左腳，下標為偶數表示右腳。指出下列隨機事件的含義。

（1）事件M={A1B1，A1B2，A1C1， A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1， B1C2，B2C1，B2C2}。

（2）事件N={A1B1，B1C1，A1C1}。（3）事件P={A1B2，A1C2，A2B1， A2C1，B1C2，B2C1}。

解：（1）事件M的含義是“從3雙不同鞋中隨機抽取2只，取出的2只鞋不成雙”。

（2）事件N的含義是“從3雙不同鞋中隨機抽取2只，取出的2只鞋都是左腳”。

（3）事件P的含義是“從3雙不同鞋中隨機抽取2只，取到的鞋一只是左腳，一只是右腳，但不成雙”。

題型3：事件的運算

事件的運算應注意的兩個問題：一是要緊扣運算的定義，二是要全面列舉同一條件下的試驗可能出現的全部結果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結果進行分析。在一些比較簡單的題目中，需要判斷事件之間的關系時，可以根據常識來判斷。如果遇到比較復雜的題目，需要嚴格按照事件之間關系的定義來推理。

例3 在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件。例如，事件C1={出現1點}，事件C2={出現2點}，事件C3={出現3點}，事件C4={出現4點}，事件C5={出現5點}，事件C6={出現6點}，事件D1={出現的點數不大于1}，事件D2={出現的點數大于3}，事件D3={出現的點數小于5}，事件E={出現的點數小于7}，事件F={出現的點數為偶數}，事件G={出現的點數為奇數}。根據上述定義的事件，回答下列問題。

（1）請列舉出符合包含關系、相等關系的事件。

（2）利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件。

解：（1）事件C1，C2，C3，C4發生，則事件D3必發生，所以C1CD3，C2CD3，C3D3， C1CD3。

同理可得：事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6;事件D2包含事件C4，C5，C6;事件F包含事件C2，C4，C6;事件G包含事件C1，C3，C5。

易知事件C1與事件D1相等，即事件C1=D1。

（2）

題型4：互斥事件與對立事件

互斥事件與對立事件的判斷是針對兩個事件而言的。一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發生，也可能有一個發生，但不可能兩個都發生;兩個對立事件必有一個發生，但是不可能兩個事件同時發生，也不可能兩個事件同時不發生。所以兩個事件互斥，它們未必對立;反之，兩個事件對立，它們一定互斥。

例4 某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報紙”，事件C為“至多訂一種報紙”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報紙也不訂”。判斷下列每組事件是不是互斥事件;如果是，再判斷它們是不是對立事件。

（1）A與C;（2）B與E;（3）B與D;（4）B 與C;（5）C與E。

解：（1）由于事件C“至多訂一種報紙”中包括“只訂甲報”，即事件A與事件C有可能同時發生，故A與C不是互斥事件。

（2）事件B“至少訂一種報紙”與事件E“一種報紙也不訂”是不可能同時發生的，故B與E是互斥事件。又事件B與事件E必有一個發生，故B與E是對立事件。

（3）事件B“至少訂一種報紙”中包括“只訂乙報”，即有可能“不訂甲報”，也就是說事件B和事件D有可能同時發生，故B與D不是互斥事件。

（4）事件B“至少訂一種報紙”中的可能情況為“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”。事件C“至多訂一種報紙”中的可能情況為“一種報紙也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”。也就是說事件B與事件C可能同時發生，故B與C不是互斥事件。CE3C2798-607E-4CAB-BC54-ADCB50BA3773

（5）由（4）的分析知，事件E“一種報紙也不訂”是事件C中的一種可能情況，所以事件C與事件E可能同時發生，故C與E不是互斥事件。

題型5：古典概型

解古典概型問題時，要牢牢抓住它的兩個特點和計算公式。這類問題的解法多樣，技巧性強，解題時需要注意兩個問題：試驗必須具有古典概型的兩大特征，即有限性和等可能性;計算基本事件個數時，要做到不重不漏，可借助坐標系、表格或樹狀圖等列出所有基本事件。

例5 同時投擲兩個骰子，向上的點數分別記為a，b，則方程2x2+ax+b=0有兩個不等實根的概率為（）。

A.1/5

B.1/4

C.1/3

D.1/2

解：因為方程2x2+ax+b=0有兩個不等實根，所以Δ=a2—8b>0。

同時投擲兩個骰子，向上的點數分別記為a，b，則共包含36個樣本點。

應選B。

題型6：概率的基本性質

當事件A與B互斥（ANB=）時，P（AUB）=P（A）+P（B），這稱為互斥事件的概率加法公式。一般地，如果A1，A2，.，Am是兩兩互斥的事件，則P（A1UA2U···UAm）=P（A1）+P（A2）+···+P（Am）。若 A.B為對立事件，則P（A）=1—P（B）。求復雜事件的概率的兩種方法：將所求事件轉化成彼此互斥事件的并事件;先求其對立事件的概率，再求所求事件的概率。

例6

解：

題型7：相互獨立事件的判斷

對于事件A，B，若滿足P（ANB）=P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A，B相互獨立，簡稱A，B獨立。所謂獨立事件就是某事件發生的概率與其他任何事件都無關，用集合的概念解釋即集合之內所有事件發生的可能性范圍互不相交。通過式子P（AB）=P（A）P（B）來判斷兩個事件是否獨立，若上式成立，則事件A，B相互獨立，這也是定量判斷。

例7 一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令事件A={一個家庭中既有男孩又有女孩}，B={一個家庭中最多有一個女孩}。對下述兩種情形，討論事件A與B的獨立性。

（1）家庭中有兩個小孩。

（2）家庭中有三個小孩。

解：（1）有兩個小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形為Ω={（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，即4個基本事件。由等可能性知這4個基本事件的概率都為1/4。

由題意可知，事件A={（男，女），（女，男）}，B={（男，男），（男，女），（女，男）}，AB=（（男，女），（女，男）}，所以P（A）=1/2，P（B）=3/4，P（AB）=1/2。

由此可知，P（AB）≠P（A）P（B），所以事件A，B不相互獨立。

（2）有三個小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形為Ω={（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（男，女，女），（女，男，男），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）}，即8個基本事件。

所以事件A與B相互獨立。

題型8：相互獨立事件概率的綜合應用

求較復雜事件概率的方法：列出題中涉及的各事件，用適當的符號表示;弄清事件之間的關系（兩事件是互斥還是對立，或是相互獨立），列出關系式;根據事件之間的關系，準確選取概率公式進行計算。當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時，可先間接計算對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率。

例8

（1）假設甲，乙，丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試，誰獲得合格證書的可能性最大？

（2）這三人進行理論與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率。

解：

題型9：頻率與概率的關系

在實際問題中，常用事件發生的頻率作為概率的估計值。在用頻率估計概率時，要注意試驗次數n不能太小，只有當n很大時，頻率才會呈現出規律性，即在某個常數附近波動，且這個常數就是概率。

例9 某公司在過去幾年內使用某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的使用壽命（單位：h）進行了統計，統計結果如表1所示。

（1）求各組的頻率。

（2）根據上述統計結果，估計燈管使用壽命不足1500h的概率。

解：（1）由表可知頻率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042。

（2）樣本中壽命不足1500h的頻數是48+121+208+223=600，所以樣本中壽命不足1500h的頻率是6/6000=0.6，即燈管使用壽命不足1500h的概率約為0.6。

題型10：隨機模擬法估計概率

隨機數模擬試驗估計概率時，先要確定隨機數的范圍和用哪些數代表不同的試驗結果。可以從以下三個方面考慮：當試驗的樣本點等可能時，樣本點總數即為產生隨機數的范圍，每個隨機數代表一個樣本點;研究等可能事件的概率時，用按比例分配的方法確定表示各個結果的數字個數及總個數;當每次試驗結果需要n個隨機數表示時，要把n個隨機數作為一組來處理，此時一定要注意每組中的隨機數字能否重復。

例10 某種心臟手術，成功率為0.6，現采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術全部成功”的概率。先利用計算器或計算機產生0～9之間取整數值的隨機數，由于成功率是0.6，故我們用0，1，2，3表示手術不成功，4，5，6，7，8，9表示手術成功;再以每3個隨機數為一組，作為3例手術的結果。經隨機模擬產生如下10組隨機數：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907。

由此估計“3例心臟手術全部成功”的概率為（）。

A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5

解：由10組隨機數為812，832，569，683，271，989，730，537，925，907，可知4～9中恰有三個隨機數的有569，989，即2組，故所求的概率為P=2/0=0.2。應選A。

作者單位：福建省廈門市新店中學

（責任編輯郭正華）CE3C2798-607E-4CAB-BC54-ADCB50BA3773