剖析幾何概型問題的常見易錯點

姜典術

在一次試驗中，古典概型中等可能事件只有有限個，幾何概型中等可能事件有無限個。幾何概型的概率公式中的“測度”只與大小有關，而與形狀和位置無關。在解這類問題時，稍有疏忽就會出錯，下面列舉兩種常見的易錯點，供同學們學習與參考。

一、幾何度量計算出錯例1在0～1之間隨機選擇兩個數，這兩個數對應的點把0～1之間的線段分成了三條，試求這三條線段能構成三角形的概率。

錯解：設事件A為“三條線段能構成三角形”，設三條線段的長度分別為x，y，1—x-y。

剖析：錯解把長度型幾何度量當成計算概率的幾何度量。其實，對三條線段的長度加以分析，對應圍成的幾何圖形的面積才是滿足條件的幾何度量。

正解：設事件A為“三條線段能構成三角形”，設其中兩段的長度分別為x，y，則第三段的長度為1—x—y。

二、幾何度量選擇出錯

例2 在等腰直角三角形ABC中，直角頂點為C，在ZACB的內部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求線段AM

錯解：

剖析：上述解法不滿足幾何概型的等可能性。在線段AC1上任取一點M是等可能的，但不滿足在ZACB內任作一條射線CM是等可能的，因此不能把等可能取點看作等可能作射線。

正解：在ZACB內作射線CM是均勻分布的，所以射線CM所在任何位置都是等可能的。

作者單位：重慶市巫山第二中學

（責任編輯郭正華）