概率知識(shí)核心考點(diǎn)綜合演練

張夏 劉中亮

一、選擇題

1.下列命題中正確的是（）。

A.事件A發(fā)生的概率P（A）等于事件A發(fā)生的頻率fn（A）

B.一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子擲一次得到3點(diǎn)9的概率是，說(shuō)明這個(gè)骰子擲6次一定會(huì)出現(xiàn)一次3點(diǎn)

C.擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，事件A為“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B為“兩枚都是正面朝上”，則P（A）=2P（B）

D.對(duì)于兩個(gè)事件A，B，若P（AUB）=P（A）+P（B），則事件A與B互斥

2.下列四個(gè)命題：①對(duì)立事件一定是互斥事件;②若A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則P（AUB）=P（A）+P（B）;③若事件A，B， C彼此互斥，則P（A）+P（B）+P（C）=1;④若事件A，B滿足P（A）+P（B）=1，則A 與B是對(duì)立事件。其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

3.（多選題）某次數(shù)學(xué)考試的一道多項(xiàng)選擇題，要求是：“在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。”已知某選擇題的正確答案是C，D.且甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都不會(huì)做，則下列表述正確的是（）。

A.甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，能得3分的概率是

B.乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，能得5分的概率是

C.丙同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)，能得分的概率是

D.丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是

4.（多選題）從集合A={—1，—3，2，4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為a，從集合B={—5，1，4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為b，則（）。

A.ab>0的概率是

B.a+b≥0的概率是

C.直線y=ax+b不經(jīng)過(guò)第三象限的概率是

D.lna+lnb>1的概率是

5.（多選題）利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為不合格品，現(xiàn)在這個(gè)工廠隨機(jī)抽查一件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“是一等品”，B為“是合格品”，C為“是不合格品”，則下列結(jié)果正確的是（）。

A.P（B）=7/10

B.P（AUB）=8/10

C.P（ANB）=0

D.P（AUB）=P（C）

二、填空題

6.。

7.。

8.口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中取出2球，事件A=“取出的2球同色”，B=“取出的2球中至少有1個(gè)黃球”，C=“取出的2球至少有1個(gè)白球”，D=“取出的2球不同色”，E=“取出的2球中至多有1個(gè)白球”。下列判斷中正確的序號(hào)為。

①A與D為對(duì)立事件;②B與C是互斥事件;③C與E是對(duì)立事件;④P（CUE）=1;⑤P（B）=P（C）。

三、解答題

9.某服務(wù)電話，打進(jìn)的電話響第1聲時(shí)被接的概率是0.1;響第2聲時(shí)被接的概率是0.2;響第3聲時(shí)被接的概率是0.3;響第4聲時(shí)被接的概率是0.35。

（1）打進(jìn)的電話在響5聲之前被接的概率是多少？

（2）打進(jìn)的電話響4聲而不被接的概率是多少？

10.甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有5題，選擇題3個(gè)，判斷題2個(gè)，甲、乙兩人各抽一題。

（1）甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題的概率是多少？

（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？

11.A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間（單位：天）記錄如下：

A組：10，11，12，13，14，15，16。

B組：12，13，15，16，17，14，a。

假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間互相獨(dú)立，從A，B兩組隨機(jī)各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙。

（1）求甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率。

（2）如果a=25，求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率。

（3）當(dāng)a為何值時(shí)，A，B兩組病人康復(fù)時(shí)間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）

12.在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢(qián)”，只見(jiàn)他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質(zhì)地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫(xiě)著摸球方法：從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球，若摸得同一顏色的3個(gè)球，攤主送給摸球者5元錢(qián);若摸得非同一顏色的3個(gè)球，摸球者付給攤主1元錢(qián)。

（1）摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌伲?/p>

（2）摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球1個(gè)白球的概率是多少？

（3）假定一天中有100人次摸獎(jiǎng)，試從概率的角度估算一下這個(gè)攤主一個(gè)月（按30天計(jì)）能賺多少錢(qián)。

參考答案與提示

一、選擇題

1.提示：頻率與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，且在概率附近擺動(dòng)，A錯(cuò)誤。概率是指一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小，一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子擲一次得到3點(diǎn)的概率是表示一次試驗(yàn)發(fā)生的可能性是，則骰子擲6次出現(xiàn)3點(diǎn)的次數(shù)也不確定，B錯(cuò)誤。利用列舉法可知基本事件總數(shù)為4，根據(jù)概率計(jì)算公式得P（A）=2/4=1/2，P（B）=1/4，則P（A）=2P（B），C正確。設(shè)xE[—3，3]，A表示從[—3，3]中任取一個(gè)數(shù)x，使得xE[1，3]的事件，則P（A）=1/3.B表示從[—3，3]中任取一個(gè)數(shù)x，使得xE[—2，1]的事件，則P（B）=1/2，顯然P（AUB）=5/6=1/3+1/2=P（A）+P（B），此時(shí)A與B不互斥，D錯(cuò)誤。應(yīng)選C。

2.提示：對(duì)立事件一定是互斥事件，①正確。當(dāng)A與B是互斥事件時(shí)，才有P（AUB）=P（A）+P（B），對(duì)于任意兩個(gè)事件A，B滿足P（AUB）=P（A）+P（B）- P（AB），②不正確。不一定等于1，還可能小于1，即P（A）+P（B）+P（C）≤1，③不正確。④中，如袋中有大小相同的紅、黃、黑、綠4個(gè)球，從袋中任摸一個(gè)球，設(shè)事件A={摸到紅球或黃球}，事件B={摸到黃球或黑球}，顯然事件A與B不互斥，但P（A）+P（B）=1/2+1/2=1，①錯(cuò)誤。應(yīng)選A。

3.提示：甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，共有4個(gè)基本事件，分別為{A}，{B}，{C}，{D}，隨機(jī)事件“能得3分”中有基本事件{C}，{D}，則“能得3分”的概率為

1/2，A正確。乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，共有6個(gè)基本事件，分別為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B，C}，{B， D}，{C，D}，隨機(jī)事件“能得5分”中有基本事件{C，D}，則“能得5分”的概率為，B正確。丙同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)（丙至少選擇一項(xiàng)），由A、B中的分析可知共有基本事件15個(gè)，分別為：選擇一項(xiàng)為{A}，{B}，{C}，{D}，選擇兩項(xiàng)為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B， C}，{B，D}，{C，D}，選擇三項(xiàng)或全選為{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}， {A，B，C，D}，隨機(jī)事件“能得分”中有基本事件{C}，{D}，{C，D}，則“能得分”的概率為3/5=1/5，C正確。丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個(gè)選項(xiàng)，由C的分析可知，共有基本事件11個(gè)，隨機(jī)事件“能得分”中有基本事件{C，D}，則“能得分”的概率為D錯(cuò)誤。應(yīng)選A， B，C。

4.提示：由題意得（a，b）所有可能的取法為（—1，—5），（—1，1），（—1，4），（—3，—5），（-3，1），（-3，4），（2，-5），（2，1），（2，4）， （4，—5），（4，1），（4，4），共12種。對(duì)于A，滿足ab>0的取法為（—1，—5），（—3，—5），（2，1），（2，4），（4，1），（4，4），共6種，所以ab>0的概率P=1/2，A正確。對(duì)于B，滿足a+b≥0的取法為（—1，1），（—1，4），（—3，4），（2，1），（2，4），（4，1），（4，4），共7種，所以a+b≥0的概率P=7/2，B不正確。對(duì)于C.因?yàn)橹本€y=ax+b不經(jīng)過(guò)第三象限，所以a<0，b≥0，滿足直線y=ax+b不經(jīng)過(guò)第三象限的取法為（—1，1），（—1，4），（—3，1），（—3，4），共4種，所以直線y=ax+b不經(jīng)過(guò)第三象限的概率P=1/3，C正確。對(duì)于D.因?yàn)閘na+Inb=lnab>1，所以a>0，b>0， ab>e，滿足lna+lnb>1的取法為（2，4），（4，1），（4，4），共3種，所以lna+1nb>1的概率P=1/4，D不正確。應(yīng)選A，C。

5.提示：由題意知A，B，C為互斥事件，C正確。因?yàn)閺?00件中抽取產(chǎn)品符合古典概型的條件，所以P（B）=7/10，P（A）=2/20=1/5，P（C）=1/10，則P（AUB）=8/10，A，B正確，D錯(cuò)誤。應(yīng)選A，B，C。

二、填空題

6.提示：由事件A，B互為對(duì)立事件，其概率分別為P（A）=1/2，P（B）=4/42，且x>0，y>0，可得P（A）+P（B）=1/2+4/2=1，所以x+y=（x+x）（1/2+4/2）=5+4/2+/≥ 5+2/2·/=9，當(dāng)且僅當(dāng)x=6，y=3時(shí)取等號(hào)，所以x+y的最小值為9。

7.提示：由題意可得P1=1/2x2%+1/3x1.2%+1/6x1%=39000·P2=P（A） 37答案為3/39700，3/47。

8.提示：口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中取出2球，事件A=“取出的2球同色”，B=“取出的2球中至少有1個(gè)黃球”，C=“取出的2球至少有1個(gè)白球”，D=“取出的2球不同色”，E=“取出的2球中至多有1個(gè)白球”。①由對(duì)立事件定義得A與D為對(duì)立事件，①正確。②B與C有可能同時(shí)發(fā)生，B與C不是互斥事件，②錯(cuò)誤。③C與E有可能同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件，③錯(cuò)誤。④基本事件的總數(shù)為15，由P（C）=1-5/15=3/5，P（E）=145，P（CE）= ，可得P（CUE）=P（C）+P（E）- P（CE）=1，即CUE=Ω，④正確。⑤由 P（B）=4/5，可得P（B）≠P（C），⑤錯(cuò)誤。答案為①④。

三、解答題

9.提示：（1）設(shè)事件“電話響第k聲時(shí)被接”為A（kEN），那么事件A，彼此互斥。設(shè)“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”為事件A，根據(jù)互斥事件概率加法公式得P（A）=P（A1UA2UA3UA1）=P（A1）+P（A2）+ P（A3）+P（A4）=0.1+0.2+0.3+0.5= 0.95。

（2）事件“打進(jìn)的電話響4聲而不被接”是事件A“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”的對(duì)立事件，記為A。根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得P（A）=1-P（A）=1-0.95=0.05。

10.提示：把3個(gè)選擇題記為x1，x2，x3，2個(gè)判斷題記為P1，P2。“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的情況為（x1，p1），（x1，p2），（x2，p1），（x2，P2），（x3，P1），（x3，P2），共6種; “甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的情況為（p1，x1），（p1，x2），（p1，x3），（p2，x1），（p2， x2），（p2，x3），共6種;“甲、乙都抽到選擇題”的情況為（x1，x2），（x1，x3），（x2，x1），（x2， x3），（xз，x1），（xз，x2），共6種;“甲、乙都抽到判斷題”的情況為（p1，p2），（p2，p1），共2種。因此基本事件的總數(shù)為6+6+6+2=20。

（1）記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件A，則P（A）=3/20=3/10。記“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”為事件B，則P（B）=/20=3/10。故“甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題”的概率為P（AUB）=P（A）+P（B）=3/5。

（2）記“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”為事件C，則C為“甲、乙兩人都抽到判斷題”。由題意得P（C）=2/20=1/10·故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為P（C）=1-P（c）=1-1/10=1/10。

11.提示：（1）甲有7種取法，康復(fù)時(shí)間不少于14天的有3種取法，所以概率P=3/7。

（2）如果a=25，從A，B兩組隨機(jī)各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙，共有49種取法，甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的為（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），（15，14），（16，12）（16， 13），（16，15），（16，14），即10種取法，所以概率P=1/49。

（3）把B組數(shù)據(jù)調(diào)整為a，12，13，14，15，16，17或12，13，14，15，16，17，a，可見(jiàn)當(dāng)a=11或a=18時(shí)，與A組數(shù)據(jù)方差相等。（可利用方差公式加以證明，但本題不需要）

12.提示：把3只黃色乒乓球標(biāo)記為A，B，C，3只白色的乒乓球標(biāo)記為1，2，3。從6個(gè)球中隨機(jī)摸出3個(gè)的基本事件為ABC，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，A12， A13，A23，BC1，BC2，BC3，B12，B13，B23， C12，C13，C23，123，共20個(gè)。

（1）事件E={摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊騷，事件E包含的基本事件有1個(gè)，即摸出標(biāo)記為123的3個(gè)球，所以P（E）=1/20=0.05。

（2）事件F={摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球1個(gè)白球}，事件F包含的基本事件有9個(gè)，所以P（F）=3/20=0.45。

（3）事件G={摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾珆={摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊蚧蛎龅?個(gè)球?yàn)辄S球}，則P（G）=2/20=0.1。假定一天中有100人次摸獎(jiǎng)，由摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾母怕士晒烙?jì)事件G發(fā)生有10次，不發(fā)生90次，則一天可賺90x1—10x5=40（元），可知一個(gè)月可賺1200元。

作者單位：1.河南省焦作市第一中學(xué)

2.河南省開(kāi)封市第十中學(xué)

（責(zé)任編輯郭正華）