概率問題中的誤區警示

黃林平

概率問題中有許多概念看似相似，實則不同，非常容易混淆，初學時，不少同學由于對一些事件不能正確判斷而造成解題錯誤，現就同學們易犯的錯誤類型進行歸納總結。

誤區1：混淆“非等可能”與“等可能”

例1 任意投擲兩枚骰子，求出現的點數和為奇數的概率。

錯解：點數和為奇數，可取3，5，7，9，11，共5種可能結果，點數為偶數，可取2，4，6，8，10，12，共6種可能結果，所以出現點數和為奇數的概率是546=5/1。

正解：投擲兩枚骰子可能出現的結果為（1，1），（1，2），··.，（1，6），（2，1），（2，2），·.， （2，6），···，（6，1），（6，2），···，（6，6），即基本事件總數為6x6=36。出現點數和為奇數，由數組（奇，偶），（偶，奇）組成，可知有3x6=18（種）不同結果，這些結果的出現是等可能/18=1/2。的。故所求概率為

感悟：構建有序實數對的基本事件空間，使“非等可能”轉化為“等可能”。

誤區2：混淆“互斥”與“對立”

例2 從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，那么互斥但不對立的兩個事件是（）。

A.至少有1個白球;都是白球

B.至少有1個白球;至少有1個紅球C.恰有1個白球;恰有2個白球

D.至少有1個白球;都是紅球

錯解：至少有1個白球與都是紅球是互斥但不對立的兩個事件。應選D。

正解：“至少有1個白球”包含“1個白球，1個紅球”和“都是白球”，A錯誤。“至少有1個紅球”包含“1個白球，1個紅球”和“都是紅球”，B錯誤。C中的兩事件互斥，但不對立，D中的兩個事件互斥且對立。應選C。

感悟：正確理解“互斥”與“對立”事件的聯系和區別是避免出錯的關鍵。兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發生，即至多只能發生其中一個，但可以都不發生，而兩個對立事件則表示它們有且只有一個發生。

誤區3：混淆“有放回”“無放回”或“有序”“無序”

例3 把大小和形狀完全相同的五個小球編號為1，2，3，4，5，放在一個箱子中混合搖勻，有放回地抽取兩次，求取出小球的編號是2和4的概率。

錯解：有放回地連續抽取兩次，所有可能結果為（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4）， （3，5），（4，4），（4，5），（5，5），共15種情況。

事件A“取出的小球編號是2和4”對應的基本事件為（2，4），共1種可能情況。故所求概率P（A）=1/15。

正解：有放回地連續抽取兩次，必須考慮抽取順序，所有可能結果為（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2， 4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3， 5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5， 1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共5x5=25（種）可能結果。

事件A“取出的小球編號是2和4”對應的基本事件為（2，4）和（4，2），共2種可能結果。故所求概率P（A）=2/25。

感悟：構建有序實數對的基本事件空間，可使“無序”轉化為“有序”。有放回抽樣和無放回抽樣是兩種不同的基本題型，有放回抽樣必須考慮抽取順序;無放回抽樣可以考慮抽取順序，也可以不考慮抽取順序，當作一次性抽取。

作者單位：江西省贛州市于都第二中學

（責任編輯郭正華）