v-t圖像在解題中的妙用

關鋒

求解高中物理試題的方法有很多，比如解析法、類比法、等效法、微元法、極限法、圖表法等，面對不同的問題可以靈活選用恰當的方法進行分析與求解。當我們遇到一些采用解析法無法順利求解的復雜問題時，若能夠根據題意把抽象的物理過程轉化成形象的圖形描述，根據直觀、形象、簡明的圖像展現出的物理量之間的幾何關系，理順已知量和未知量之間的內在聯系，則可以達到化繁為簡，化難為易的目的。下面舉例分析，供同學們參考。

一、利用v—t圖像處理非勻變速直線運動問題

例1某同學欲估算飛機著陸時的速度，測得飛機在平直跑道上滑行的距離為x，從著陸到停下來所用的時間為t。。他假設飛機在平直跑道上做勻減速直線運動，估算得到飛機著陸時的速度為vo。經過查閱相關資料，他了解到飛機在滑行過程中受到的阻力并不是恒定的，而是與其速度的大小成正比，那么飛機著陸時的實際速度v。'與v。的大小關系應為（）。

解析假設飛機做勻減速直線運動，根據飛機在平直跑道上滑行的距離為x，從著陸到停下來所用的時間為to，畫出對應的v—t圖像大致如圖1中的虛線所示。根據v—t圖像與坐標軸所圍成的面積表示位移，v—t圖像的縱軸截距表示初速度可知，虛線與坐標軸所圍成的面積等于x，飛機著陸時的速度v。=2x。實際上，當飛機的速度減小時，所受的阻力減小，加速度也會變小，對應的v—t圖像應是切線斜率逐漸減小的曲線，如圖1中的實線所示。因此飛機著陸時的實際速度。

答案：B

點評當假設飛機做勻減速直線運動時，已知位移和時間，利用運動學公式也可以順利求出飛機著陸時的速度v。=2x，但是要想求出飛機著陸時的實際速度vo'就沒那么容易了。而采用圖像法，利用圖像的斜率、截距、面積等表達的物理意義，判斷v。'與v。的大小關系就變得簡單明了多了。

二、利用v—t圖像處理“子彈打擊物塊”問題

例2 一個由特殊材料制成的矩形物塊停放在水平光滑桌面上，用一支玩具槍沿水平方向連續向物塊射出兩顆完全相同的子彈，第二次射擊時第一顆子彈已經擊穿了物塊，且第二次射擊時槍口比第一次稍高一些，最終兩顆子彈都擊穿了物塊，在物塊中留下兩道平行的彈孔。設兩顆子彈從槍口射出時的速度相同，在物塊中所受的阻力相同，且物塊只在水平桌面上平動，則在兩顆子彈先后擊穿物塊的過程中，下列說法正確的是（）。

A.在兩顆子彈分別擊穿物塊的過程中，物塊發生的位移相等

B.兩顆子彈穿過物塊所用的時間相等

C.在兩顆子彈分別擊穿物塊的過程中，由子彈和物塊組成的系統產生的熱量相等

D.兩顆子彈損失的動能相等

解析在第一顆子彈擊穿物塊的過程中，作出子彈與物塊的速度一時間圖像分別如圖2中的實線所示。在第二顆子彈擊穿物塊的過程中，子彈與物塊之間的相互作用力不變，子彈與物塊的加速度不變，但子彈打擊物塊的瞬間，物塊已經有了一定的速度，作出第二顆子彈與物塊的速度一時間圖像分別如圖2中的虛線所示。根據v—t圖像與坐標軸所圍成的面積表示位移可知，第二顆子彈擊穿物塊的過程中物塊發生的位移比第一顆子彈擊穿物塊的過程中物塊發生的位移大，第二顆子彈穿過物塊所用的時間t2比第一顆子彈穿過物塊所用的時間t1長，選項A、B錯誤。因為兩顆子彈與物塊之間的相互作用力相同，兩顆子彈與物塊的相對位移也相同，所以在兩顆子彈分別擊穿物塊的過程中系統產生的熱量相等，選項C正確。因為兩顆子彈從槍口射出時的初速度v。相同，第二顆子彈擊穿物塊瞬間的末速度v2小于第一顆子彈擊穿物塊瞬間的末速度v1，所以第二顆子彈損失的動能比第一顆子彈損失的動能大，選項D錯誤。

答案：C

點評本題要求判斷兩次“子彈打擊物塊”過程中的時間長短、位移大小、能量多少問題，題干中幾乎沒有提供一個可以利用的數值，不可能采用解析法進行定量計算。而根據題意作出子彈和物塊的速度一時間圖像，充分利用圖像的斜率、截距、面積等表達的物理意義，可以定性分析時間、位移、能量的大小關系。

三、利用v—t圖像處理“木板一滑塊”問題

例3 如圖3所示，足夠長的木板B放置在水平地面上，輕質彈簧一端固定在木板B左端的擋板上，另一端與滑塊A拴接，假設所有接觸面均光滑，滑塊A與木板B（含擋板）的質量相等，開始時彈簧處于自然伸長狀態?，F將一水平向右的恒力F作用在滑塊A上，使得由滑塊A、木板B（含擋板）和輕質彈簧組成的系統從靜止開始運動，在系統運動的過程中彈簧始終處在彈性限度內。在滑塊A和木板B從靜止開始運動到二者第一次共速的過程中，下列說法正確的是（）。

A.當滑塊A和木板B的加速度相等時，二者的速度之差達到最大

B.當滑塊A和木板B的加速度相等時，彈簧的彈力達到最大

C.當滑塊A和木板B的速度相等時，二者的位移之差達到最大

D.當滑塊A和木板B的速度相等時，彈簧的彈性勢能達到最大

解析在水平方向上，滑塊A受到向右的拉力F和向左的彈簧彈力F1兩個力作用，木板B只受到向右的彈簧彈力F1'作用，根據彈簧彈力的特點可知，F1'=F1，且逐漸增大，因此滑塊A做加速度減小的加速運動，木板B做加速度增大的加速運動，作出二者的速度一時間圖像如圖4所示?；瑝KA和木板B的加速度相等的時刻對應圖4中兩曲線斜率相同的t1時刻，此時二者的速度差最大，選項A正確。當滑塊A和木板B的加速度相等時，對滑塊A有F-F1=ma，對木板B有F1'=ma，解得F1=/2，之后彈簧的彈力還會繼續增大，選項B錯誤?；瑝KA和木板B的速度第一次相等的時刻對應圖4中兩曲線相交的t2時刻，此時兩曲線所圍成的面積達到最大，即二者的相對位移最大，彈簧被拉伸到最長，彈簧的彈性勢能達到最大，選項C、D正確。

答案：ACD

根據上述三道例題的分析和求解，我們可以總結出運用圖像法解答物理問題的一般步驟：（1）認真審題，根據題干中提供的物理量，確定需要用到的物理規律，選擇橫、縱坐標表示的物理量;（2）根據題意，找出橫、縱坐標表示的兩物理量之間的制約關系，結合物理過程作出函數圖像;（3）利用所作函數圖像，運用數學知識進行分析和推理，解決相關待求問題。

感悟與提高

1.甲、乙兩輛車同時由靜止開始從A點沿平直公路出發，甲車先以加速度a1做勻加速運動，經過一段時間后，改以加速度a2做勻加速運動，到達B點時的速度為vo;乙車一直以加速度a。做勻加速運動，到達B點時的速度也為vo。若a1>ao，則下列判斷中正確的是（）。

A.甲、乙兩車可能同時到達B點

B.甲車一定先于乙車到達B點

C.乙車一定先于甲車到達B點

D.在A、B兩點之間的任意一點，甲車的速度都一定大于乙車的速度

2.在一大型游樂場中，從同一高處到同一水面有兩條長度相同，形狀不同的光滑軌道，其側視簡化示意圖如圖5所示。甲、乙兩小孩沿這兩條不同的軌道同時從高處A自由滑向水面B處，下列說法中正確的有（）。

A.甲、乙兩小孩在同一時刻的加速度大小總是相等

B.甲、乙兩小孩到達同一高度處時的速度大小均相等

C.甲、乙兩小孩在同一時刻總能到達同一高度處

D.甲小孩比乙小孩后到達B處

參考答案：1.BD 2.B

作者單位：湖北省荊州市江陵中學

（責任編輯張巧）8F6B410A-37BC-4324-AF34-8648020BCCA8