假于情境 基于理解 意義建構(gòu)
——“充分條件與必要條件”教學(xué)設(shè)計與反思*

陳 敏 (江蘇省錫山高級中學(xué) 214174)

1 基本情況

1.1 授課對象

學(xué)生來自江蘇省高品質(zhì)高中普通班，基礎(chǔ)較好.在初中，學(xué)生對命題有了初步的認(rèn)識，對平行四邊形以及三角形全等、三角形相似等定理有較好的理解與掌握，以這些知識為載體學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，較易上手．學(xué)生有一定的自學(xué)能力與推理能力．

1.2 教材分析

所用教材為《普通高中教科書數(shù)學(xué)·必修第一冊》(人教A版，2019年6月第1版)．“充分條件與必要條件”是第1章《集合與常用邏輯用語》的第4節(jié)第1課時，第2課時是“充要條件”．充分條件與必要條件是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的概念之一，它主要討論了命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，目的是為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，特別是數(shù)學(xué)推理的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)．與舊版相比，新人教A版刪去了四種命題的概念，只是在講充要條件的時候，簡單地插入了逆命題的概念，給充分條件與必要條件的教學(xué)帶來了一定的困難，尤其是必要條件中必要性的理解，也許是基于這個原因，教材將1.4節(jié)分成“1.4.1充分條件與必要條件”和“1.4.2充要條件”兩課時，以減少學(xué)生的學(xué)習(xí)困難．

教學(xué)目標(biāo) (1)體會“通俗語言→文字語言→符號語言→數(shù)學(xué)概念”的認(rèn)知過程，能理解“充分”“必要”的語文含義與數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系，把握充分條件與必要條件的意義，感悟數(shù)學(xué)概念的合理性；(2)會判斷充分條件與必要條件，理解充分條件、必要條件與判定定理和性質(zhì)定理的相應(yīng)關(guān)系；(3)掌握舉反例這一判斷一個命題是假命題的重要方法，提高辯證思維能力，崇尚科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇跃瘢?/p>

教學(xué)重點(diǎn) 必要條件與充分條件的意義及其判定．

教學(xué)難點(diǎn) 必要條件的理解．

2 教學(xué)過程

2.1 知識回顧

師：回顧初中命題、真命題與假命題的定義．

生：可判斷真假的陳述句叫命題，判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題．

師：一般地，“若p，則q”為真命題，是指由條件p通過推理可以得出結(jié)論q，這時，我們就說，由p可以推出q，記作p?q．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔之美與符號化特征．

2.2 情境創(chuàng)設(shè)

播放大款p與小秘q的對話短片，引入課題．

短片大致內(nèi)容如下：一位數(shù)學(xué)家從一間辦公室走過，聽到室內(nèi)有兩人在大聲吵鬧．大款p對小秘q大聲吼道：“有我p在，就有你q吃香的喝辣的！”小秘q很不服氣，氣急敗壞地說：“你的底細(xì)我可清楚，我完蛋了，也沒有你的好日子過！”數(shù)學(xué)家走上前說：“你們所說的正是數(shù)學(xué)邏輯學(xué)中的充分條件與必要條件問題．”

設(shè)計意圖通過鮮活的生活實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境，生動自然，極具場景畫面感，既渲染了課堂氣氛，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又恰當(dāng)?shù)匾肓苏n題，為后面概念的形成與理解做好鋪墊．這種情境創(chuàng)設(shè)同時又告訴學(xué)生，數(shù)學(xué)就在身邊，鼓勵學(xué)生數(shù)學(xué)地看待周圍的世界．當(dāng)然，這里僅僅是從數(shù)學(xué)意義上理解這一社會現(xiàn)象，還要注意正確引導(dǎo)學(xué)生的社會價值觀．

2.3 概念建構(gòu)

師：如果你是短片中的那位數(shù)學(xué)家，能否對大款p與小秘q相互之間的作用從數(shù)學(xué)意義上加以分析？

事實(shí)上，大款與小秘的關(guān)系用上面的p?q符號，就可以表示成大款?小秘，有大款在，就有小秘吃香的喝辣的，即大款對小秘來說，是足夠的、充分的，這時我們就說大款是小秘的充分條件；另一方面，如何體現(xiàn)小秘的作用呢？這個問題可以反過來思考，如果小秘完蛋了，大款也沒有好日子過，即小秘完蛋了，大款也完蛋了，所以從這個意義上說，小秘對大款是必要的．回到數(shù)學(xué)意義上就是，如果p?q，那么p對于q來說，是足夠的、充分的，所以p是q的充分條件；另外，p?q從反面理解就是，如果q不成立，則p一定不成立，也就是說，q對于p成立而言是必要的，所以q是p的必要條件．

數(shù)學(xué)概念：如果p?q，那么p是q的充分條件，同時q是p的必要條件．

以上數(shù)學(xué)概念建構(gòu)過程可用圖1來表示．

圖1

設(shè)計意圖符號化、形式化是數(shù)學(xué)的基本特征．學(xué)生通過“通俗語言→文字語言→符號語言→數(shù)學(xué)概念”的整個過程，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展，體會感悟數(shù)學(xué)概念的合理性．試圖努力揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)要義，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于理解、樂于學(xué)習(xí)的教育形態(tài)．

2.4 概念鞏固

例1下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？

(1)若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；(2)若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；(3)若x2=1，則x=1；(4)若x,y為無理數(shù)，則xy為無理數(shù)．

設(shè)計意圖(1)(2)都是判定定理，p是q的充分條件，為下面得出“每一個判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立一個的充分條件”這個結(jié)論做準(zhǔn)備；(3)(4)意在使學(xué)生通過具體問題，體會舉反例這一判斷一個命題是假命題的重要方法.設(shè)計這四個小題，會在后面的性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系探究以及充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件的判斷中再次利用．

解(1)這是平行四邊形的一個判定定理，p?q，所以p是q的充分條件．

(2)這是相似三角形的一個判定定理，p?q，所以p是q的充分條件．

師：如何判斷一個命題的真假？

生：判斷一個命題為真命題，要有定理作為支撐，或者經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理給予證明；要判斷一個命題為假命題，只要舉反例即可．

總結(jié)：舉反例是判斷一個命題是假命題的重要方法．

師(追問)：例1中命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”，這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的充分條件嗎？

生1：若四邊形的兩組對邊分別相等，則這個四邊形是平行四邊形．

生2：若四邊形的一組對邊平行且相等，則這個四邊形是平行四邊形．

生3：若四邊形的兩條對角線互相平分，則這個四邊形是平行四邊形．

師：你能得出什么結(jié)論呢？

學(xué)生討論交流后回答：“四邊形的兩組對角分別相等”“四邊形的兩組對邊分別相等”“四邊形的一組對邊平行且相等”“四邊形的兩條對角線互相平分”都可以判定平行四邊形，都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件．

總結(jié)：一般地，每一個判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立一個的充分條件．

例2下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？

(1)若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等；(2)若兩個三角形相似，則兩個三角形的三邊成比例；(3)若x=1，則x2=1；(4)若xy為無理數(shù)，則x,y為無理數(shù)．

設(shè)計意圖呼應(yīng)例1，同樣的數(shù)學(xué)問題，從不同角度充分挖掘其教學(xué)功能價值．第一層功能價值：得出判定定理與充分條件的關(guān)系結(jié)論；第二層功能價值：得出性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系結(jié)論；第三層功能價值：引出充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件等概念，為下一節(jié)充要條件鋪墊伏筆．

解(1)這是平行四邊形的一個性質(zhì)定理，p?q，所以q是p的必要條件．

(2)這是一條相似三角形的判定定理，p?q，所以q是p的必要條件．

(3)p?q顯然成立，所以q是p的必要條件．

同例1的處理方式一樣，教師先追問“四邊形是平行四邊形”的必要條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的必要條件嗎？學(xué)生經(jīng)過討論交流得出不同的必要條件，進(jìn)而得出結(jié)論：一般地，每一個性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立一個的必要條件．

2.5 深入探究

師：大家研究一下兩個例題的第(1)題，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；反過來，若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等，前一個命題說明“四邊形的兩組對角分別相等”是“四邊形為平行四邊形”的充分條件，后一個命題說明“四邊形的兩組對角分別相等”是“四邊形為平行四邊形”的必要條件，也就是說，“四邊形的兩組對角分別相等”是“四邊形為平行四邊形”的充分必要條件，即充要條件．

師：大家的研究能力很強(qiáng)！我們來繼續(xù)研究一下兩個例題的第(3)(4)題，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

師：剛才大家對例1例2具體問題進(jìn)行了比較研究，你能試著總結(jié)出判斷充分條件與必要條件問題的流程嗎？在這一判斷過程中要注意什么？

學(xué)生經(jīng)過合作交流，試著總結(jié)出判斷充分條件與必要條件問題的流程圖及注意事項(xiàng)(圖2)．

注意事項(xiàng)：由于p是q的充分條件，同時q是p的必要條件，所以要看清問題，所問的是誰是誰的什么條件．

圖2

2.6 課堂練習(xí)

(1)同桌同學(xué)互出一題，交換完成，相互批改，共同進(jìn)步；(2)教材第20頁練習(xí)．

2.7 課堂小結(jié)，布置作業(yè)(略)

3 回顧與反思

3.1 設(shè)計思路

本節(jié)課按照“情境創(chuàng)設(shè)—意義建構(gòu)—數(shù)學(xué)概念—數(shù)學(xué)運(yùn)用”的邏輯順序結(jié)構(gòu)，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成歷程，通過思考、討論、合作、交流等不同形式的自主學(xué)習(xí)和探究活動，體驗(yàn)、感知、建構(gòu)、運(yùn)用數(shù)學(xué)概念．本設(shè)計試圖努力揭示數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過程，幫助學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)要義，進(jìn)而體會感悟數(shù)學(xué)概念的合理性，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于理解、樂于學(xué)習(xí)的教育形態(tài)，再把這種教育形態(tài)提升到符號化、形式化的學(xué)術(shù)形態(tài)．

3.2 設(shè)計特色

(1)假于情境，意義建構(gòu)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為“情境”“協(xié)作”“會話”和“意義建構(gòu)”是學(xué)習(xí)環(huán)境中的四大要素或四大屬性，學(xué)習(xí)環(huán)境中的情境必須有利于學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的意義建構(gòu)，這就對教學(xué)設(shè)計提出了新的要求.在建構(gòu)主義學(xué)習(xí)環(huán)境下，教學(xué)設(shè)計不僅要考慮教學(xué)目標(biāo)分析，還要考慮有利于學(xué)生意義建構(gòu)的情境創(chuàng)設(shè)問題，并把情境創(chuàng)設(shè)看作是教學(xué)設(shè)計的最重要內(nèi)容之一．教學(xué)設(shè)計的主要功能就在于選擇或創(chuàng)設(shè)合理的、與現(xiàn)實(shí)生活緊密關(guān)聯(lián)的、真實(shí)性的問題情境，學(xué)生通過基于問題或項(xiàng)目的活動，開展體驗(yàn)式的、合作的、探究的或建構(gòu)式的學(xué)習(xí)，以促進(jìn)學(xué)習(xí)真正發(fā)生．在這一過程中，個體創(chuàng)生知識，形成思維觀念，提升探究技能，發(fā)展核心素養(yǎng)．

大款p與小秘q的對話短片情境創(chuàng)設(shè)，極具場景畫面感，親切自然，既渲染了課堂氣氛，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又恰當(dāng)?shù)匾胝n題，為后面概念的形成做好鋪墊，有利于學(xué)生概念建構(gòu)與本質(zhì)理解，同時又告訴學(xué)生，生活即數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在身邊，鼓勵學(xué)生數(shù)學(xué)地看待周圍的世界．

(2)基于理解，努力追求數(shù)學(xué)概念的合理性

結(jié)合大款p與小秘q的對話短片，剝?nèi)ケ砻娆F(xiàn)象后，再回歸數(shù)學(xué).如果p?q，那么p對于q來說是足夠的、充分的，所以p是q的充分條件；從反面理解就是，如果q不成立，則p一定也不成立，即說明q對于p成立而言是必要的，所以q是p的必要條件．這樣努力幫助學(xué)生理解“充分條件與必要條件”概念說法的合理性與自然性，而不是把所謂權(quán)威的數(shù)學(xué)理論硬生生地塞給學(xué)生．

(3)探求教學(xué)模式與學(xué)習(xí)方式的變革

充分調(diào)動每一個學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與學(xué)習(xí)興趣，把課堂真正還給學(xué)生，學(xué)生才是課堂的主人，教師只是教學(xué)活動的組織者、參與者、協(xié)調(diào)者、合作者與服務(wù)者．如由“通俗語言—文字語言—符號語言—數(shù)學(xué)概念”的形成過程，充分條件和必要條件判斷的流程圖與注意事項(xiàng)均由學(xué)生思考討論總結(jié)完成，再如在對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)把握和深刻理解的基礎(chǔ)上，學(xué)生由“做別人出的題”到“出題給別人做”，由答題者轉(zhuǎn)換到命題者，很好地體現(xiàn)了自我建構(gòu)與深度學(xué)習(xí)．

(4)一題多用，前后呼應(yīng)，充分挖掘其教學(xué)功能價值.

同樣的數(shù)學(xué)問題，從不同角度充分挖掘其教學(xué)功能價值．如兩個例題就有三層功能價值：第一層，得出判定定理與充分條件的關(guān)系結(jié)論；第二層，得出性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系結(jié)論；第三層，引出充分不必要條件、必要不充分條件、既不充分又不必要條件以及充要條件概念，為下一節(jié)充要條件鋪墊伏筆．

3.3 設(shè)計感受

教材中，若p?q，就說p是q的充分條件，q是p的必要條件，筆者認(rèn)為，這樣直接給出定義，沒有說明“充分”“必要”如何理解，略顯突兀，學(xué)生理解起來比較困難，不利于建立“充分”“必要”的語義與數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系．

在前面例題和練習(xí)沒有任何涉及的情況下，教材習(xí)題1.4復(fù)習(xí)鞏固第1題，就讓學(xué)生舉例說明“p是q的充分不必要條件，p是q的必要不充分條件”，實(shí)在是有點(diǎn)為難學(xué)生了，這樣做不太符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律(作為彌補(bǔ)，本教學(xué)設(shè)計中教師引導(dǎo)學(xué)生對兩個例題的具體問題做了比較研究)．退一步講，即便這樣處理，復(fù)習(xí)鞏固第2題是判斷具體問題的p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“既不充分也不必要條件”“充要條件”)，總比學(xué)生自己舉例說明要容易一些，因?yàn)閷W(xué)生通過具體問題的判斷，大致了解了這類問題的基本情況以后，把這些新概念再結(jié)合自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知，才可能比較容易舉出自己的例子．畢竟舉例說明不是解決現(xiàn)成的問題，而是創(chuàng)造性地提出問題，提出問題往往比解決問題難得多，基于此，建議把第1題與第2題順序調(diào)換一下．