解題教學中促進高中生數學運算素養發展之探索

郭立祥 (廣東省中山市實驗中學 528400)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析這六大數學核心素養，其中數學運算素養是指“在明晰運算對象基礎上，依據運算法則解決實際問題的素養”[1]．關于數學運算，有的教師認為教學應該側重介紹方法和思路，運算是學生自己的事情．學生中也有一種普遍的說法，現在是智能時代，涉及的計算問題用計算器算就行了，不需要自己算．實際上提高運算能力并不能一蹴而就，而是需要一個長期訓練的過程，否則學生往往知道解題方法，但是一做就錯．良好的運算素養有利于將數學思維往縱深方向推進，并能夠促進其他五大核心素養的均衡發展．

1 解題教學中促進高中生數學運算素養發展的基本途徑

高中數學解題教學是指教師在一段時間內，根據學生學習的內容以及所具備的技能，采用試題訓練形式來進一步夯實基礎知識和基本技能的教學活動，其中包括典型試題的選擇、教學方法的采用、教學過程掌控與總結、教學效果的鞏固與提高等.良好的運算素養能夠促進學生邏輯思維發展，并能夠養成良好的運算習慣．學生在解題教學過程中通過問題解決來不斷積累數學運算經驗，夯實運算方面的基本技能，增強學習數學的自信心，提高學習數學的興趣，學會用數學眼光來分析和處理問題.下面從解題教學的角度來探究如何提升和發展高中生的數學運算素養．

1.1 理解與分析運算對象是數學運算的基礎

運算對象的選擇是一個從數的運算到式的運算，再過渡到數據處理的發展過程.只有充分理解運算對象，才能夠深入分析運算對象，做到“知其然，知其所以然”.因此當我們面對涉及運算的數學問題時，首先要研究運算對象的背景，分析它所要考查的知識和技能，厘清運算對象所需知識間的邏輯關系.其次要引導學生根據自己所儲備的知識技能來開展對運算對象的理解與分析，通過探究運算對象所涉及的問題，進行數學問題解決，從而在數學運算的過程中夯實數學基本技能，培養數學綜合素養.

案例1已知a=(3,4),b=(sinα,cosα)，a∥b,求sinαcosα的值.

教學片斷1

師：本題屬于向量與三角相結合的綜合應用題，它考查了向量表示法、平行與垂直，三角函數的正余弦關系與符號判斷等.因此需要同學們正確理解運算對象．那么如何去解答這個問題呢？

生1：由已知條件得3cosα-4sinα=0，再代入sin2α+cos2α=1中，分別求出sinα,cosα的值.

師：生1掌握了向量平行的定義、正余弦的平方關系以及符號判斷，理解問題比較到位.

教學思考 在理解運算對象的基礎上，充分發揮學生主觀能動性，提倡一題多解，并且對比每一種方法的優缺點，從不同角度來理解運算對象，夯實學生的基礎知識和基本技能，同時感受學習數學過程中帶來的樂趣.

1.2 掌握與應用運算法則是數學運算的保障

經過理解與分析運算對象，明確運算對象存在的條件以后，需要明確解決問題涉及的數學運算法則，并且能夠熟練應用這些數學運算法則.

案例2化簡

教學片段2

這道題考查學生熟練應用誘導公式的基本技能，也就是對于三角函數的六組誘導公式要爛熟于心，才能夠做到有的放矢.

師：請自主閱讀例題并思考，寫出本題中涉及到的一個誘導公式以及同一組中其他公式.

(學生在獨立思考的基礎上，進行小組交流，然后每組選擇一位同學代表本組發言)

生5：cos(2kπ+α)=cosα，sin(2kπ+α)=sinα，tan(kπ+α)=tanα.

師：生5給出了終邊相同角的正弦、余弦、正切函數值不變，以及正切函數以π為周期的三個公式.

生6：cos(-α)=cosα，sin(-α)=-sinα，tan(-α)=-tanα.

生7：cos(π-α)=-cosα，sin(π-α)= sinα，tan(π-α)=-tanα.

生8：cos(π+α)=-cosα，sin(π+α)= -sinα，tan(π+α)=tanα.

師：三位同學給出了-α,π±α的正弦、余弦、正切函數值變化的九個公式.

教學思考 培養學生用類比方法找出同類型正弦、余弦或者正切函數的變化公式，目的是復習誘導公式中蘊含的“奇變偶不變，符號看象限”規律.

教師在學生回答的基礎上，進一步提問：

-cosα.

生10：sin(-π-α)=sin(2π-π-α)=sin(π-α)=sinα或sin(-π-α)=sin[-(π+α)]=-sin(π+α)=sinα.

生11：cos(4π-α)=cos(-α)=cosα.

師：這三位同學給出的不同解法都應用了兩個以上誘導公式，強化了知識之間的相互聯系.

教學思考 設計這個運算問題，目的是利用高一學生的認知結構特點，從單純一個到幾個公式的綜合應用，構建公式之間的聯系，也進一步強化“奇變偶不變，符號看象限”規律.

1.3 探究與選擇運算思路是數學運算的關鍵

在熟練掌握與應用運算法則的基礎上，問題解決的方法顯得尤為重要.所有的數學運算思路都是開放的，基于學生已有的運算素養基礎，選擇合適的運算思路，有助于邏輯思維展開.

·復雜問題簡單化

運算法則、運算公式和運算技能是培養運算素養的基礎，在平時注意多積累一些一般問題的運算方法和技巧，因為復雜問題往往可以分解成為幾個一般問題.在探究與選擇運算思路的時候，把這些復雜運算進行分解，幫助學生更好地理解運算對象，找到合適的運算方法.

·常規問題常態化

學生所遇到的復雜問題都是由一些常規問題組合而成，而常規問題側重夯實學生的基礎知識和基本技能，這類問題也是日常教學的重點.基于復雜問題簡單化的的解題原則，我們要做到常規問題常態化.

案例4已知函數f(x)=sin2xsin 2x.

這道題是2020年全國II卷理科數學第21題，看起來比較難，實際上從它考查的知識和技能來判斷，仍然屬于常規問題，只不過是由幾個常規問題組合成一個綜合性問題.

教學片斷3

師：第(1)問的運算思路是什么？

生12：先對原函數求導，由導函數大(小)于零，得出原函數單調區間．

師：第(1)問屬于一般運算問題，這位同學應用導數來求單調區間的思路是正確的.第(2)問看起來無從下手，第(1)問求得的單調區間對于第(2)問尋找解題思路是否有幫助呢？

生13：從第(1)問求出的單調區間，可以得到最大值.

師：第(2)問中的定義域為R，而第(1)問是定義在區間(0,π)上，怎么辦？

生14：在(2)中，先判定原函數是周期函數，然后結合(1)的結論算出函數在一個周期內的最大值，最后可得不等式證明.

師：借助周期性將區間(0,π)推廣到全體實數是關鍵，在區間(0,π)內根據(1)的結果求最大值，利用前后運算問題對比來尋找思路，考查的最值和周期性也屬于常規問題.

教學思考 本題涉及的是利用求導來確定單調性，然后再求出給定區間上的極值，最后利用周期性拓廣到R上的最值，仍然屬于常規問題.

·分析法為探究與選擇運算思路打開一扇窗

分析法是從結論出發，結合已知條件，在前后問題對比中來尋找運算思路，是探究運算思路的常備方法.例如案例4第(3)問就可以利用分析法來探究解決問題的思路.

師：sin2xsin22xsin24x…sin22nx與已知條件中函數的解析式是否有關聯？

師：根據(2)的結果得到函數在R上的最大值，第(3)問再對解析式變形，結合三角函數的放縮，三個問環環緊扣，前一個問題的結論為后一個問題的解決提供思路，通過分析法找到了解決這個問題的突破口.

教學思考 對于由幾個問題組合而成的綜合問題，問題之間是相互聯系的，并不是孤立的．分析法實際上是“執果索因”，采用邏輯推理中“若p則q”形式，從結論出發，結合已知條件和前面已經解決問題的結論，逐步推理來解決問題.

1.4 在格式規范化基礎上求得運算結果

在深入探究運算思路并能夠作出正確選擇之后，需要在格式規范化基礎上才能夠求得運算結果.結果呈現是數學思維的展示過程，規范化的運算結果能夠清晰地展示解決問題的方法，它具有可復制性和可操作性.格式規范化包括：推理過程的合理性，定理、公理使用是否準確，數學符號使用、表達方式的規范性等.

·邏輯推理的流暢化

在運算格式的規范化訓練中，要做到有理有據，避免思維跳躍性過大，這樣有助于邏輯思維的推進，并能夠發現運算盲點.例如，在案例4的第(1)問中，首先把函數f(x)運用降次公式或者二倍角公式進行化簡，再求導，降低運算的難度．對于這一類常規問題遵循“先化簡，再求導，后整理”的原則，做到思維過渡無障礙，提高運算的準確率.

·書寫表述的規范化

數學思維的展示中數學符號和表述方式都強調嚴謹性.例如，在案例1中，向量a如果不加粗，表示的就不是向量，而是數量、線段、射線等.規范化表述也能夠提高學生的審題能力，推進對涉及的定理、公理、公式的深度理解.

案例5在某校高一的一次月考中有以下三道填空題：

1.已知冪函數y=f(x)的圖象經過點(9,3)，則函數f(x)的解析式是.

教師在閱卷時候，發現了學生出現的一些典型錯誤解答，歸納如下：

(2)審題不清：{0,4}，以及寫成0/4，沒有搞清楚需要解決的問題，以及結果如何呈現.正確的表述方式應該為：0或4.這些貌似正確的答案，由于書寫格式不規范或者表述不規范，造成前功盡棄.

教學思考 對于數學符號書寫和邏輯思維呈現方式中易錯的知識點，引導學生準備一個易錯本，用以記錄和整理平時在學習過程中遇到的錯誤.持之以恒的書寫規范化訓練，有助于提高運算素養，以及邏輯思維的嚴謹性.

2 解題教學中促進高中生數學運算素養發展的思考

“重記憶輕理解”是常見的數學運算能力培養誤區，特別是運算較多的習題課教學，奉行“計算題記住公式就可以了”，不探究公式產生的背景、適用范圍，也就是我們通常所說的“讀不懂公式”“想當然地計算”，導致運算能力較弱，影響邏輯思維的發展.結合前面解題教學中促進高中生數學運算素養發展的途徑分析，培養高中生數學運算素養還應關注下面幾個方面.

2.1 尋找運算盲點，夯實數學運算基本技能

學生具有良好的運算素養表現在能夠應用原有的知識和技能解決實際運算問題.在解題教學過程中教師應能發現學生的運算盲點，重視這些盲點，并探究盲點形成的原因，并把它作為提高運算素養的著眼點.另一方面，對于涉及的定理、公理、公式，并不是簡單記憶，而去探究它們的背景和來源，達到溯本求源，減少數學運算盲點.當一個運算盲點出現的時候，學生要思考是公式記憶錯誤、公式應用錯誤，還是運算技能不足.舉一反三，在熟能生巧中逐步促進運算素養的發展.例如，在案例1中所涉及的a∥b和sinαcosα，學生的運算盲點可能是：分不清向量平行、垂直滿足的條件，或者對sinα,cosα,tanα的相互關系不清楚和不會利用“化弦為切”方法，這些都需要在不斷運算中尋找自己的盲點并加以糾正.再如，由案例2中f(α)的解析式聯想到六組誘導公式的“奇變偶不變，符號看象限”規律，以及相互之間關系，并在歸納總結過程中審視哪個公式自己還掌握不牢，再對盲點進行針對性糾正.

2.2 動靜結合，在歸納總結中促進邏輯推理思維發展

2.3 在挫折和成就中培養學生百折不饒的意志品質

數學運算過程中能夠逐步培養學生良好的思維習慣、堅強的毅力、持之以恒的探求精神，以及嚴謹的科學態度、百折不饒的剛強意志.新課程標準注重考查學生的數學運算素養，強調通過數學運算引導學生的思維向縱深方向發展，使得學生具備分類與整合、函數與方程、數形結合、化歸與轉化、特殊與一般思想，能夠促進學生的數學綜合素養發展，引導學生會用數學眼光看待世界，會用數學思維去指導自己的生活.日本著名數學教育家米山國藏曾經說：“在學校學的數學知識，畢業后若沒什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數學精神、數學思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們終生受益.”[2]

總之，數學運算素養拓廣了數學的應用范圍，它也是解決數學問題的基本手段，但是學生數學運算素養的培養仍然是一個長期的過程.正如《中國學生發展核心素養》中提出：“學生發展核心素養是指學生應具備能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力.”[3]良好數學運算素養有利于學生形成良好數學思維習慣，提升對于數學基礎知識和基本技能的理解程度，它也是提高學生綜合素養的重要抓手.與此同時，數學運算素養的培養過程體現“數學育人”特點，它重視知識的形成過程，通過挖掘教材中對于知識點的元認知，讓數學學習回歸數學教育本質.