幾何直觀，讓內隱的概念“看得見”

江蘇省南京市上元小學 尹昌濤

在第一次教學蘇教版數學四年級下冊“乘法分配率”一課時，筆者課前認真研讀了教材，并充分備好了課，像一般教師一樣先創設情境并提問：“足球單價32元，籃球單價45元，排球單價65元，那么7個籃球和排球一共需要多少呢？”再按照分析題意、列式解答、講述思路、觀察比較、發現規律、舉例驗證、總結規律、鞏固練習的順序進行教學。各個教學環節也比較順暢，但在課后練習作業中，很多學生把（a+b）×c模型的算式寫成a+b×c或者是（a×b）×c，與（a+b）×c模型分不清。經過單獨指導，大部分學生都能掌握乘法分配率，但還是有四五個學生總犯這樣的錯誤。

停下腳步尋找根源，筆者發現：根本原因是學生“數”感薄弱，用字母表征乘法分配律體驗淺薄。在教學中，教師如果只讓學生抽象數字表征，那么學生的認知只會如外在描摹一般，產生機械記憶思維，影響他們對其他運算律的理解。

如果把數的概念理解構建在直觀圖形表征上，不就直觀形象，好理解了嗎？于是筆者在教學中分解長方形面積推導過程，構建面積公式與乘法分配律的相關性，直觀展現乘法分配律的算理，大長方形整體面積等于兩小長方形面積之和（見圖1）。這樣竟收到了意想不到的教學效果——學生基本不再犯上述類似的錯誤了，筆者感到很欣慰。

圖1

一、意蘊解讀：“幾何直觀”的作用及價值

從數學課程標準對幾何直觀的闡述中，我們可以清楚地認識到，幾何直觀是借助圖形來描述和幫助分析問題的一種方法或思想。而幾何直觀的作用就是可以化繁為簡、化模糊為具體、化抽象為直觀，幫助我們尋求思路，提供猜想的途徑。其價值就是使教學手段更豐富和多樣化，有利于學生思維的發散和聚焦；有利于學生對問題的理解與解決；有利于學生感悟數學之美。

二、審視： “幾何直觀”在數學概念教學中的運用現狀剖析

數學概念的教學一般分為前期、中期、后期三個階段。筆者對全校18位數學教師使用幾何直觀在概念教學前期、中期、后期的運用情況進行了調查統計。為了保證調查的真實性和準確性，本次調查利用課余時間在不同的時間點進行了調查與訪談。

通過調查我們發現：18位教師均會在概念教學的前期運用幾何直觀，即在概念的引入中運用，但在概念教學的中期、后期，即在概念的形成和鞏固中運用較少。通過訪談了解原因：所有教師都認為借助幾何直觀很重要，但大部分教師對幾何直觀只是有一定的了解，了解不夠深入。受傳統“灌輸式”概念教學的影響，大部分教師只體會到幾何直觀在概念引入教學時運用的好處，而未體會到在概念形成、鞏固教學時運用也能發揮其重要的作用。

三、探尋：幾何直觀在概念教學中的實際運用

在傳統的數學教學中，概念教學大都是以教師的直接呈現為主，即教師直接出示概念，學生只是表面對文字意義進行理解，看不見、摸不著，使得概念教學課堂氣氛沉悶、效果不甚理想。但是幾何直觀由于其圖形的直觀效果，在課堂教學中運用，能激發學生的直觀思維，從而降低理解難度，使概念教學直觀生動、易于理解。

（一）改變概念感知方式——凸顯本質，催化理解

概念教學重點在引入階段，結合學生的智力發展水平，以直觀呈現的表征方式調整概念的感知力，讓學生主動探尋對概念的深度認知，借助幾何直觀支撐表象，能催化對抽象的數學概念的理解。

例如，在教學“認識中位數”一課時，難點是理解“在極端數據中，中位數比平均數更具代表性”。在教學過程中，一般教師都是先出示學生跳繩的7組數據：107、97、105、102、100、98、196，并引導學生求出平均數，觀察、比較數據。發現平均數不能代表學生的一般水平，教師接著會引導學生對比認識中位數的性質。由于學生對中位數比較陌生，這種從數中抽象概念的教學形式讓學生理解起來有一定的困難，教學效果并不很明顯。因此，在教學中，筆者充分運用幾何直觀的特性，幫助學生理解“在極端數據中，中位數比平均數更具代表性”，于是將7組數據表示在統計圖中，分別用直線畫出平均數、中位數所在的數據，再提問：“比115多5或少5的有幾人？”（學生回答：無）“那么有幾人比102多5或少5呢？”（學生回答：6）以直觀的方式對比認識中位數與平均數的性質與區別，凸顯了其本質，自然而然能快速催化學生對中位數性質的認識。

由此可見，在數學概念教學中，充分借助幾何直觀，不僅可以把概念化繁為簡，而且還利于化難為易，有助于教學重難點的突破。

（二）展現概念生成過程——明晰本質，強化理解

在概念教學的前期和中期，教師可以以直觀的方式，讓學生借助幾何畫板的動畫演示功能動手操作，親身經歷并自我展現概念的生成過程，這樣有利于學生對概念的深度理解和提升理解思維水平。

例如，在教學“三角形的認識”一課時，若教師只是按照課本上的定義進行教學，認識三角形的高，只是像例題一樣從一個頂點到對應邊的垂直線段，學生會認為三角形的高就在三角形內。但如果教師結合“幾何畫板”軟件演示三角形高的變化，操作直觀演示內部高到外部高都符合高的定義，不但可以豐富學生對高的定義認知，而且可以使學生對高的定義理解更扎實（見圖2）。

在平時的數學概念課堂教學中，對于像此類歸化型的概念，讓學生借助“幾何畫板”的動態演示直觀功能，親身體驗，既讓各個分支知識點的歸納成型形成完整概念，又有利于螺旋降低理解的難度，真正克服了負遷移，強化了學生對概念的認知。

（三）發掘概念隱含特性——觸摸本質，深化理解

數學教學階段，有些概念帶有表面性，在概念教學后期，概念雖已形成，但學生的探知欲望并沒有得到滿足，若不及時引導，容易限制學生思維的發展。教師要充分利用幾何直觀的自身特性，發掘概念中隱含的本質特性，直觀、淺顯地讓學生觸摸到概念的本質，從而深化對概念的理解。

例如，筆者曾聽過一節“3的倍數特征”的展示課，課上的結構層次分明，無論是教師問題的設計、引導，還是學生的探索、交流、討論，都很到位，到最后的運用特征鞏固練習也做得非常好，于是教師在全課總結時問道：“還有什么疑問嗎？”這時有個學生問：“到底為什么各個位數上數的和能被3整除，這個數就能被3整除呢？”教師顯得有些無奈，其他學生也質疑起來……其實這位教師機智一點，借助幾何直觀，完全能發掘3的倍數特征的深層原因（見圖3）。

圖3

如325能被3整除嗎？

各個位數上數的和（3+2+5）=10，不能被3整除，所以325不能被3整除。究其本質原因，結合幾何直觀很容易就能解釋：將3個100、2個10、5個1除以3分析一下，其中3個100中的3個99都能被3整除，2個10中的2個9都能被3整除，余下3個1（相當于百位上的3）、2個1（相當于十位上的2）和個位的5的和來判斷能否被3整除，其實就相當于判斷325能否被3整除。

學生的質疑，是學生主動求知欲望的表現。在本課例中，幾何直觀不但發揮了其自身突出的價值，而且讓學生感受到幾何直觀的好處，同時，問題的成功解決，也激發了學生學好數學的興趣，有利于學生思維的多元化發展。

（四）構建概念內在聯系——完善認知，活化理解

分析數學教學內容，不難發現，教學知識三大領域的概念都是呈螺旋上升的，依據各自領域知識的邏輯思維層次縱向教學。面對每個知識概念時，師生互動能較容易突破重難點，可是同一領域知識相互交織，學生會混淆不理解。這就需要我們教師在進行概念教學時，既要注重單獨概念的應用和再理解，更要注重把多個概念放一起復習，系統整理其內在聯系，以促進自我認知的完善。

例如：在復習“平面圖形面積的整理與運用”一課時，教師可以引導學生說一說這些圖形的面積公式的推導過程，讓學生發現這些圖形的面積計算公式都是以哪個圖形的面積公式為基礎來推導的。若教師引導學生借助幾何直觀，以“長方形的面積”為原始數學概念，利用樹形圖構建概念之間聯系，能起到畫龍點睛的作用（見圖4）。

圖4

數學概念之間具有很強的關聯性，從最少的幾個原始數學概念出發，利用樹形圖、集合圖、網絡圖等，把已有的有聯系的各個概念知識點融會貫通，再通過系統的復習整理它們之間的內在聯系，發散到該概念知識的整個領域，讓數學概念能結成一張網。因此，充分發揮幾何直觀圖形表征功能，讓數形有機結合理解概念，既有助于學生理清概念之間的關聯性，又可以完善概念的認知，活化學生對概念的理解。

綜上所述，在小學數學概念教學中，教師要想讓學生對內隱的概念“看得見”，要想讓學生學習概念知識更輕松，巧妙地運用幾何直觀顯然是一條捷徑。它有助于化繁為簡、化模糊為具體、化抽象為直觀，提高概念教學的實效性。