對胡克定律實驗中密繞緊貼彈簧的問題及修正研究

王立斌

（復旦大學附屬中學，上海 200433）

1 研究背景

“探究彈簧彈力與形變量的關系”的實驗，以下簡稱“胡克定律”實驗，是探究彈簧在發形變時，其形變與彈的定量關系，得到“彈簧發彈性形變時，彈的大跟彈簧伸長（或縮短）的長度成正比”的規律，即胡克定律.本實驗隸屬于高中物理課程標準（2017版）“必修1中1.2相互作用與運動定律主題”，屬于學生必做實驗.［1］

在教學實踐過程中，導致實驗結果與實驗預期結果不一致的原因很多，彈簧自身的問題是一個重要的因素.筆者在對“胡克定律”實驗裝置和實驗過程進行優化的基礎上，對因密繞緊貼彈簧而產生的問題進行了研究，提出了修正彈簧的方法，并對修正方法進行了實驗檢驗.

2 問題的產生

原實驗裝置如圖1所示，主要用到彈簧、刻度尺、鉤碼、鐵架臺、鐵夾等.實驗時通過在彈簧下端添加鉤碼改變彈簧伸長，記錄鉤碼質量和對應的彈簧長度.懸掛鉤碼時的彈簧長度減去未掛鉤碼時彈簧的長度，即為彈簧伸長.每次鉤碼平衡時，鉤碼的重力等于此時彈簧的彈力.

圖1 原實驗裝置

通過畫彈簧彈力與彈簧伸長的關系圖（F-x圖），即可探究彈力與形變量的關系.有時會出現如圖2所示的F-x圖.在彈力與形變量的關系圖中，截距不為0，則不能說明彈簧彈力與形變量成正比.產生這種圖像的彈簧如圖3所示，外觀具有密繞圓圈緊貼的特點.通過交流，筆者了解到，這種案例并非個案，具有一定的普遍性.但并未見到相關解釋資料.筆者對此進行了研究.

圖2 彈簧彈力與彈簧伸長的關系圖

圖3 密繞圓圈緊貼彈簧（本文簡稱為密繞緊貼彈簧）

3 問題的分析與實驗研究

3.1 理論分析和猜想

在密繞圓圈（非緊貼）彈簧中，彈簧的形變涉及拉伸，彎曲和扭轉，其中扭轉起主要作用，其他的可以忽略不計.［2］扭轉形變實質上是由剪切形變組成的.用圓柱體扭轉形變的基本公式可以推導得到密繞圓圈（非緊貼）彈簧所受拉力F與伸長量x的關系為

其中N為材料的剪切模量，R為彈簧金屬絲的半徑，n為彈簧的匝數，r為彈簧的半徑，x為彈簧的總伸長量.

（1）式的推導是基于彈簧線圈之間非緊貼的情況展開的.對于密繞緊貼彈簧則不一定試用.

在圖2所示的彈力與形變量的關系圖中，截距不為0，圖像的直觀解釋可以為“表面形變量”為零時，彈簧中仍然有彈力，說明彈簧仍然有收縮趨勢.

工業生產中，彈簧鋼的壓力加工方式有熱軋、冷拉，鍛制等，熱處理方式有 “去應力處理”、“不處理”等.不同的加工和處理方式造成彈簧鋼的應力性能差異較大，同理會影響到最終成品彈簧的性能.例如，金屬絲在冷彎曲成形螺旋彈簧后會產生很大回彈.［3］

筆者做了如下猜想，對成品彈簧而言，存在著“表面形變量”為0，但彈簧內部仍然有（剪切）應變的可能，導致剪切應力不為0，彈簧仍然收縮的趨勢.宏觀上，有收縮趨勢的相鄰彈簧圈接觸在一起，因擠壓產生的額外彈力阻礙了彈簧的進一步收縮，達到了力學平衡.

3.2 設計實驗進行驗證

為了證明猜想的正確性，筆者設計了如圖4所示的裝置進行驗證.

圖4 改進后的實驗裝置圖

3.2.1 實驗器材

實驗用到的器材主要有（朗威）DIS實驗系統（含力傳感器、位移傳感器），彈簧，鐵架臺、鐵夾等.

3.2.2 實驗裝置搭建的步驟及主要原理

（1）在鐵架臺上固定力傳感器.

（2）在力傳感器下方懸掛待檢測彈簧，進入軟件界面，在彈簧自然懸掛狀態下對力傳感器調零.

（3）將位移傳感器發射端固定在鐵夾上（后面稱此為鐵夾1），同時將彈簧下端掛在鐵夾1上.調節鐵夾1的高度，當力傳感器的示數從正數（測拉伸力）恰減小為0時，固定鐵夾1.之后實驗時力傳感器的示數即為外界對彈簧的拉力F.

（4）將位移傳感器接收端固定在另一個鐵夾上（后面稱此為鐵夾2），調節鐵夾2，使得位移傳感器接收端與發射端正對，當位移傳感器示數為0時固定鐵夾2.之后實驗時位移傳感器的示數等于彈簧的拉伸量x.

（5）點擊開始記錄按鈕，旋松鐵夾1的螺絲，使得鐵夾1（連同位移傳感器）緩慢下降.多次采集力和位移數據并分析.

（6）更換其他疑似問題彈簧，重復上面的步驟.

3.2.3 實驗數據分析

將疑似問題彈簧的F、x數據畫散點圖進行分析，均得到了如圖5所示的圖像.

圖5 疑似問題彈簧的F、x數據散點圖示例

從圖5可以看到，在x=0時，存在多處拉力F不為0的位置，這與預期的結果一致，即此彈簧存在初始收縮力F0.當彈簧受到的拉力小于F0時，彈簧并不會被拉伸，彈簧下端的位移為0.圖5中的初始收縮力約為0.27 N.

對于存在初始收縮力的彈簧，即密繞緊貼的彈簧，當彈簧受到的拉力大于F0時，彈簧才能被拉伸.由圖5可知，此時彈簧下端點施加的彈力，等于受到的拉力F，并不與彈簧形變量x成正比，而是要扣除F0后才能與x成正比.其數學表達式為F-F0=kx，即對于密繞緊貼的彈簧，彈力F與形變量x成線性關系，而不是正比關系.

4 通過修正彈簧解決問題

4.1 修正彈簧的意義

在實際使用中，很多情境下，彈簧彈力F與其形變量x成正比是必須要滿足的先決條件，例如“制作彈簧測力計”.對于初學胡克定律的中學生而言，相比于使用“F-x僅滿足線性關系的彈簧”，使用“F-x滿足正比關系的彈簧”在理解胡克定律的時候顯然會更容易些.

而對于“僅滿足線性關系的彈簧”，擱置、丟棄顯然是資源的浪費，與環保價值觀不符合.

如果能將“F-x僅滿足線性關系的彈簧”轉變為“F-x滿足正比關系的彈簧”，將顯著提高資源的利用率，降低學生學習過程中不必要的干擾因素.

4.2 修正彈簧的方法

在工業生產中，使用機械拉伸法可以去除材料內的應力，［4］即用部分塑性應變抵消部分彈性應變.根據這一原理，采用如下方法修正彈簧.

（1）測量彈簧拉伸前的原長，設為L0.

（2）手持彈簧的兩端，增加拉力，拉伸彈簧至長度為原長的2倍，即2 L0后，減小拉力，使彈簧恢復到自然伸長狀態，測量此時彈簧的長度，設為拉伸釋放后彈簧的原長L.

（3）如此往復，分別拉伸彈簧至3 L0，4 L0，5 L0…直至拉伸釋放后彈簧的長度為L與彈簧的拉伸前原長L0不一致，即發生范性形變時停止拉伸.例如L比L0大1 cm時結束拉伸，彈簧修正完畢.如圖6所示，將某彈簧拉伸至原長10倍長度后釋放，原長比拉伸前增加約1.6 cm.

圖6 同規格的兩個彈簧在拉伸前后的對比圖（上方為未拉伸時候的狀態，下方為10倍拉伸釋放后的狀態）

4.3 修正后彈簧的表觀特征

與修正前相比，修正后的彈簧，表觀上，彈簧相鄰金屬圈之間不再緊密接觸，有了肉眼可見的縫隙甚至是明顯分離，輕拉彈簧后釋放，能夠看到彈簧的細微振動.

4.4 修正彈簧的檢驗

修正彈簧的目標是為了將“F-x僅滿足線性關系的彈簧”轉變為“F-x滿足正比關系的彈簧”.為此需要檢驗修正后的彈簧 “彈力與形變量是否滿足正比關系”.

4.4.1 被檢驗彈簧的一些參數

筆者選取了4種規格的“問題彈簧”，修正前，其彈力與形變量均不滿足正比關系，但滿足線性關系.被檢驗彈簧的拉伸前后的參數如表1所示.

表1 4種被檢驗“問題彈簧”的參數

4.4.2 檢驗方法和檢測結果

用圖4所示裝置，采集“問題彈簧”在修正前后的彈力F和形變量x數據，繪制F-x圖，進行對比分析.F-x圖對比示例如圖7所示.

圖7 彈簧1在修正前后的F-x圖（a）為未拉伸時，（b）為拉伸修正后.

滿足胡克定律的彈簧，F-x圖中直線斜率為彈簧的彈性系數k.

對各“問題彈簧”修正前的F-x圖中的直線部分進行線性擬合，自變量x前的系數仍具有彈性系數的量綱和意義，在此仍舊稱為彈性系數k.線性擬合后，縱軸截距對應于形變量為0時的彈力，在本文稱之為初始收縮力F0.

表2 4種被檢驗“問題彈簧”在拉伸前后的F-x圖擬合方程及數據分析

4.4.3 檢測結果分析

從圖7可以看出，修正后的彈簧，彈力F與形變量x滿足良好的正比關系.

對比表2中擬合方程的截距可以看出，修正后，截距幾乎降為0，即通過拉伸，良好地消除了“問題彈簧”的初始收縮力F0.

通過表2中的彈性系數k的變化可以看出，拉伸后彈簧的k值都略有下降，但k值降低百分比較小，在筆者的實驗中，k值降低百分比都在4%以內.

4.5 實驗結論

可以通過“拉伸法”對密繞緊貼彈簧進行修正，“拉伸法”能降低密繞緊貼彈簧的初始收縮力.在一定范圍內，修正后的彈簧仍具有良好的彈性，并且，彈力F與形變量x能夠滿足良好的正比關系.