應用質點系質心動能定理法求解碰撞問題

徐華兵

（浙江省金華第一中學，浙江 金華 321015）

1 問題提出

筆者在給學生講授動量、動量定理習題時碰到一道連續多個物體完全非彈性碰撞求解碰后速度問題，用牛頓運動定律和運動學公式法求解非常繁瑣且復雜，而用質點系質心動能定理法求解卻較為簡單方便.

例1.在光滑水平面上的一條直線上，排列著一系列可視為質點、質量均為m的物體1、2、3、4，在1之前放著一個質量M=4m的物體A，相鄰物體間的距離均為l，最初所有物體均靜止，如圖1所示.現用一水平力F推A，從而發生一系列完全非彈性碰撞.求：當運動物體與第4號物體相碰前的瞬間，其速度為多大？

圖1

解析：物體A與物塊1、2、3相繼碰撞，碰撞過程中質量不斷變化，物體的加速度不斷變化.所以若用牛頓運動定律和運動學公式求解，必須對質點系與物體4碰前過程分子過程處理.

點評：本題是質點系質點完全非彈性碰撞問題，在碰撞過程中物體的質量不斷變化，恒力F作用下加速度不斷變化，用常規思路求解，必須分子過程處理，而且過程及其復雜.而此時若應用質點系質心動能定理法求解只需要找出力F作用前后質心位置，求出質心位移；算出質點系合外力對質心做的功，最后應用質心動能定理列式計算即可.

2 質點系質心動能定理表達式推導

質心是質點系統的質量分布中心，在給定的坐標框架下質心的位置矢量為

對時間t求導得

將速度v對時間t求導得

3 質點系質心動能定理求解碰撞問題分類剖析

根據質點系質點在運動過程中所受外力是恒力還是變力，可將質點系質點間的碰撞問題分為恒定合外力F作用下的碰撞問題和變合外力F作用下的碰撞問題.下面分上述兩類情形剖析質點系質點間的碰撞問題.

3.1 質點系受恒定合外力F作用類碰撞問題

質點系受恒定合外力F作用類碰撞問題是指質點系內質點在整個運動過程中受恒定外力F作用的碰撞問題.但由于運動的質點不斷增多，質量不斷變大，雖是恒定合外力，運動質點的加速度卻在不斷變化，過程較為復雜；若采用質心動能定理求解碰撞后質點速度能簡化運動過程，求解較為方便.

例2.一光滑桿上套3個質量為m的光滑圓環，相鄰圓環間距都為l，如圖2所示.現給環1施加一恒力F，環1在恒力F的作用下向著環2運動，環1和環2碰后在原來恒力F作用下一起向著環3運動.已知所有的碰撞為完全非彈性碰撞，求環1、2、3系統碰后的速度v3.

圖2

變式1：一光滑桿上套n個質量為m的光滑圓環，相鄰圓環間距都為l，如圖3所示.現給環1施加一恒力F，環1在恒力F的作用下向著環2運動，環1和環2碰后在原來恒力F作用下一起向著環3運動，與環3碰后，環1、環2和環3在原恒力F的作用下向著環4運動，依次碰撞下去……已知所有的碰撞為完全非彈性碰撞.求與第n個環碰后系統的速度vn.

圖3

點評：上述例2也可應用牛頓運動定律和運動學公式求解，且能快速求出，不是很繁瑣；應用質點系質心動能定理求解的優越性還沒完全表現出來.而變式1將質點系碰撞質點個數由3個拓展到n個，若用牛頓運動定律和運動學公式求解將會非常復雜，且運算量非常繁瑣；而用質點系質心動能定理求解過程簡潔明了清晰，優越性盡顯.

3.2 質點系受變合外力F作用類碰撞問題

質點系受變合外力F作用類碰撞問題是指質點系內質點在整個運動過程中受變化合外力F作用的碰撞問題.由于運動質點系的合外力F不斷變化，運動質點的加速度也在不斷變化，從牛頓運動定律和運動學公式角度分析過程復雜；宜用質點系質心動能定理法求解.

例3.一粗糙桿上套3個質量為m的圓環，已知圓環與桿間的動摩擦因數為μ，相鄰兩圓環間距為l.現給環1一個初速度v0，使它向著環2運動，與環2碰后粘在一起，繼續向環3運動，與環3發生碰撞，如圖4所示.若環1、環2和環3間的碰撞都為完全非彈性碰撞，求：環1、環2和環3碰后粘合體的速度v3.

圖4

變式2：一粗糙桿上套n個質量為m的圓環，已知圓環與桿間的動摩擦因數為μ，相鄰兩圓環間距為l.現給環1一個初速度v0，使它向著環2運動，與環2碰后粘在一起，繼續向環3運動，與環3發生碰撞…直到與第n個環發生碰撞，如圖5所示.若所有環間的碰撞都為完全非彈性碰撞，求與第n個環碰后粘合體的速度vn.

圖5

點評：例3和變式2都屬于受變化合外力F作用類質點系碰撞問題，若從牛頓運動定理和運動學公式角度求解質點系碰撞后的速度，過程較為復雜，難度較大；尤其是變式2中質點系從有限個較少的質點拓展到n個質點.此時，若用質點系質心動能定理法求解質點系內質點碰后速度，過程清晰明了簡單.

質點系質點間完全非彈性碰撞問題在高中物理力學試題中常常出現，由于質點系研究對象多，碰撞過程復雜，這類試題從牛頓運動定律和運動學公式角度求解往往計算量大，且過程復雜，及其容易出錯.本文為這類試題的求解提供了一種簡單的方法——應用質心動能定理法求解質點系碰撞問題，希望對廣大同行教師在講授這類試題時有所幫助.