立足三維空間 提升學科素養
——一道山東高考卷試題的評析及另解

蔣金團

（云南省施甸縣第一完全中學，云南 保山 678200）

在傳統的疊加場模型中，試題通常設計成如下的兩種情形：第一種情形是帶電粒子所受重力和電場力平衡，帶電粒子在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動；第二種情形是場力或場力的合力不為0，帶電粒子在場力和洛倫茲力的共同作用下做滾輪線運動.與以上兩種設計情形不同的是，2021年高考山東卷第14題直接將平面內的曲線運動升級成了三維空間曲線運動，通過受力分析可知，在沿著電場線的方向上粒子做勻變速直線運動，在垂直電場線的平面內粒子做勻速圓周運動.這種拓展式的設計打破了“將曲線運動分解成兩個直線運動的慣性思維”，更加深刻地考查了學生的動力學觀念和學科素養，使考生更加深刻認識到兩分運動的獨立性，領悟到合成與分解法的精髓.

1 試題呈現

例題.某離子實驗裝置的基本原理如圖1（甲）所示.Ⅰ區寬度為d，左邊界與x軸垂直交于坐標面點O，其內充滿垂直于x Oy平面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B0；Ⅱ區寬度為L，左邊界與x軸垂直交于O1點，右邊界與x軸垂直交于O2點，其內充滿沿y軸負方向的勻強電場.測試板垂直x軸置于Ⅱ區右邊界，其中心C與O2點重合.從離子源不斷飄出電荷量為q、質量為m的正離子，加速后沿x軸正方向過O點，依次經Ⅰ區、Ⅱ區，恰好到達測試板中心C.已知離子剛進入Ⅱ區時速度方向與x軸正方向的夾角為θ.忽略離子間的相互作用，不計重力.

（1）求離子在Ⅰ區中運動時速度的大小v；

（2）求Ⅱ區內電場強度的大小E；

（3）保持上述條件不變，將Ⅱ區分為左右兩部分，分別填充磁感應強度大小均為B（數值未知）方向相反且平行y軸的勻強磁場，如圖1（乙）所示.為使離子的運動軌跡與測試板相切于C點，需沿x軸移動測試板，求移動后C到O1的距離s.

圖1

2 從動量和沖量的角度進行解答

這道題的3個設問都在考查曲線運動，事實上無論是平面內的曲線運動還是空間上的曲線運動，無論曲線運動的加速度是恒定還是變化，都可以采用運動分解的方法處理.在第（3）問中，通過分解之后，三維空間曲線運動可看成是運動軌跡相互垂直的圓周運動和勻變速直線等效合成，雖然兩個分運動的運動性質截然不同，但“等時性”依然將它們緊緊關聯在一起，考慮到力對時間積累的效果表現為動量的改變，因此本題也可以采用動量和沖量的知識進行解答.

（1）設離子在Ⅰ區中做勻速圓周運動的速度為v，由洛倫茲力沖量公式qBy=m|Δvx|和qBx=m|Δvy|得［1］

qB0d=m|Δvy|=m（v sinθ-0），qB0y=m|Δvx|=m（v-v cosθ）.

聯立兩式解得

（2）離子在Ⅱ區中做勻變速曲線運動，沿x軸方向有

沿y軸方向，由動量定理得

-q Et=（-mvy）-（mv sinθ）.

沿y軸方向，由勻變速直線運動規律得

聯立各式解得

（3）Ⅱ區內填充磁場后，將離子進入Ⅱ區時的速度分解成沿著x軸的分速度vx=v cosθ和沿著y軸的分速度vy=v sinθ，由受力分析可知，在y軸方向離子做類豎直上拋運動，在xO1z平面內離子做勻速圓周運動，如圖2所示.

圖2

離子在y軸方向運動的時間為

根據兩個分運動的等時性可知t′=t，

離子在xO1z平面內做勻速圓周運動，由洛倫茲力沖量公式得

qBx1=m|Δvz|=m|（-v cosθsin60°-0）|，

qBx2=m|Δvz′|=m［v cosθ-（-v cosθsin60°）］.

聯立各式解得

3 試題評析

試題第（1）問考查了離子在磁場中做勻速圓周運動，從核心素養的角度來看，第（1）問主要體現了物理觀念中的運動觀（圓周運動），從考查要求上來看，第（1）問注重基礎，體現了“一核四層四翼”的基礎性.

試題第（2）問考查了離子在磁場中做勻變速曲線運動，采用“運動分解”的方法解答即可.先根據受力情況確定兩個分運動的性質，接著列出每個分運動的動力學方程，最后再用兩分運動的等時性便能將所有的方程聯系在一起.從核心素養的角度來看，第（2）問的解答基于合運動與分運動的等效性，體現了學科思維和學科方法；從考查要求上看，解答過程既用到了沖量知識，也用到了動量知識，體現了“一核四層四翼”的綜合性.

本題的亮點是第（3）問，Ⅱ區填充磁場后，由于磁場和速度兩個矢量在同一個平面內，離子在Ⅱ區受到的洛倫茲力必然沿著z軸，粒子在保持原來運動狀態的同時，將沿著z軸運動，所以粒子的運動將從平面內的曲線運動升級成為三維空間曲線運動.從核心素養的角度來看，第（3）問的解答仍然基于合運動與分運動的等效性，體現了學科思維和學科方法；從考查要求上看，第（3）問將平面內的運動拓展成三維空間運動，體現了“一核四層四翼”的創新性，總之，這是一道符合課改精神且令人難忘的好題.