數(shù)列放縮小專題復(fù)習(xí)的教學(xué)案例設(shè)計

郭 增

(浙江省金華市湯溪高級中學(xué) 321075)

1 教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)安排在數(shù)列求和復(fù)習(xí)結(jié)束后，在學(xué)生充分了解并掌握數(shù)列常見的幾種求和方法的前提下，更進一步對數(shù)列與不等式的放縮問題進行深入挖掘.教學(xué)內(nèi)容分為三個方面：第一個方面是讓學(xué)生學(xué)會識別不同類的數(shù)列放縮，第二個方面是掌握放縮的兩大基本要素，第三個方面從構(gòu)造方面讓學(xué)生切實掌握有效可操作的方法解決數(shù)列放縮問題并領(lǐng)會其思想.

2 學(xué)情分析

對于剛復(fù)習(xí)完數(shù)列的普通學(xué)生來說，對數(shù)列的基本知識與方法有了一定熟練度，尤其是求和公式也能熟練應(yīng)用.但是對于數(shù)列不等式放縮，大部分學(xué)生都有一定程度的懼怕心理，苦于無方法，難操作，因此思維靈活性受到制約.

3 設(shè)計思想

本節(jié)課采取探究式課堂教學(xué)模式，即課前討論—課上探究—課后總結(jié)，在學(xué)案啟發(fā)設(shè)計引導(dǎo)下，以學(xué)生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學(xué)情境，以數(shù)列放縮的方法和思想為基本探究內(nèi)容，讓學(xué)生通過個人、小組、集體等多種解決問題的嘗試活動，在探究學(xué)習(xí)的過程中把放縮的思想融入到解決問題的方法中.

4 教學(xué)目標(biāo)

(1)引導(dǎo)學(xué)生從已有的簡單放縮問題出發(fā)，通過一道數(shù)列放縮小題的求解，由特殊到一般地對放縮技巧理解并歸納.

(2)通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題、解決問題的能力，增強學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力.

(3)培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過數(shù)列放縮技巧的歸納和整理提升學(xué)生邏輯推理與演繹推理的能力.

5 教學(xué)重點與難點

教學(xué)重點：數(shù)列放縮的兩大基本要素以及放縮的基本思路.

教學(xué)難點：放縮技巧的實際應(yīng)用：轉(zhuǎn)化與計算

6 教學(xué)過程

6.1 回顧數(shù)列求和的基本內(nèi)容以及數(shù)列放縮的問題

教師：數(shù)列問題難度可分為以下三個層次：

通項公式，求和公式都能求解；

通項公式能求解，求和需要放縮；

通項，求和都需要放縮.

6.2 例題討論，分析放縮的兩大基本要素

問題一：數(shù)列放縮注意哪些點？(帶著問題做例1)

設(shè)計意圖：了解學(xué)生掌握放縮的程度以及技巧性的能力

學(xué)生：講解方法(讓學(xué)生講解放縮的過程)

第一類是

第二類是

第三類是

教師：三種不同的放縮方式可以觀察出什么特點嗎？

學(xué)生：一類比一類更加貼近原式的值，也就是放縮的尺度更精準(zhǔn).

教師：若是大部分同學(xué)想不到第二類或者第三類的放縮方式，只有第一類放縮的方式容易想到，是否就無法解決2,3兩個問題？

設(shè)計意圖：通過參與學(xué)生的討論，把放縮的項數(shù)問題滲透到學(xué)生的思想中.

學(xué)生：既然放縮的技巧達不到精度，我們可以嘗試把放縮的項數(shù)減少，前幾項用真實值.

教師：回顧第一個問題，數(shù)列放縮注意哪些點？

學(xué)生：放縮的技巧以及項數(shù)

歸納總結(jié)：尺度不夠，項數(shù)來湊，項不過三，尺度再轉(zhuǎn)

設(shè)計意圖：學(xué)生通過運算對比體會到放縮的技巧和項數(shù)同樣重要.

6.3 探究放縮的技巧與方法

教師：如何有效構(gòu)造數(shù)列放縮？思考有哪些常見的求和式可以與常數(shù)比較大小？

學(xué)生：裂項相消，等比數(shù)列錯位相減

問題二：如何構(gòu)造裂項相消和等比數(shù)列才是問題難點，帶著這個問題一起來做一下例2.

(第一小問容易解決an=2n-1，重點分析第二小問)

讓學(xué)生嘗試運算可以發(fā)現(xiàn)，用這個放縮必須要從第四項開始放縮才能解決，且運算量大.

設(shè)計意圖：學(xué)生通過運算體會到放縮的尺度的把握的重要性.

學(xué)生：能不能試著用待定系數(shù)？目標(biāo)就是等比數(shù)列求和.

當(dāng)n=1時不成立，因而作調(diào)整.不等式調(diào)整為，

(此類放縮優(yōu)點在于尺度和項數(shù)可以在運算中進行調(diào)整，以滿足不同程度的放縮)

設(shè)計意圖：通過師生共同合作體驗待定系數(shù)可控式的放縮技巧.

教師：前面的問題中提到常見的求和式可以與常數(shù)比較大小的除了等比數(shù)列的錯位相減還有裂項相消，那在這個題目中能實現(xiàn)嗎？

學(xué)生：裂項關(guān)鍵在于分母因式分解，然后裂項觀察相消，無法拼出.

教師：對比之前的例1，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)裂項的前后兩項是可以通過項與項的關(guān)系來放縮的.結(jié)合待定系數(shù)，我們能不能試用一下？

學(xué)生參照等比待定系數(shù)的過程自行操作，并挑部分學(xué)生進行展示.教師提供完整的思路供學(xué)生參考.

設(shè)計意圖：通過實踐以及點評讓學(xué)生體會數(shù)列放縮待定系數(shù)法的邏輯合理性，消除對于數(shù)列放縮技巧性的突兀感.

6.4 實踐鞏固

設(shè)計意圖：通過實踐讓學(xué)生進一步體會兩種放縮的技巧的關(guān)鍵.

6.5 課堂小結(jié)

教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容

學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)

設(shè)計意圖：通過學(xué)生的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語言表達能力

6.6 作業(yè)設(shè)計

已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，a1=2，an>0且2Sn+1-an+12=-2Sn其中n∈N+，(1)求{an}的通項公式；