一種蟻群優化小波包基選擇的方法

鄒方豪　張涵　孟良　許同樂　蘇元浩

摘要：為了研究已有最優基選擇算法在微弱故障信號降噪方面效果差以及終端節點不易確定的問題，依據蟻群算法和小波包的相關理論，分析了小波包基選取的影響因素，對選取規則進行了重新定義，并結合蟻群算法的全局優化能力對新定義的終端節點坐標集和分解層數尋優，給出了一種基于蟻群算法的小波包基優選方法。對比傳統最優基選擇算法，新方法的收斂性能及分布性能加強了12.5%，在軸承的微弱故障信號降噪過程中，經處理后的信號信噪比提高了46.7%，均方根誤差降低了20.4%，驗證了新方法的有效性和優越性。

關鍵詞：信號降噪;小波包;最優基選擇;代價函數;蟻群算法

DOI：10.15938/j.jhust.2022.02.006

中圖分類號： TH17

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2022）02-0048-07

An Ant Colony Optimization to Optimize Selection Method of Wavelet Packet Basis

ZOU Fang-hao，ZHANG Han，MENG Liang，XU Tong-le，SU Yuan-hao

（School of Mechanical Engineering， Shandong University of Technology， Zibo 255049， China）

Abstract：In order to study the poor effect of the existing best basis selection algorithm in reducing the noise of weak fault signals and the difficulty of determining the terminal node， according to the ant colony algorithm and wavelet packet related theories， the factors affecting the selection of the wavelet packet basis are analyzed， and the selection rules are analyzed. After redefining and combining the global optimization ability of ant colony algorithm to optimize the newly defined terminal node coordinate set and decomposition level， a wavelet packet basis optimization method based on ant colony algorithm is given. Compared with the traditional best basis selection algorithm， the convergence performance and distribution performance of the new method are enhanced by 12.5%. In the process of reducing the noise of the weak fault signal of the bearing， the signal-to-noise ratio after processing is increased by 46.7%， and the root mean square error is reduced by 20.4%， verifying the effectiveness and superiority of the new method.

Keywords：signal noise reduction; wavelet packet; best base selection; cost function; ant colony optimization

0引言

在機械故障診斷過程中，對非平穩故障信號局部特征的處理至關重要[1-3]，小波包變換（wavelet packet transform，WPT）是由Wickhauser等在小波變換的基礎上提出的，目前多應用在非平穩信號的處理當中，能夠有效反映故障信號的局部時頻域特征[4-5]。

小波包基的選擇是小波包變換中的關鍵步驟，對WPT性能的影響很大[6]。由于小波包基數量繁多，如何選取小波包基的最佳組合使得小波包變換的性能最理想，成為國內外學者的研究熱點。現如今比較成熟的最優基選擇算法（best basis selection， BBS）是以熵為代價函數的“自下而上”的二叉樹選擇方法[7-9]，通過各節點的熵值大小來判斷終端節點，簡單高效，但隨著分解層數的變化，導致其終端節點數不易確定，且對微弱故障信號的降噪性能表現不佳。

針對目前常用BBS算法存在的缺點以及不足之處，本文提出一種以B-M風險函數代替熵作為代價函數，并重新規定了終端節點選擇策略的新型最優基選擇方法，利用蟻群算法（ant clony optimization， ACO）對優化目標尋優，找到最合適的小波包基。

最后利用反世代距離評價指標（inverted generational distance， IGD）驗證了所提方法的綜合性能，通過信噪比（signal-noise ratio，SNR）、均方根誤差（root mean squared error，RMSE）以及信號的快速傅里葉變換（fast fourier transform，FFT）圖像展示了新方法對微弱故障信號降噪的有效性和優越性。

1小波包介紹

小波變換因其在時頻域中均能反映信號的局部特征，故被廣泛應用于非平穩信號的分解。但小波變換只針對低頻信號進行分解，而忽略了高頻信號，對信號造成了不良影響，所以小波包分解正是為解決傳統小波分解所具有的此類缺點，對信號的高頻區域進一步分解，是小波分解的拓展和延伸[10-11]。

小波包變換公式如下所示：

其中：φ（x）、ψ（x）為函數空間L（R）上的尺度函數與小波函數;h、g為濾波器系數。

小波包基是從該小波包中提取的能構成L（R）的規范正交基，小波包基有無數個，所以確定最佳小波包基對WPT有重要意義[12]。

2蟻群算法

蟻群算法是Dorigo模仿自然界中蟻群行為提出的一種隨機算法，具有簡單、高效、并行性強等特點，目前在智能算法領域運用很廣泛[13-15]。ACO的基本流程如下：在t時刻，螞蟻處于隨機結點，隨后螞蟻不斷進行節點轉移，直到經過的節點數t=t時停止，假設螞蟻目前處于節點i，則從節點i移動到節點j的概率為P：

3小波包基擇優方法

3.1代價函數的選取

由于存在無數種分解小波包的方法，所以就有無數種小波包基可以組成L2（R），由此看來，所謂小波包基擇優，指的是在小波包分解層數確定時，憑借某種“擇優標準”，根據實際需要，選取一個滿足這個標準的最優基。一般來說，通過定義一個代價函數來表征“擇優標準”并利用求解代價函數的最小值來尋找最優基是可行的[17]。

3.2小波包基的選擇

BBS算法采用一種由二類節點確定一類節點的自下而上的二叉樹分解結構，利用代價函數確定節點類型，并設一類節點為二叉樹的終端節點，子節點由二類節點確定。按照傳統BBS算法，小波包基的選擇是基于熵的，當采集到的微弱故障信號中故障信號與噪聲信號的不確定性較低時，信號經小波包處理之后的SNR較低，且容易丟失有效信號，并且由于BBS算法中的最末層節點數為2k個，故終端節點數不容易確定。將B-M風險函數替代熵進行小波包基的選取，同時對終端節點的選取做進一步的規定，可有效提高小波包基選取方法的性能和信號的SNR且盡可能多的保留有效信號。

利用B-M風險函數作為代價函數，并利用全分解結構的小波包對其進行訓練。因代價函數具有可加性，所以規定：

將一類節點的坐標納入尋優庫中，由于不同的分解層數k會導致一類節點的數量不同，合理的選擇分解層數k和終端節點G對小波包基的選取起到至關重要的作用。所以引入蟻群算法，對分解層數k以及終端節點的坐標（k，j）進行尋優。由終端節點和分解層數確定小波包基之后，對信號分解得到對應的小波包系數，將B-M風險函數作為優化目標函數。

由于ACO具有很強的全局搜索能力和良好的搜索并行性，所以很適合處理類似全局優化的問題。蟻群算法優化步驟如下：

Step1：確定變量的尋優區間。

對于一類節點的坐標（k，j）而言，根據規定1）、2）、3）進行確定，尋優限制條件為終端節點坐標集合D內元素個數等于一類節點數。

對于分解層數k，可利用有用信號的最小頻率來大致確定其取值范圍[19]。

小波分解的尺度與頻率的關系可以表示為：f=ff/j，其中f為尺度j對應的偽頻率，f為采樣頻率，f為小波中心頻率。

有用信號的頻率f應全部包含在偽頻率中，即：

并結合實際數據確定分解層數的取值范圍。

Step2：初始化蟻群系統。

設定蟻群系統的各個參數：如系數α、β、ρ及常數Q，螞蟻的數量m，信息素初始值τ，最大迭代次數，根據尋優區間隨機確定螞蟻的初始城市位置r（集合D，分解層數k時的風險函數值）。

Step3：根據式（2）計算螞蟻從城市i移動到城市j的概率，其中η（i，j）取差值r-r。

Step4：由式（3），式（4），式（5）對信息素濃度進行更新。其中L為目標函數變化量。

Step5：不斷進行循環，直到所有螞蟻收斂同一路徑或者迭代次數達到最大為止，輸出最佳集合D及最佳分解層數k，并根據式（6）得到最優小波包基。

4實驗驗證

仿真數據選用6205-RS號軸承內圈故障振動數據，軸承轉速為1750r/min，采樣頻率設為12kHz，選取內圈故障，故障點直徑為0.28mm，由參數可計算出內圈故障特征頻率f=160Hz。根據式（9）確定k的取值范圍為k∈[3，6]，圖1為原始信號圖，表1為蟻群算法參數設置。

4.12種終端節點選取方法的對比

針對終端節點坐標集合D與分解層數k進行尋優，二者之間存在相互影響，對于這樣的多目標優化算法，采用IGD指標來評價算法的綜合性能，該指標通過計算算法獲取的個體集合到每個在真實Pareto前沿面上的個體之間的最小距離和，來評價算法的收斂性能和分布性能。計算公式如下所示[20]：

式中：d（v，P）是點v到集合P之間的距離，D（P*，P）越小，算法的綜合性能越強。

將BBS算法與本文算法分別用ACO-IGD算法進行測試，ACO參數如表1所示，測試次數為50次，可分別得到50個非占優面，表2為2種方法在螞蟻數m=100及螞蟻數m=200時的非占優面的IGD均值、標準差以及運算時間均值的對比，圖2為BBS算法與本文算法的平均IGD迭代演化曲線，圖3為50次測試最佳IGD非占優面分布圖。

由圖2可以看出，BBS算法曲線在迭代350次之后逐漸趨于平穩，而本文算法在迭代200次后趨于平穩，并且在迭代次數到達150次之前，本文算法的曲線斜率明顯大于BBS算法，綜合來看，本文所提算法在收斂性上優于BBS算法。

由圖3可知，本文算法的非占優面均優于BBS算法得到的非占優面，說明本文算法的分布性能較好。

由表2可以看出，在m=100及m=200時本文算法在非占優面的IGD均值和標準差都小于BBS算法。

綜上，本文算法在收斂性與分布性等綜合性能上優于BBS算法，通過計算得出，相比于BBS算法改進了12.5%，但在運算時間上BBS算法較快于本文算法，原因主要在于本文算法增加了終端節點的判定步驟。

4.2算法在滾動軸承故障信號降噪方面的性能對比

根據3.2中所述的規定1）～4）以及step1～5可以得到如圖4所示的尋優結果。

由圖中可以看出，分解層數k=4，終端節點坐標集合D編號為3時，目標函數值最小，根據式（6）可知，最優小波包基在此處取得，這時的小波包降噪效果最好。其中，編號為3的集合為D：

最優基結構如圖5（a）所示，圖5（b）為分解層數k=4時BBS算法得到的最優基結構。

從圖6可以看出，BBS算法在160Hz頻率下的故障特征并不明顯，且信號毛刺較多，降噪效果一般;本文算法在160Hz下有明顯的故障特征，信號平滑，降噪效果好。

利用SNR和RMSE值表征降噪效果，可反映出本文方法相比于BBS算法的優勢。表3為利用本文方法以及BBS算法進行小波包基擇優后的小波包降噪信號SNR和RMSE值對比。其中SNR的計算公式為：

從表3可以看出，本文算法相較于BBS算法，RMSE更低，SNR更高，說明新方法能更好的保留原始信號特征，降噪效果更明顯，進而反映出本文方法對于小波包基優選的優越性和有效性。

5結論

BBS算法在處理微弱故障信號時易丟失有效信號，并且隨著分解層數的改變，最末端節點數難以確定且終端節點的選取存在隨機性。本文針對BBS算法的不足，做了以下改進：

1）利用B-M風險函數作為代價函數進行小波包基的選取，能夠在改善SNR與保留原始信號能量之間適當權衡。

2）將分解層數與終端節點的選取相關聯，確定優化目標，并提出一種終端節點的選取方法，引入蟻群算法來對優化目標尋優，找出最優分解層數與最優終端節點坐標集合。

通過IGD指標表明本文算法在綜合性能上優于BBS算法，通過降噪FFT結果圖與SNR、RMSE對比表看出本文算法在降噪性能方面也優于BBS算法，說明本文所提算法是有效的。

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（編輯：溫澤宇）