一元線性回歸分析方法在壓力傳感器數據擬合中的應用

李久龍，李玲，劉瑞敏，孫旭，薛煒，許騰，楊懿

（北京航天試驗技術研究所，北京 100074）

0 引言

在工程實踐中，傳感器測量技術是獲取測量數據的重要手段，其測量方式大致可分為線性測量和非線性測量兩種［1］。對測量數據進行分析，多采用一元、多元線性回歸分析等方法建立測量數據與物理量值之間的關系［2-4］。

壓力傳感器測量技術多采用線性測量的方式。線性測量具有操作簡單、測量準確度高等特點，因而在工程中應用非常廣泛。在進行參數測量前，需要將壓力傳感器送計量檢定機構進行檢定，以獲取輸入壓力值與輸出電壓值之間對應的函數關系。

在計量檢定中，通常根據壓力傳感器的量程設定多個壓力參考點，通過標準活塞壓力計輸出對應壓力點的標準壓力值獲取對應的電壓/電流信號，再通過數學方法擬合壓力值（MPa）與電壓值/電流（mV/mA）之間的數學關系。在工程應用中，通常采用線性回歸分析方法擬合因變量與自變量之間的函數關系。多位研究人員對線性回歸方法在生產實踐中的應用進行了深入研究。

鄭錦秀［5］分析了電力系統(tǒng)測試中溫度對大電流分流器測量的影響，采用一元線性回歸方程擬合了大電流分流器阻值和溫度的線性回歸方程，通過顯著性檢驗、相關系數等方法驗證了回歸方程的合理性。

許莉莉［6］針對一元線性回歸方法中自變量在進行正交變換過程中會影響運算結果的缺陷，借鑒動力學中轉動慣量的對稱性質，提出了以轉動慣量為基礎的線性回歸分析方法。通過仿真實驗和回歸實例證明了該方法比傳統(tǒng)一元線性回歸準確度更高、穩(wěn)定性更好。但是該方法在應用過程中需要獲取對稱觀測值，即獲取平面上任意樣本點相對于平面內直線y=kx+b的轉動慣量，不適用于壓力傳感器輸出數據的分析。

宮凱勛等人［7］針對傳統(tǒng)壓阻式壓力傳感器仿真設計中，壓敏電阻應力值的垂直變化以及非線性影響設計精度的問題，提出了多元線性回歸法對Z坐標下的X，Y坐標與應力值之間的關系式進行多次擬合，獲取壓敏電阻的整體平均應力值，有效提高了傳感器的設計精度。

王惠文等人［8］針對傳統(tǒng)線性回歸方法中采用局部信息替代全部信息，無法充分有效利用原始數據信息的缺陷，將符號數據表的全部信息作為分析基礎，建立了正態(tài)分布型數據矩陣模型和數字特征。通過仿真實驗，驗證了該方法的優(yōu)越性。但是該方法在使用過程中僅僅針對正態(tài)分布型數據，在推廣應用中具有一定的局限性。

劉軍等人［9］采用最小二乘法對不同溫度下超聲波熱量的時差和流量數據進行擬合。通過軟件仿真得到不同溫度下的時差、溫度與流量的關系。通過對比分析試驗，證明了最小二乘法擬合方法較傳統(tǒng)的擬合方法具有擬合精度穩(wěn)定、誤差小的特點。

王海峰等人［10］分析了沖擊波超壓測量數據處理流程，采用自適應濾波的方法消除測量數據中的噪聲，以階躍波形為準則完成測量數據的有效性檢驗，根據不同距離傳感器數據擬合多項式曲線，數據有效性驗證證明了該數據處理方法實現了沖擊波超壓測量數據的自動化處理，提高了數據處理的效率和準確度。

趙彥凱等人［11］綜合比較了普通最小二乘法和整體最小二乘法在電子測壓器動態(tài)校準過程中數據擬合中的差異，建立了兩種方法的回歸模型，推導了整體最小二乘法的演算過程，從模型、參數估計和精度評定等方面對比分析了兩種方法的優(yōu)缺點，并指明了兩種方法在電子測壓器動態(tài)校準過程中數據擬合中的應用范圍。

許浩源等人［12］采用微壓力傳感器測量聲表面波的壓力數據，利用最小二乘法建立數學模型，分析、擬合所測頻率值與對應的載荷力之間的關系。通過構建BP 神經網絡模型，訓練已采集的數據樣本，預測壓力傳感器的輸入與輸出之間的關系。遺傳算法對BP 神經網絡優(yōu)化結果顯示該方法能有效減少誤差。

結合壓力傳感器測量技術的特點、輸出數據的特征和工程應用的實際情況，本文分析了壓力傳感器檢定數據的特征，采用一元線性回歸分析方法擬合壓力值（MPa）與電壓值（mV）之間的數學關系，并對擬合的結果進行分析。該方法對計量檢定人員研究檢定數據擬合方法具有重要的參考價值。

1 壓力傳感器檢定系統(tǒng)和檢定數據結構

1.1 檢定系統(tǒng)

本研究的數據來源于國防三級計量標準——0.02 級活塞壓力計量檢定裝置。壓力傳感器檢定系統(tǒng)由0.02級活塞壓力計（含砝碼）、精密直流穩(wěn)壓電源、數字多用表、計算機等設備組成［13］。

壓力傳感器檢定系統(tǒng)組成如圖1所示。

系統(tǒng)組成設備的功能：活塞壓力計和專用砝碼為被檢壓力傳感器加載標準壓力。精密直流穩(wěn)壓電源為被檢壓力傳感器提供激勵電壓。數字多用表采集壓力傳感器輸出的毫伏級電壓信號，其輸出端通過RS-232 串口與采集計算機實現通訊。計算機完成數據的采集、存儲、分析和處理。

1.2 檢定數據結構

選取1 支YB-1 型號的壓力傳感器，其量程為12 MPa，編號為H0608，最大綜合基本誤差為0.1%。依照相應檢定規(guī)程［14］進行檢定。檢定過程分為三個進-回程。活塞壓力計從0，2，4，6，8，10，12 MPa 七個點加載標準壓力稱之為進程，從12，10，8，6，4，2，0 MPa 的卸壓過程稱之為回程。整個檢定過程分為進程1、回程1、進程2、回程2、進程3 和回程3，檢定數據如表1所示。

表1 H0608壓力傳感器檢定數據表Tab.1 H0608 pressure sensor verification data sheet

2 檢定數據分析

2.1 傳感器輸出電壓值與標準壓力值的特征分析

根據表1 的檢定數據，以進程1 的數據為例進行畫圖分析，壓力值與電壓值散點圖如圖2 所示。觀察標準壓力值與電壓值之間對應關系可知，二者基本呈線性關系。

圖2 進程1傳感器壓力值與輸出電壓值數據散點圖Fig.2 Scatter diagram of pressure and output voltage data of sensor in process 1

2.2 正態(tài)性檢驗

假定壓力傳感器電壓輸出的觀測值來自正態(tài)分布總體的簡單隨機樣本，對所觀測值進行正態(tài)性檢驗，繪制變量的正態(tài)概率圖。以進程1的數據為例，運用Origin 軟件對檢定數據進行正態(tài)檢驗。檢驗結果如圖3所示。

圖3 進程1的正態(tài)性檢驗圖Fig.3 Normality test chart of process 1

采用相同的方法對其他進-回程的數據進行正態(tài)檢驗分析可知，3個進-回程壓力傳感器電壓輸出值均服從正態(tài)分布。

2.3 方差分析

由于壓力傳感器的電壓輸出值僅與所加載標準壓力值相關，故采用單因素方差分析法對數據的方差進行分析。單因素方差分析只考慮一個因素對觀測數據的影響效應。

其基本原理［15］為：在水平Aj（j= 1，2，…，6）下，進行j次獨立試驗。假定各個水平Aj（j=1，2，…，6）下的樣本來自具有相同方差σ2，均值分別為μj（j= 1，2，…，6）。μj和σ2未知，且在不同水平下樣本之間相互獨立。設每次采集的數據為Xij，Xij～N(μj，σ2)， 即 有(Xij-μj)～N(0，σ2)。 將(Xij-μj)看作隨機誤差，記Xij-μj=εij，則可建立單因素試驗方差分析的數學模型。

1）單因素試驗方差分析的數學模型

單因素試驗方差分析的數學模型條件：①Xij=μj+εij，i=1，2，…，n，j=1，2，…，s；②εij～N(0，σ2)，各εij獨立；

假設所檢驗的數據符合數學模型的條件①～③，則需要檢驗s個總體N(μ1，σ2)，…，N(μs，σ2)的均值是否相等，即檢驗假設（α=設定值，α為觀測 值 的 附 加 效 應 ， 即 誤 差 。） ：H0：μ1=μ2= …=μs，H1：μ1，μ2，…，μs不全相等。

設μj的加權平均值1，2，…，s。其中，δj為水平Aj下的總體評價值與總平均的差異。此時有n1δ1+n2δ2+ …+nsδs= 0。

在實際運用中可按照表2中的方差來源進行方差分析。

表2 單因素試驗方差法分析表Tab.2 Variance analysis table of one-way test

SA（Aj水平下樣本均值與數據總平均的差異），SE（誤差的平方和），ST（總偏差的平方和）的具體計算定義如式（1）～式（4）所示。

式中：SA為Aj水平下樣本均值與數據總平均的差異；SE為誤差的平方和；ST為總偏差的平方和；Xij為每次采集的數據；j為試驗次數；s為檢驗總體個數；為Aj水平下的樣本均值，。

2）效應檢驗

在實際的檢定過程中，每一個進-回程分別對應0～12 MPa 量程內7 個采樣點，總計形成6×7=42個數據。受篇幅所限，選取2 MPa壓力點的數據作為效應檢驗對象。在標準活塞壓力計加載2 MPa壓力時，對應每一個進-回程采樣點，在較短時間內連續(xù)快速采集3次數據，詳細數據如表3所示。

表3 2 MPa壓力點壓力傳感器連續(xù)采集3次數據表Tab.3 Data sheet of 3 times consecutive acquisition by pressure sensor at 2 MPa

假設加載壓力值對電壓輸出的影響效應分別為μ1（進程1），μ2（回程1），μ3（進程2），μ4（回程2），μ5（進程3），μ6（回程3）。數據符合數學模型的條件，檢驗假設（α= 0.05）［16］：

H0：μ1=μ2=μ3=μ4=μ5=μ6（進-回程對電壓輸出值沒有顯著影響）；

H1：μ1，μ2，μ3，μ4，μ5，μ6不全相等（進-回程對電壓輸出值有顯著影響）。

根據式（1）～式（5）對表4中數據進行計算，設Xij為 每 次 采 集 的 電 壓 值。s=6，j=3，n=s×j=18。計算結果見表4。

表4 2 MPa壓力點電壓輸出數據方差計算表Tab.4 Variance calculation of output voltage data at 2 MPa

根據式（2） ～式（4） 可得ST=0.00043584；SA=0.00043545；SE=ST-SA=0.00000039。ST，SA，SE的自由度依次為17，5，12，方差分析見表5。

表5 2 MPa壓力傳感器輸出電壓方差分析表Tab.5 Variance analysis of output voltage of pressure sensor at 2 MPa

F0.05(5，12) =3.11<2702.8，故 在水 平0.05 下拒絕H0，認為在加載2 MPa 標準壓力下，在不同進-回程中，壓力傳感器的輸出電壓有顯著的差異。

3 一元線性回歸分析

一元線性回歸分析主要用于研究單個因變量和自變量之間的線性關系，其重點是考察一個特定因變量，將自變量看作影響這一變量的因素，通過建立適當的數學模型將變量之間的關系合理、準確地表達出來，進而通過自變量的取值來預測因變量的取值。因此，在實際應用中，需要針對選定的數據，分析因變量與自變量之間的關系，通過建立回歸模型，并分析該模型的誤差，以實現對自變量與因變量之間關系的準確描述。

由圖2的分析可知，觀測點基本分布在一條直線周圍，壓力值增加，其電壓輸出值隨之增加，電壓值與壓力值呈線性相關關系，因此可以對其進行一元線性回歸分析。

3.1 相關系數計算

選取表1 中回程1 的數據計算相關系數r。計算結果為

相關系數r=1表明加載壓力值與輸出電壓值之間是完全正線性相關關系。

3.2 一元線性回歸模型

設壓力值y關于電壓值x的回歸函數為μ(x)，利用樣本來估計μ(x)。假設對于電壓值x（在某個區(qū)間內）的每一個值都有

式中：a，b，σ2為不依賴于x的未知參數。記ε=y-(a+bx)，對壓力值y作正態(tài)假設，其一元回歸模型為y=a+bx+ε，ε～N(0，σ2)。

根據正規(guī)方程組［17］

有唯一解，求解得到a，b的最大似然估計值a?，分別為

對于給定的x，取a?+b?x作為回歸函數μ(x) =a+bx的估計，即μ(x) =a?+b?x。a?，b?由式（10）～式（14）計算。

驀然，程曉覺得，自己擁有這輛凱迪拉克后，沒有真正成為身份的象征，日子過得如此辛酸，并不是買凱迪拉克買得不切實際，而是用錯了地方！無論在公司里當技術員，還是當管理者，凱迪拉克都只是一件奢侈的消費品；但換一個地方，比如這個小老板談業(yè)務時，別人不知他的出身背景，凱迪拉克就恰到好處地為他臉上貼了一層金，讓人不敢小窺他，而與他合作。這時的凱迪拉克，就成了他與人叫板的砝碼，買凱迪拉克就變成了一種投資，投資能獲取效益，與消費是兩個概念。由此，程曉對凱迪拉克的認識發(fā)生了質變，他的生活發(fā)生了質的飛越！

以進程1 的7 個采樣點數據為例進行分析計算，詳細數據見表6。

表6 壓力傳感器進程1檢定數據表Tab.6 Verification data of pressure sensor in process 1

根據式（10）～式（14）計算，結果為

故得到

得到回歸直線方程為

按照同樣的方法分別計算回程1、進程2、回程2，進程3和回程3的回歸直線方程，截距a和斜率b的估計值的計算結果如表7所示。

表7 壓力傳感器檢定數據擬合回歸系數表Tab.7 Fitting regression coefficient of pressure sensor verification data

3.3 一元線性回歸模型的擬合優(yōu)度計算

總變差（SST）可分解為回歸平方和（SSR）和與殘差平方和（SSE）的加總。即

回歸平方和（SSR）與總變差（SST）的比例稱為決定系數，計算公式為

以回程2的數據為例，進行一元線性回歸模型的擬合優(yōu)度計算，數據計算結果為

估計標準誤差是殘差的平方和的均方根，用se表示，計算公式為

從估計標準誤差se=0.001752 可知，觀測值與回歸估計值之間的差異程度非常小。從一元線性回歸方程的擬合優(yōu)度值R2= 0.999999 可知，回歸直線與各觀測點幾乎重合，該回歸直線是擬合數據較為理想的擬合直線。

3.4 一元線性回歸模型線性關系檢驗

在建立回歸模型之前，假定壓力傳感器所測壓力值和輸出電壓值之間是線性關系，但是該假定是否成立需要進行檢驗。上一節(jié)擬合了一元線性回歸方程，求出了系數。為了檢驗x，y之間關系的顯著性，采取數理統(tǒng)計方法進行驗證。將回歸平方（SSR）除以與殘差平方和（SSE）的結果稱為回歸均方，記為MSR，SSE除以相應自由度的結果稱為殘差均方，記為MSE［15］。提出假設

H0：b= 0（x，y之間的線性關系不顯著）

H1：b≠0（x，y之間的線性關系顯著）

若假設H0：b= 0（x，y之間的線性關系不顯著）成立，的值應接近1。若原假設不成立，則的值趨近無窮大。

以回程2 的數據為例，計算結果為SSR=111.999985，SSE=0.001752，319559.556751，遠大于1。因此，假設H0不成立，拒絕H0，即x，y之間的線性關系顯著。

3.5 一元線性回歸模型回歸系數檢驗

回歸系數檢驗的目的是檢驗自變量對因變量的影響是否顯著。統(tǒng)計學中通常采用t檢驗法檢驗自變量對因變量的影響的顯著性［13］。在一元線性回歸中，由于自變量只有一個，故回歸系數的檢驗等價于線性關系的檢驗。檢驗假設為

H0：b= 0（自變量x對因變量y的影響不顯著）

H1：b≠0（自變量x對因變量y的影響顯著）

引入標準差估計量sb?

當H0為真，即b= 0時設α為顯著水平，得到H0的拒絕域|t|為

以回程2的數據為例，計算結果為

查表得

同理，可以運用相同方法對其他數據進行顯著性檢驗分析。

3.6 一元線性回歸模型的殘差分析

在一元回歸模型y=a+bx+ε中，假定ε是期望值為0，方差相等且服從正態(tài)分布的一個獨立隨機變量［15］。但若此假定不成立，則所做檢驗以及預測則均不準確。因此，需要對ε進行殘差分析。因變量的觀測值yi與根據估計的回歸方程求出的預測值之差即為殘差。第i個觀測值的殘差數學定義為

3.6.1 殘差圖檢驗

可通過殘差圖來分析檢驗誤差項ε的假設是否成立。通過一元線性回歸公式（17）計算表1 中7個進、回程傳感器輸出電壓值的殘差，數據的殘差圖如圖4所示。

圖4 檢定數據殘差圖Fig.4 Residual diagram of verification data

根據圖4可知，各殘差基本位于一條水平帶中間，基本無固定模式，表明在壓力傳感器壓力值與電壓輸出值的一元線性回歸中，線性的假定以及對ε的假定是成立的。

3.6.2 正態(tài)性檢驗

通過標準化殘差分析對ε正態(tài)假定進行檢驗。標準化殘差用ze表示，第i個觀測值的標準化殘差定義［13］為

若關于ε正態(tài)假定成立，則標準化殘差的分布也服從正態(tài)分布，且大約有95%的標準化殘差落在-2～+2區(qū)間。

計算表1中各數據點的標準化殘差，計算數據如表8所示。

表8 壓力傳感器檢定數據標準化殘差表Tab.8 Standardized residual of pressure sensor verifi?cation data

從表8中標準化殘差的計算結果可知，標準化殘差均分布在-2～+2 區(qū)間內，表明關于ε服從正態(tài)分布的假定成立。

通過本章節(jié)的分析可知，一元線性回歸分析的主要步驟：

1）確定變量之間的關系

可采用散點圖，計算、檢驗相關系數的方法確定自變量與因變量之間的關系。

2）建立一元線性回歸模型

一般采用最小二乘法確定回歸方程及其系數。

3）一元線性回歸模型的擬合優(yōu)度計算

一般選用決定系數作為擬合優(yōu)度的重要統(tǒng)計量。

4）一元線性回歸模型線性關系和系數檢驗

采用數理統(tǒng)計F檢驗和t檢驗方法驗證線性關系和系數的顯著性。

5）一元線性回歸模型的殘差分析

采用殘差圖檢驗和正態(tài)性檢驗的方法驗證殘差ε正態(tài)假定是否成立。

4 總結

從壓力傳感器的實際應用出發(fā)，分析了壓力傳感器計量檢定數據的特征，采用一元線性回歸分析方法擬合壓力傳感器檢定數據，建立輸出值（mV）和加載標準壓力值（MPa）之間的數學函數關系。通過正態(tài)檢驗、方差分析、回歸模型擬合優(yōu)度分析、模型線性關系分析、回歸系數和模型殘差分析等方法驗證了一元線性回歸分析方法能夠應用于壓力傳感器檢定數據的擬合工作中。對業(yè)內計量檢定人員擬合檢定數據具有重要的參考價值。