基于MATLAB的前方交會測量在圓曲線主點測設中的應用研究

張 培

(甘肅省慶陽林業學校，甘肅 慶陽 745000)

0 引言

圓曲線主點測設的常規方法是：主點里程計算與測設同時進行，線路的交點里程由丈量得出，主點里程根據交點里程推算，而主點的測設，由交點樁沿后視方向，量取切線長度，得出曲線起點的位置，由交點樁沿前視方向，量取切線的長度，得出曲線終點的位置，由交點樁沿分角線方向量外距，得到曲線中點的位置，分別把標好樁號的木樁打入相應的位置上。由此可見，主點測設的方法中，距離的丈量和測設的關鍵就是交點位置的確定，但這種方法并不能檢核交點的坐標精度，并且數據運算量少。僅能適用于曲線長度小于40 m、地形起伏不大、不需要進行詳細測設的圓曲線。

而基于MATLAB的前方交會測量方法，直接測出多個主點的坐標值，特別是對于交點的坐標，可以利用交點落在圖形對稱軸上的特點，由對稱軸兩側的主點推算位于對稱軸上的交點坐標值，同一個交點的2組坐標值可以相互檢核，只要其精度在點位移e點要求的范圍內，就可作為符合工程要求的主點。

1 原理要點與工程意義概述

在道路測量中，曲線道路主點測設的幾何模型與交會測量的數學模型類似，因此將求圓曲線道路主點的坐標問題，轉化為求交會測量中點(交點)的坐標問題，為此可用前方交會測量方法得出圓曲線主點(交點)坐標，其坐標的精度可用前方交會測量的點位移e點判斷，該值不大于測圖比例尺的2倍為宜。

道路曲線主點坐標精度的提高，對實際工程而言意義重大。一方面主點測設坐標的精度提高對長距離曲線，進行詳細測設的精度提高有很大的幫助；另一方面，在公路或者鐵路上，高速行駛的汽車或者火車等，從平面直線路段駛入曲線路段或者由曲線路段駛向直線路段的過程中，在曲線與直線的交匯處，離心力的變化比較大，對交通工具舒適和安全都會產生影響。為了使離心力漸變符合交通工具的軌跡，設置一段曲率半徑漸變的曲線在直線和圓曲線之間，有非常重要的工程意義。

1.1 圓曲線道路的基本模型

圓曲線的道路模型圖如圖1所示，線路改變方向的點在轉折點JD處(此點稱為交點)，即α為轉折角，半徑為R的圓曲線為構架的圓的半徑，圓曲線的第一個關鍵點是起點，此點稱為直圓點ZY，圓曲線的第二個關鍵點是中點QZ，圓曲線的第三個關鍵點是終點，此點稱為圓直點YZ，這3個點稱為圓曲線的主放樣點，它們的精確性直接關系到曲線的平滑性。

圖1 圓曲線主點元素

通過研究圓曲線道路圖形的模型特點發現其與交會測量的模型圖類似，因此關于求解圓曲線道路中線點坐標的問題，可以轉化為前方交會和后方交會的坐標求解問題。

1.2 前方交會測量原理

控制點A、B的坐標已知，在其上分別安置儀器，由此觀測得到水平角α和β，然后由相關的公式計算待定點P的坐標，稱這種方法為前方交會。

在三角形中，未測定的第三個內角γ，可以由三角形的內角和公式計算得到，即

γ=180°-(α+β)

許多同學認為,和都是H3PO4電離后產生的離子,而且都帶負電荷,應該是可以大量共存的。事實上,由于電離出H+的程度大于其水解的程度,使溶液呈現酸性,而在溶液中只能水解結合H+,使溶液呈現堿性,一個呈酸性的離子和一個呈堿性的離子是不能大量共存的,兩種離子相遇后,它們之間會發生H+的傳遞,而最終形成,反應的離子方程式如下:

(1)

然后應用余切公式：

(2)

為了保證交會點的精度，交會角γ應在30°～150°。為了檢核精度，進行角度觀測時，通常由A、B、C 3個坐標已知的點分別向P點進行，如圖2所示，即在3個已知點上觀測了2組α1、β1和α2、β2。

圖2 三點前方交會

(3)

點位移為：

(4)

規范規定，當位移不大于精度的2倍，即

式中，M為實際測圖的比例尺的分母。

取平均值作為p的最后坐標：

(5)

1.3 待求點p坐標的精度指標可作為圓曲線主點測設指標的原因

待求點p是左右兩部分的交匯點，當施工作業從兩段開始進行時，中間點能夠交會在一起成為判斷曲線道路平滑性指標的關鍵因素。

從上述理論分析可知，將圓曲線分為左右兩個部分，然后把這兩部分轉為2個三角形，最后劃歸為求同一個交點坐標的問題，只要坐標的誤差的指標在允許的范圍之內，就可以達到精度的要求。

1.4 前方交會測量MATLAB程序實現的主要代碼

前方交會測量法是在單三角形法的基礎上，由2個相鄰的三角形的鄰邊推算待求點的坐標，該代碼的實現方法是以2個對稱的三角形為例，對公式(2)余切公式運用了代碼實現。

Function[x，y]=QFJH(x1，y1，α，x2，y2，β)

%%前方交會

α=dms_rad(α)；

(內角α)

β=dms_rad(β)；

(內角β)

x=x1.*cot(β)+x2.*cot(α)+(y2-y1)；

(余切公式計算x坐標的分子)

x=x./(cot(β)+cot(α))；

(余切公式計算x坐標的分母)

y=y1.*cot(β)+y2.*cot(α)；

(余切公式計算y坐標的分子)

y=y./(cot(β)+cot(α))；

(余切公式計算y坐標的分母)

2 工程案例驗證與分析

前方交會的案例驗證與分析如表1所示，前方交會測量數據處理的方法是，求解2個對稱三角形位于對稱軸上的交點的坐標，兩次運用了余切公式，得出同一個點的2組坐標值。這2組坐標值的平方之和的根式的值，在e點要求的范圍之內，即該值不大于測圖比例尺的2倍。故可以得出該方法得到的坐標精度滿足要求，驗證了該方法運用于圓曲線道路的主點坐標求解的可行性。

表1 前方交會的案例驗證與分析

3 結論

1)基于MATLAB的前方交會測量在圓曲線主點測設中的應用，使距離丈量和主點測設中起關鍵作用的交點坐標，其精度的判斷有了明確的指標。需要明確的是曲線長度小于40 m、地形起伏不大、不需要進行圓曲線的詳細測設，這時主點坐標的精度非常重要。

2)初步嘗試使用MATLAB軟件，提高了該軟件解決工程實際問題的能力，進一步拓寬了處理工程測量數據和圖形的工程軟件。

3)該方法可適當推廣，為進一步判斷圓曲線道路在高差上的和緩性打下基礎，可以考慮應用三角高程控制測量的方法，探究出判斷圓曲線道路關鍵點坐標的精度。