中考數學試題中的應用性問題與解題技巧的研究

◎王 艷 哈建民 張曉琴

(甘肅省嘉峪關市明珠學校，甘肅 嘉峪關 735100)

如何有效培養學生的數學應用意識一直都是學術界探討的熱點話題.近些年來，在全國各地的中考試卷中，應用性問題所占的比例不斷提升，并出現了信息類、環保類、建模類、學科綜合類等眾多新型應用題.而對于多數學生而言，應用性問題的解答是存在一定難點和困難的.為此，在今后的教學中，教師應不斷對應用性問題解題技巧的教學做出更加深入的研究與探索.

一、中考數學試題中的應用性問題分析

數學問題從內含上可以劃分為純數學問題和實際問題兩部分.其中純數學問題以對數學概念、公式和方法的形式化數學語言表達為主，而實際問題則是把實際背景簡化為純數學問題，因此又被稱為應用性數學問題.近些年，應用性問題成為中考數學考查的熱點，主要的考查內容包括“數與代數”“概率與統計”“圖形與幾何”“綜合與實踐”幾個方面，同時在考試題型分布方面，多以解答題的形式出現，且所占分值比例較高，大多在10分以上.為使學生在這類題目上不失分、少失分，教師一定要緊緊把握中考動向，強化培養學生的應用性問題解題技巧.本文對中考數學應用性問題的特征做出了以下幾個方面的分析：首先，熱點聚焦.中考數學應用性問題常考的熱點聚焦就是利率問題(單利問題、復利問題)、工程問題、銷售問題等，需要學生在掌握數學概念公式的基礎上具備一定的生活常識，以此高效解題.其次，難點分析.根據中考應用性問題的構成要素，學生在解題的過程中會遇到背景、運算、推理、知識點數及干擾條件五個難度因素，因此，在培養學生解題技巧的過程中，教師應立足于這五個難度因素有針對性地帶領學生進行應用性問題解題練習.

二、中考數學試題中應用性問題解題技巧的研究

(一)立足教材，帶領學生進行專題訓練

教材是課程教學的依據.在培養學生應用性問題解題技巧的教學中，教師應該關注對教科書的有效運用，通過充分挖掘教材中的應用性問題，促使學生的應用題解題能力得到更好的提升.如教師應該對教材中應用性問題所涉及的運算、推理、知識點數及干擾條件的難度因素進行全面的分析，對其中難度系數比較高的應用性問題進行重點講解.如人教版教材中的應用性問題主要由“數與代數”“概率與統計”“圖形與幾何”“綜合與實踐”四部分組成，教師可以依照不同模塊，帶領學生進行專題訓練.同時，在每個專題訓練中，教師應該預先做好教案，對導入部分、例題部分及習題部分進行深入、科學的設計研究，確保問題的難度不同，符合不同學生的發展需求.下面以“數與代數”的應用性問題訓練為例，“數與代數”是初中數學的基礎性教學內容，同時是學生解決其他模塊應用性問題的基礎.整個初中階段，“數與代數”問題包括方程、函數、不等式、分數、比和比例等，教師在帶領學生進行模塊專項訓練時，可選擇應用性問題的導入方式，讓學生形成認知沖突.而在具體的例題和習題教學環節，教師可以將培養學生的應用意識和問題意識作為設計理念，多挑選一些與生活內容貼近的教材例題帶領學生進行訓練，讓學生在課堂上直接體驗知識的實際應用性，從而促使學生的應用性問題解題技巧得到更好的提升.此外，在訓練的過程中，教師要注意變式訓練，通過一題多變、一題多解的方式更好地拓展學生的思維，提升學生解決應用性問題的靈活性.為此，教師在帶領學生進行訓練時還可以增加一些變式題.在每一年的中考試題中，雖然題目的形式看起來很新穎，但是都在課程標準和考試大綱范圍內，故教師要利用變式訓練促使學生掌握以不變應萬變的應用性問題解題能力.

(二)加強心理指導，幫助學生克服解題障礙

數學應用性問題文字繁多、背景鮮活，對缺少生活經驗常識的初中生而言，解應用性問題是存在一定障礙和困難的.很多學生在面對復雜的數學變量關系時不知如何入手，久而久之，就會在心中對應用性問題建立“難題”印象，從而在解題的過程中產生畏難情緒，而這不利于學生的有效解題.大多數情況下，這些看似非常復雜和煩瑣的應用題，學生只要經過冷靜的分析，都能得到結果，但是一些學生只要看到應用題題干中大量的文字就會產生抵觸的心理.因此在今后的教學中，教師強化對學生的心理指導，幫助學生克服應用性解題心理障礙是十分必要的，具體可以從以下幾個方面入手.首先，教師在帶領學生解應用性問題時，不要反復地強調解題技巧和方式，而是要提醒學生在面對應用型問題時不要過于緊張，要像平時閱讀故事一樣去閱讀應用性問題材料，這樣的心理暗示可以幫助學生緩解自身的緊張情緒.其次，教師的講解一定要細心、耐心，在碰到題目中的一些專業性名詞時多花一些時間，同時用通俗的語言向學生解釋，這個過程也是進行題干翻譯的過程，從而引導學生將題干中的信息轉化為數量關系和解題條件.如在講解與“利率”有關的應用性問題時，教師要通過通俗的語言幫助學生明確何為“單利”、何為“復利”，從而確保學生對題目背景有明確的認識，然后根據題目所提供的材料明確每個條件與所求問題之間的關系，這樣的知識科普有助于幫助學生克服解題障礙.最后，教師要明確，只有學生理解了推理過程，教師的解題方法、技巧講解才能夠具有代入感.因此，教師在向學生講解應用性問題時，應從一些典型問題入手，幫助學生找準解決此類問題的關鍵，這樣學生再遇見類似問題時就不會感到緊張，從而可以用平穩的情緒去解數學應用性問題.

(三)重視閱讀能力開發和間接經驗傳授

應用性問題具有一定的復雜性，對題目的準確閱讀與理解是解題的關鍵，而學生對此缺少認知，因此，在教學過程中，教師應將閱讀能力開發和間接經驗傳授作為重點，這樣可以更好地提升學生的應用性問題解題能力.

第一，教會學生讀懂題目.應用性問題的最大特征就是文字敘述比較多，包括科學術語、生活常識等，同時帶有圖示和表格，各種信息之間相互干擾.而初中生的生活經驗和閱歷不豐富，因此容易對題意理解不透，無法讀懂題目，不知從何處下手解題.對于此，教師在教學過程中就應該從讀懂題目入手，培養學生的讀題技巧.如在閱讀應用性問題時，教師應先引導學生了解題目大意，并把題目中的關鍵詞和重點條件做上標記，然后加以分析和理解.同時，若是題目信息比較長，教師還可以引導學生采用濃縮主、謂、賓的方式進行閱讀，以此更好地突出題目的實質.此外，教師還要引導學生細心觀察，明確題目中出現的每一個概念及每一個條件所指的數學意義，并深挖題目中的隱藏條件，這樣才能夠使解題思路更加清晰.學生在讀題中若是沒有讀懂題意，可以進行反復閱讀，直到讀懂為止.下面以這樣的一個應用性問題為例：“某車間需要在12天內完成產品生產任務，已知產品生產成本價是800元，該車間平均每天能夠加工生產20個產品.為了加快速度，車間采用工人分批日夜加班、機械負荷運轉的方式提高生產效率，這樣第一天可以生產22個產品，以后每天比前一天多生產2個產品，但由于機器損耗嚴重，當每天的生產量達到30個時，當天每個產品的生成成本就會增加20元，假設生產產品的時間為x天，每天生產的產品數量為y，求x與y的函數關系式，以及自變量x的取值范圍.”在面對這樣一個應用性問題時，學生容易因閱讀文字較多而產生急躁心理，對于此，教師可以細心地引導學生仔細閱讀題目，并給出如下分析：①題目中涉及兩種生產方式，原計劃生產方式和實際生產方式，不同的生成方式，生產時間、生產數量、生產成本等條件有所變動；②要理解關鍵性字詞，如每天比前一天多生產2個產品，以及當每天的生產量達到30時，當天每個產品的生產成本就會增加20元.

第二，運用圖表整合數據.應用性數學問題的另一特征就是涉及的數量比較多、變量比較多、數量之間的關系隱秘而復雜.面對這些復雜的問題時，學生往往會感到無從入手，找不到解題的突破口.對此，教師可以引導學生從問題的整體出發，嘗試借助圖表的方式建立數學模型，以促使學生更好的解題.還是以上述工廠加工生產的問題為例，在解題過程中，教師可以帶領學生列出如下表格，這樣就可以使問題變得更加清晰.這是在應用性問題講解中，教師需要傳授給學生的經驗和方法.

生產時間(天)生產數量(個/天)生產成本(元/個)原計劃x20800實際情況xy=2x+20①800(x≤5)②800+20(y-30)(x>5)

(四)巧妙導入試題中的解題思路

很多學生把公式當成完成習題解答的重要思路，不會利用已知條件分析習題中的解題要求，導致最終得出的結論和要求的作答方向完全不同.比如“16000平方米用科學計數法怎么表示”這道習題，只需要完成數字加單位的表示即可，可有學生不理解什么是科學計數法，就對16000這個數字進行了以萬為單位的表示，并忘記在后面加上單位.而16000和1.6萬兩種數字表示形式在讀法和寫法上都不同，所表達出來的具體意思也就不同.16000平方米中的平方米，已經是用于修飾16000這個數字的單位，當用科學計算法進行表示時，需要把16000記為1.6×104，再加上單位“平方米”.教師需要讓學生看懂題目，根據已知條件完成有效作答，為他們普及先找到解題要求再導入概念或公式完成計算的解題思路.這樣，學生在完成習題作答后，還可將結論代入選擇題選項或習題材料中，分析結論和解題要求是否一致，并讓學生熟悉常見的思維陷阱，讓他們不要把未知條件當成解題的必需，而是利用所學知識和已知條件，觀察是否能夠直接或間接得到結論，防止學生把簡單的事情想得過于復雜，導致最終解題思路的錯誤.教師在批卷中可以發現學生對于數學學習的薄弱地方，而在數學學習中，不同的教學環節也有著典型的錯誤及重難點內容，故在試卷講評、課后習題講解過程中，教師可以以某個學生所出現的錯題為案例，在總結班級學生薄弱之處的基礎上，引導學生對數學的基礎知識、計算方法、數學思維等進行不斷的充實與優化.一元二次方程的求解是初中數學的基礎內容，而學生在求解時會存在解題時不細心的情況，課堂教學中，教師可以以某個學生的錯誤為典型案例，讓學生對個人的解題方式進行闡述，并要求班級學生共同找出這個學生答題的錯誤，通過班級內共同查找錯誤、共同分析錯誤原因、共同探究錯誤的方式，在共同的數學思維引導下，學生了解了解題方法，也不斷夯實了數學學習基礎.

(五)對易錯數學概念進行細致講解

不同學生在數學學習中有著不同的學習問題，而學生與學生之間的學習差異、體系構建差異也會在其習題解答、強化訓練中得以展示.因此，教師在對錯題進行講解時，要把握學生個性化的學習背景，在引導學生反思的過程中，使學生對自己的學習薄弱環節進行有針對性的優化.學生有時由于對概念不理解，會產生解題思路正確計算過程失誤的情況，如因式分解就是一個易錯點，也是學生難以理解的一個數學概念.因式分解的過程是把一個多項式化成幾個整式的積的過程，最終得到的可能是幾個單項式的積，也可能是一個數字.因最終結果是單項式的積的形式，所以因式分解過程中很少出現除法，即便學生使用了除法運算，也是將存在分數形式的多項式轉化為乘法運算的計算，而這個計算步驟可以使用乘法代替，因此，教師對這個概念的講解必須細致到每一個步驟，讓學生認識到數字計算不可能替代最終因式分解結論的基本情況，并針對不同的公式示范因式分解過程中分數形式的轉化，使學生能夠真正認識因式分解的運算法則.除此之外，實數根、中位數等概念也屬于中考試題中的易錯考點，需要教師結合解題要求進行細致講解.這些概念之所以易錯，是由于學生對其如何運用于解題不夠清晰，需要跟隨教師的思路進行具體的應用和重復記憶，才能夠牢固，從而形成對概念的理解和運用思路.據此，教師必須對試題中涉及的每個概念進行細致講解，幫助學生更好地認識和運用概念解題.

三、總 結

中考數學應用性問題始終是學生在學習過程中的重點與難點，教師應當有效把握中考數學中應用題型的變化與方向，以幫助學生更加從容地面對中考數學試題中的應用性問題.而從近些年的中考數學出題動向來看，應用性問題常是中考試卷的壓軸問題，所占分值較高，教師若想要使學生在中考數學中提升成績，培養學生應用性問題的解題技巧就十分必要.本文對此提出了一些建議，希望能夠為同仁提供借鑒和啟示.