數學探究活動，讓學習真正發生

◎徐華峰

(山東省青島第十七中學，山東 青島 266000)

數學以“鋼鐵般的邏輯”著稱，數學學習在幫助學生形成理性思維、科學精神方面具有不可取代的重要作用，在促進學生的智力發展方面也是舉足輕重.數學的邏輯之美、思辨之美、靈活的應用、巧妙的解答……令人沉醉.喜愛數學的人無不感嘆“數學是世界上最美的詩篇”.

怎樣讓學生領略數學之美,提升數學素養呢? 裴斯泰洛齊認為,思想應該通過思維活動而產生.贊可夫曾經說過，教學法一旦觸及學生的情意領域和精神需要，這種教學法就能發揮高度有效的作用.數學探究活動可以使學生獲得快樂感、成就感，使學習真正發生.

一、數學探究活動的特征

相對于其他教學模式，探究性的數學活動具有自身鮮明的特征.具體來講，數學探究活動的特征主要體現在以下幾個方面.

第一，指導性.指導性是使探究活動得以順利完成的重要前提.尤其是在數學課程中，部分知識具有一定的抽象性，對于學生來說具有一定的難度，所以更加離不開教師的恰當指導.同時，教師在數學課堂中承擔著指導者的角色.從實際的教學效果來看，盲目的自由探究并不能使學生獲得良好的探究效果，而“填鴨式”的指導同樣難以發揮數學探究活動的真正作用.因此，教師需要準確把握學生的認知特點，并根據學生的“最近發展區”對學生進行恰當的引導，這樣才可以使學生的探究過程更加有的放矢.

第二，問題性.“數學問題”是數學的心臟，這一教育理念說明在整個數學探究活動中，教師教要以學生對問題的發現、提出、分析、解決為線索，同時，問題情境的創設要能夠在一定程度上激發學生的學習積極性.而學習熱情作為學生參與學習活動的重要驅動力，會對學生的探究質量產生直接影響.

第三，建構性.開展數學探究活動最主要的目的就是使學生在自身已有知識的基礎上，通過教師的適當引導，從而實現新知識結構的建立，即在客觀環境因素的相互影響下進行新知識的建構.從認知發展規律來看，學生的知識建構能力往往存在一定的差異，好奇心的強弱也會不同，所以在探究活動的組織過程中，教師也需要尊重學生的差異，這樣會更加有利于促進學生知識建構能力的發展.

第四，自主性.探究活動可以視為一種知識建構的過程，這一過程需要充分發揮學生的能動性.基于自主性原則，教師應該調整“灌輸式”教學模式，將學習活動的主動權交給學生，以此來使學生自主進行發現問題、提出假設、設計探究、交流合作等活動，并通過這一探究過程拓展學生在探究活動中的參與深度.從長遠來看，自主性探究活動有利于鞏固學生的主體地位，從而促進學生學習能力的發展.

第五，創新性.在傳統的教學模式中，教師是知識的傳授者，而學生則是接受者的角色，整個過程都沒有太多探究內容的呈現.毋庸置疑，這種按部就班的教學不利于學生創新思維的培養.而探究活動的開展不但可以幫助學生建構基礎知識，而且能夠使學生在探究活動中進行知識的再創造，從而促進學生思維的發生.同時，問題的解決能體現學生的探究精神，引導學生展示自己獨特的思維能力，從而促進學生創新意識與創新能力的發展.需要指出的是，探究活動中的創新性不僅體現在形式上，還體現在內容上.

二、重視概念教學，多角度、多方面探究數學概念本質

邏輯推理是一種思維品質、一種素養，這種思維品質的形成需要借助“推理”這一邏輯形式.邏輯推理有三個關鍵要素：邏輯的起點、推理的形式、結論的表達.而概念就是邏輯的起點之一，一些命題、定理也是邏輯的起點.一些學生不會進行邏輯推理，很大程度上是因為不理解概念，或者說沒有真正理解概念.

提升數學素養，需要重視學生對數學概念的學習，教師在日常教學中也要充分重視概念教學.不重視概念教學會導致學生難以找到邏輯的起點，解題時沒有思路.不少學生感覺老師講解之后很明白，但是看到一道新題還是無從下手.如何進行概念教學呢？

比如“奇函數”的概念教學，教師可從正向、逆向兩個角度，通過問題引導學生思考，達到對概念的真正理解.奇函數的概念：一般的，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數f(x)就叫奇函數.為了讓學生掌握奇函數、偶函數的概念，教師可設置如下7個問題.

問題1：找出奇函數概念的關鍵詞.(使學生正向理解概念)

問題2：f(x)=x3,x∈[-1,2]是奇函數嗎？(引導學生理解概念中“任意”一詞的含義)

問題3：若f(x)是奇函數，則其定義域需要滿足什么條件呢？(讓學生在理解的基礎上形成自己的推理)

問題5：若f(x)是定義在R上的奇函數，求f(0).(逆向理解奇函數概念)

問題6：若f(x)是奇函數，則f(0)=0一定成立嗎？(培養學生思維的嚴謹性)

問題7：若f(x)=x2,x∈[b-1,b+3]是偶函數，你能求b的值嗎？(逆向理解偶函數概念)

其實大多數數學概念的正向使用都是一個判定，逆向使用就是一條性質.簡潔是數學的一大特點，概念中的每一個字、每一個詞教師都要充分重視，并且幫助學生理解.

三、重視概念教學，揭示概念發生的背景、過程和本質，揭示人們探索真理的過程

比如導數概念的教學，導數是一個非常抽象的概念，教師通過再現數學史上導數的發展歷程，并且與現實生活相聯系，將抽象概念具體化，設置以下三個環節，可幫助學生理解“導數”這一概念.

1.環節一：實際問題引入，從學生已有的認知出發，引導學生在原有知識基礎之上生成新的知識.

首先以一段運動員在奧運會上高臺跳水的視頻引入，提出問題：運動員在高臺跳水的時候，他相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

問題1:當0≤t≤0.5時，求運動員在這段時間里的平均速度.

計算得知，這段時間的平均速度為0，故思考下面的問題3.

問題3：運動員在這段時間里是靜止的嗎？你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎？

讓學生體會新知的生成源于實際生產生活的需要.平均速度不能滿足人們的需要，人們需要對運動狀態進行更精確的研究，故“瞬時速度”向我們走來.

問題4：你能求出運動員起跳2秒后，即t=2時的瞬時速度嗎？或者你能估計t=2時的瞬時速度嗎？

有學生提出自己的想法，可以讓時間間隔很小，比如2≤t≤2.000001，那么在這一段時間內的平均速度可近似表示t=2時的瞬時速度.

“偉大的想法！牛頓當年就是這么想的.”教師對學生的合理想法給予充分的肯定.

2.環節二：介紹牛頓當年提出導數、創建微積分的過程，給出導數的概念.

Δt<0時，在[2+Δt,2]這段時間內，

Δt>0時，在[2，2+Δt]這段時間內，

問題5：觀察上面表格，當時間改變量趨近于0時，平均速度有什么樣的變化趨勢？

學生容易發現平均速度都趨近于一個確定的值-13.1，這個定值就是t=2時的瞬時速度.

給出導數的概念，導數就是“瞬時變化率”，它的物理意義是瞬時速度.這樣借助瞬時速度來理解導數，能將抽象的導數概念具體化.

3.環節三：介紹萊布尼茲當年提出導數、創建微積分的過程.

國際上公認由牛頓、萊布尼茲共同創建微積分.他倆在同一時期、從不同的角度研究，提出導數的概念.牛頓通過求瞬時速度進行研究，而萊布尼茲通過求切線的斜率，從幾何角度進行研究.

問題6：當點Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿著曲線趨近于點P(x0,f(x0))時，割線PPn的變化趨勢是什么？

以此引出“曲線在點P處的切線”的概念，并且通過割線的斜率得出曲線在某點處切線的斜率，從導數的幾何意義方面給出導數的概念.

四、創設情境，讓學生經歷“數學化”“再創造”的過程

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾提出：數學教學方法的核心是“再創造”.他指出教師在數學教學中不是將公式、定理直接灌輸給學生，而是為學生創造合適的條件，讓學生根據自己的體驗，用自己的思維方式，重新創造有關的數學知識，讓學生探索發現或“再創造”，從而完成數學知識的學習.當然，這種再創造不是當時歷史的完全再現，而是假設我們的祖先已經具有學生現在所具備的知識，在此基礎上進行再創造.

在重新創造數學知識的過程中，弗賴登塔爾強調個性，即讓學生根據自己的獨特體驗，用自己的思維方式進行創造.不同的學生具有不同的“數學現實”，于是他們會達到不同的學習水平.整個數學學習過程都要讓學生主動參與，全程進行“再創造”，教師為學生提供廣闊的天地，讓不同的思維、不同的方法自由發展.只有學生通過自己的思考建立起自己的數學理解力時才能真正懂得數學，學好數學.學習數學需要學生的切身感受、體驗、思考的過程.老師要想方設法創設情境，讓學生用內心的體驗和創造的方法來學習數學，經歷“數學化”“再創造”的活動過程.

例如，教師可以創設情境，讓學生“發現”并應用同角三角函數基本關系式.

提出問題：前面我們研究了任意角的三角函數的定義，它是以單位圓上點的坐標來定義的，你能從圓的幾何性質出發，研究一下同一個角的不同三角函數值之間有怎樣的關系嗎？

應用同角三角函數基本關系式求值時，教師可通過設置下面的問題情境引導學生逐步探索，尋求解決方法.

問題4：已知tanα=2，α是第三象限角，求sinα,cosα的值.

問題5：已知tanα=2，求sinα,cosα的值.

由特殊到一般，學生通過對特殊問題的研究，歸納、總結出新知.求二次函數在閉區間上的最值，有時區間含有參數，有時二次函數中含有參數，這樣都需要分類討論，有時討論還比較復雜.那么，如何解決這類問題呢？教師可以通過設置如下問題串，引導學生自主探索、發現規律、邏輯推理.

問題1：求函數y=x2-2x+3的最值.

問題2：求函數y=x2-2x+3，x∈[-1,2]的最值.

問題3：當自變量x在下列范圍取值時，分別求函數y=x2-2x+3的最值.

①x∈[-1,0];②x∈[-1,3];③x∈[-1,4]；④x∈[2,4].

思考1：(1)a>0時，當自變量x在某個閉區間內取值時，二次函數y=ax2+bx+c的最小值一定在對稱軸時取得嗎？

(2)在(1)的條件下，二次函數y的最大值何時取得？

問題4：求函數y=-x2+4x-2，x∈[0,3]的最值.

思考2：當自變量在某個閉區間內取值時，求二次函數y=ax2+bx+c的最值需要考慮哪些方面？

問題5：當x∈[0,a]，討論函數y=x2-2x+3的最值.

該問題為“定軸動區間”，學生在前面歸納、思考的前提下，可以較好地解決.

問題6：已知函數y=-x2-ax+3，x∈[-3,3]，討論y的最值.

該問題為“定區間動軸”，換一個角度使學生加深理解.

思考3：求二次函數在閉區間上的最大值、最小值，當區間或者函數含參數的時候，如何進行分類討論？

五、設置“問題串”，類比研究，引導學生探究

問題是數學的心臟，好的問題勝過透徹的講解.例如，函數中學生較難以理解的“恒成立問題”與“存在性問題”，一般情況下，可以轉化成最大值、最小值問題.教師可通過設置如下四個問題，使學生輕松解決這一問題.

“?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)”，等價于“函數f(x)在D1上的值域A與函數g(x)在D2上的值域B的交集非空，即A∩B≠?”.

“對?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)”，等價于“函數f(x)在D1上的值域A是函數g(x)在D2上的值域B的子集，即A?B”.

問題3：已知函數f(x)=x2-2x+3，g(x)=log2x+m，對任意的x1，x2∈[1,4]，有f(x1)>g(x2)恒成立，求實數m的取值范圍.

“對?x1，x2∈D，有f(x1)≤g(x2)”，等價于“f(x)max≤g(x)min(這里假設f(x)max，g(x)min存在)”.

“對?x1∈D1，?x2∈D2，使f(x1)≥g(x2)”，等價于“f(x)min≥g(x)min(這里假設f(x)min，g(x)min存在)”.

六、結合內容，拓展推廣，拓展探究深度

受多種因素的限制，數學教材在描述中存在一定的局限性.為了真正促進學生學習能力的發展，教師不能僅僅依靠教材引導學生學習，而是需要對重點進行深化，并以此為基礎組織學生進行更加深層次的探究活動.這樣不但可以強化學生對課內知識與技能的理解和掌握，而且有利于鍛煉學生的思維，發展學生的探究能力.

以“等差數列前n項和”為例，教師針對公式推導可以進行如下設計.

問題1：數學家高斯在10歲的時候曾經解過這樣一個問題：1+2+3+…+100，你們知道怎么解嗎？

問題2：如果將問題擴展到1+2+3+…+n呢？

問題3：n是奇數還是偶數會影響探究結果嗎？可以避免奇偶的討論嗎？

問題4：是否還有別的方法？

對于剛剛接觸數列知識的學生來說，等差數列前n項和與學生認知能力相差較遠，而利用比較弱化的問題1與問題2可以構建教學內容與學生最近發展區的聯系，從而逐步拓展探究活動的深度.

數學學習是一種活動，這種活動類似于游泳、騎自行車，如果沒有親身體驗，只是看書本、聽講解、觀察他人的演示，付出再多也難以學會.數學學習需要學生親自參與、切身感受，在活動中收獲學習.

提升學生的數學素養，引導學生用數學的眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界，這是高中數學的重要學習目標.只有當學生通過自己的思考建立起自己的數學理解力時，才能真正懂得數學，學好數學，學習才能真正發生.