一類分數階食餌-捕食者系統的動力學分析

張學友，趙 薇，趙育林

（湖南工業大學 理學院，湖南 株洲 412007）

0 引言

食餌-捕食者關系是自然界中普遍存在的一種物種間相互作用的基本關系，相關學者建立了大量的生物種群模型來揭示具有不同功能反應的食餌-捕食者相互作用關系。因此，探討生物種群系統的運行規律以及人類對生態系統的開發利用策略，具有十分重要的意義和實踐價值[1-3]。同時，隨著種群生態動力學以及分數階微分方程理論的發展，分數階生物微分系統的研究已成為當前生物數學研究領域中的熱點之一，許多學者對此做了大量的研究工作[4-10]。本文在已討論的兩種群整數階生物模型的基礎上，研究如下一類食餌具有密度制約和避難所的Holling-II型分數階食餌-捕食者系統：

式中：x為食餌的種群密度；

y為捕食者的種群密度；

a為食餌的內稟增長率；

b為食餌的密度制約系數；

c為捕食種群的捕食強度；

d為捕食者的死亡率；

e為營養轉化率；

p為捕食者的處理時間；

r為食餌的增長率；

t為時間；

θ為捕食者的捕獲率；

m為在避難所中的食餌種群的比例，0

mx為避難所保護的食餌數量；

(1-m)x為捕食者能捕獲的食餌數量；

本文在各參數滿足一定條件下，討論系統（1）解的存在唯一性、非負性、有界性以及平衡點的穩定性等問題，同時利用Matlab軟件進行數值仿真檢驗。

1 預備知識

定義1[9]設β>0，函數f(t)定義在區間[a, +∞)上n階可導，則函數f(t)的β階Caputo分數階導數定義為

其中n=[β]+1，n-1<β≤n，[β]表示β的整數部分；Γ(·)為Gamma函數。

引理1[7,10]設系統

其中Eβ是Mittag-Leffler函數，即

2 系統動力學分析

2.1 解的存在唯一性、非負性和有界性

其中

因此

定理2系統（1）的所有解都是非負的，對于任意的初值條件都成立，其中

證明要證系統（1）的解的非負性，即證對任意t≥0都有x(t)≥0。

顯然t=0時，x(0)>0。

下證當t>0時，有x(t)≥0。

假設存在t1>0使得x(t1)<0，由x(t)的連續性和x(0)>0，則，使得x(t2)=0。記t3=min{t2>0：x(t2)=0}，則當t=t3時，有

此外，由t3的定義以及x(0)>0可得，當時，有x(t)≥0。

令z(t)=-x(t)，，則z(t3)=0且z(t)<0，。

類似地，可以證明，對任意t≥0都有y(t)≥0。定理2得證。

定理3集合

是系統（1）的一個正不變集。

證明構造函數W(t)=ex(t)+y(t)，于是有

則有

由W(0)=ex(0)+y(0)>0，根據引理2可得

由引理4可得，系統（1）從A中的一個點出發的解，永遠保留在A中，所以集合A是系統（1）的一個正不變集。定理3得證。

定理4集合

證明由定理3可知，對于任意給定的初始條件，若是滿足，則系統（1）的解總包含在集合A中。

由引理4可得，系統（1）的全部解都收斂于集合A。進一步可以得出集合A是一個全局吸引集。顯然，A同時也是一個有界集，因此系統（1）的全部解是有界的。定理4得證。

2.2 平衡點的局部穩定性

通過計算，可求得系統（1）對應的Jacobi矩陣

證明在平衡點處，系統（1）的Jacobi矩陣為

其特征方程為

解得其特征根為

其特征方程為

其中

所以系統的特征根可表示為

從而得到以下結論。

定理7如果系統（1）滿足下列條件之一：

那么系統（1）的正平衡點P2是局部漸進穩定的。

證明當條件1）滿足時，顯然λ1<0,λ2<0，從而有

由引理5可得，正平衡點P2是局部漸進穩定的。

當條件2）滿足時，λ1與λ2是一對共軛復根，且Re(λ1)=Re(λ2)<0，Im(λ1)=-Im(λ2)>0。可求得

由引理5可得，正平衡點P2是局部漸進穩定的。

當條件3）滿足時，λ1與λ2是一對共軛復根，且Re(λ1)=Re(λ2)>0，Im(λ1)=-Im(λ2)>0。可求得

由引理5可得，正平衡點P2是局部漸進穩定的。

由引理6可得，正平衡點是局部漸進穩定的。

定理8如果系統（1）滿足下列條件之一：

那么系統（1）的正平衡點P2是鞍點。

證明當條件1）滿足時，有λ1>0、λ2<0，則有

由引理6可得，平衡點P2是鞍點。

當條件2）滿足時，顯然λ1>0、λ2<0 ，則有

由引理6可得，正平衡點P2是鞍點。

當條件3）滿足時，顯然λ1>0、λ2<0，則有

由引理6可得，正平衡點P2是鞍點。

定理9當時，如果系統（1）滿足下列條件之一：

那么系統（1）的正平衡點P2是不穩定的。

證明當條件1）滿足時，顯然λ1>0、λ2>0，則因此系統（1）的正平衡點P2是不穩定的。

當條件2）滿足時，λ1與λ是一對共軛復根，且Re(λ1)=Re(λ2)>0，Im(λ1)=-Im(λ2)>0，可求得

因此系統（1）的正平衡點P2是不穩定的。

3 數值仿真

用Matlab進行數值仿真，以驗證本研究所得結論的正確性。

對系統（1）的參數賦值如下：r=2.5，a=0.5，b=1，c=0.2，d=0.15，e=0.6，θ=3.5，p=1。

系統（1）在點P2=(0.077 0, 0.282 2)處的仿真結果如圖1所示。由圖可知，正平衡點P2=(0.077 0, 0.282 2)是局部漸進穩定的，與理論結果一致。

圖1 系統（1）在點P2=(0.077 0, 0.282 2)處的仿真結果Fig.1 Simulation results of system (1) with point P2=(0.077 0, 0.282 2)

2）當β=0.95，食餌無避難所（m=0）的分數階種群模型。通過計算可得正平衡點P2=(0.044 8,0.298 3)，同時可得，，。由定理7得，正平衡點P2=(0.044 8, 0.298 3)是局部漸進穩定的。

系統（1）在點P2=(0.044 8, 0.298 3)處的仿真結果如圖2所示。由圖可知，正平衡點P2=(0.044 8, 0.298 3)是局部漸進穩定的，與理論結果一致。

圖2 系統（1）在點P2=(0.044 8, 0.298 3)處的仿真結果Fig.2 Simulation results of system (1) with point P2=(0.044 8, 0.298 3)

3）當β=0.95，m=0.6的分數階有避難所食餌具有密度制約的Holling-II型功能反應函數模型。通過計算可得正平衡點P2=(0.085 6, 0.304 0)，，而且，，。由定理7得，正平衡點P2=(0.085 6, 0.304 0)是局部漸進穩定的。

系統（1）在點P2=(0.085 6, 0.304 0)處的仿真結果如圖3所示。由圖可知，正平衡點P2=(0.085 6, 0.304 0)是局部漸進穩定的，與理論結果一致。

圖3 系統（1）在點P2=(0.085 6, 0.304 0)處的仿真結果Fig.3 Simulation results of system (1) with point P2=(0.085 6, 0.304 0)

4）當β=0.95，m=0.6時，由定理5可知，系統（1）的平衡點P0=(0, 0)是鞍點。系統（1）在點P0=(0, 0)處的仿真結果如圖4所示。由圖可知，平衡點P0=(0, 0)是鞍點，與理論結果一致。

圖4 系統（1）在點P0=(0, 0)處的仿真結果Fig.4 Simulation results of point P0=(0, 0) for system (1)

4 結語

本文研究了一類食餌具有密度制約和避難所的Holling-II型分數階食餌-捕食者系統的動力學性質，討論了系統解的存在唯一性、非負性和有界性，分析了平衡點存在的條件以及各類平衡點的局部漸進穩定性，并通過數值仿真驗證了有關結論的正確性。

數值仿真結果表明：分數階種群模型比整數階種群模型能更快達到穩定，有避難所種群模型比無避難所種群模型能更快達到穩定。食餌具有避難所的分數階種群模型，比單獨具有其中之一的種群模型能夠更迅速地達到穩定。