帶有多項分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程邊值問題解的存在性

李建利, 陳麗珍, 李 剛

(1. 太原學(xué)院數(shù)學(xué)系，太原 030032; 2. 山西財經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030006;3. 揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，揚州 225002)

0 引言

分數(shù)階微分方程是經(jīng)典整數(shù)階微分方程的推廣，它是將整數(shù)階的導(dǎo)數(shù)替換為分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，這類方程已在物理、工程、金融、環(huán)境問題等領(lǐng)域得到了廣泛的運用。因此，對它的研究也引起了學(xué)者們廣泛的關(guān)注[1–2]。另一方面，非線性分數(shù)階微分方程的邊值問題也受到了中外許多學(xué)者的廣泛關(guān)注，已取得了很多研究成果[3–4]。例如，利用非緊測度和M¨onch 不動點定理，Zhou 和Peng 在文獻[3]中證明了如下邊值問題解的存在性

1 預(yù)備知識

首先，我們給出一些必要的分數(shù)階計算的定義和結(jié)論[2]。設(shè)(X,//·//)是實Banach 空間，C([0,b],X)表示定義在區(qū)間[0,b]上取值于X的連續(xù)函數(shù)全體，其范數(shù)定義為//x//=sup{//x(t)//,t ∈[0,b]}；L1([0,b],X)表示定義在區(qū)間[0,b]上的Bochner 可積函數(shù)全體，其范數(shù)定義為

注2 由格林函數(shù)G1(t,s)和G2(t,s)的定義，可知G2(t,s)在[0,1]×[0,1]上連續(xù)

2 主要結(jié)果

在這節(jié)中，我們將給出問題(1)解的存在性和唯一性的一些結(jié)果。首先，我們利用壓縮映像原理研究邊值問題(1)解的存在唯一性。

因此，對任意的有界集B ?C[0,1]，T(B)是一致有界的。由Ascoli-Arzella 定理知T:Wr →Wr是全連續(xù)的。根據(jù)定理2 可知，邊值問題(1)至少存在一個解。

本節(jié)最后，我們將利用Kuratowski 非緊性測度證明邊值問題(1)解的存在性。首先，我們給出Kuratowski 非緊性測度的定義。有關(guān)Kuratowski 非緊性測度的性質(zhì)可參見文獻[8–9]。

定義4 設(shè)X是Banach 空間，B是X中的有界集，則Kuratowski 非緊性測度χ:B →[0,∞)定義為

如果N1+N2//p//L1<1，則邊值問題(1)在C([0,1],R)中至少存在一個解。

即AWR ?WR。

下證A(WR)為C([0,1],R)中等度連續(xù)集。對任意的x ∈WR及t1,t2∈[0,1]且0≤t1

注意到N1+N2//p//L1< 1，所以對一切t ∈[0,1], d(t) = 0。根據(jù)Ascoli-Arzela 定理知D是C([0,1],R)中的相對緊集。結(jié)合引理2，A在WR中有不動點x，即x是邊值問題(1)的解。