基于模型不確定性的保險人最優投資再保險問題研究

王雨薇, 榮喜民, 趙 慧

(天津大學數學學院，天津 300350)

0 引言

在現代保險實務中，由于激烈競爭，保險人一方面需要在金融市場中通過投資組合來盈利，以保證資金的保值增值；另一方面，又需要購買一定數量的再保險以規避巨額賠付風險，減小破產概率。因此，保險人的最優投資和再保險問題引起了學者的廣泛關注。

破產概率最小化是保險人的重要目標之一，也是經典風險理論的核心問題之一。Browne[1]針對擴散風險模型，假設風險資產的價格過程服從幾何布朗運動，證明了最小化破產概率和最大化期望指數效用對應的最優投資策略是等價的。此后，Hipp 和Plum[2]假設保險人僅投資于一種風險資產，基于復合Poisson 風險模型，研究了以最小化破產概率為目標的最優投資問題。Liu 和Yang[3]在Hipp 和Plum[2]的基礎上，允許保險人投資于一種風險資產和一種無風險資產，但沒有得到保險人投資策略的解析解。Yang 和Zhang[4]基于跳擴散風險模型，在保險人可投資于無風險資產和風險資產的情況下，對不同的索賠額分布給出了最小化破產概率的最優策略的數值解。Promislow 和Young[5]研究了擴散風險模型下以破產概率最小化為目標的最優投資問題。Bai 和Guo[6]在一支無風險資產和多支風險資產下，研究了以破產概率最小化為目標的最優投資再保險問題，得到了最優比例再保險和投資策略。Chen 等[7]在引入動態VaR 限制下，以最小化破產概率為目標，研究了最優投資再保險問題。Luo 和Taksar[8]考慮風險資產的投資限額，研究了以破產概率最小化為目標的保險人最優投資問題。Bai 等[9]采用二維復合Poisson 過程刻畫相依風險模型，給出了最小化破產概率目標下保險人的最優再保險策略。

上述文獻給出的模型參數基本上都是確定的，但在實際市場環境中卻很難給出模型參數的準確判斷。近年來，模型不確定性逐漸引起學者們的關注。Maenhout[10]研究了具有模型不確定性的投資組合問題，首次提出了魯棒最優投資的概念。Lin 等[11]以及Zhang 和Siu[12]采用博弈論的方法，研究了含有模型不確定性的最優投資再保險問題。在Maenhout 工作的基礎上，近年來很多學者研究了具有模型不確定性的投資-再保險問題。如Yi 等[13–14]在期望效用最大化和均值方差準則下分別給出了保險人的魯棒最優投資-再保險策略。Sun 等[15]考慮方差保費準則和違約風險，得到了含有模型不確定性的保險人的魯棒投資策略。Luo 等[16]考慮模型不確定性，得到了最大化目標實現概率下保險人的魯棒最優策略。Young 和Zhang[17]考慮死亡力的不確定性，研究了最小化破產概率目標下的投資再保險問題。Li 和Young[18]考慮索賠發生率的不確定性，針對折現破產概率最小化的目標研究了保險人的最優再保險策略。

在上述文獻中，風險資產的價格過程大多是用幾何布朗運動(GBM)刻畫的，即假設風險資產的價格波動率是確定的，而根據Beckers[19]、Campbell[20]、Hobson 和Rogers[21]等的研究，金融市場中風險資產的價格波動率是隨機的。為了彌補GBM 模型的不足，Cox 和Ross[22]提出了常方差彈性(CEV)模型。作為GBM 的一個自然拓展，CEV 模型能夠很好的解釋波動率微笑等現象，近年來引起學者們廣泛關注。Xiao 等[23]、Gao 等[24]研究了CEV 模型下的養老金投資問題，分別針對對數效用函數、指數效用函數和冪效用函數得到了最大化期望效用的投資策略。Gu 等[25]將CEV 模型引入最優投資再保險問題的研究中，Liang 等[26]、Lin 和Li[27]假設風險資產價格過程服從CEV 模型，研究了期望效用最大化目標下的保險人最優投資再保險問題。Gu 等[28]將風險過程作擴散逼近，研究了CEV 模型下保險人的最優投資和超額損失再保險問題。Li 等[29]假設風險資產的價格過程服從CEV 模型，研究了以乘積效用最大化為目標的保險人最優投資再保險問題。Li 等[30]和Zhao 等[31]基于均值方差準則，在CEV 模型下研究了保險人和再保險人的時間一致投資再保險策略。Zheng 等[32]假設風險資產的價格過程服從CEV 模型，在期望指數效用最大化目標下給出了保險人的魯棒最優投資組合和比例再保險策略。A 等[33]和Wang 等[34]在CEV 模型下，研究了期望效用最大化目標下基于跳擴散風險模型的保險人最優投資再保險策略。

前述基于模型不確定性和隨機波動的文獻的控制目標主要集中在期望效用最大化和均值-方差準則，鮮有以破產概率最小化為目標的研究。Liu 等[35]首次研究了考慮模型不確定性的以破產概率最小化為目標的保險人的最優投資問題。本文在文獻[35]的基礎上考慮含有模型不確定性的以破產概率最小化為目標的保險人的最優投資再保險問題。假設保險人可以購買比例再保險，并投資于一個風險資產(允許賣空)。與文獻[35]不同，本文假設風險資產的價格過程服從CEV 模型，使得所研究的問題更加符合實際。本文應用隨機控制理論建立相應的HJB 方程，推導得到保險人的魯棒最優投資再保險策略。最后通過數值模擬分析各模型參數對最優策略的影響。研究發現，保險人的模糊厭惡程度越高，其采取的投資再保險策略呈現出越保守的特點。本文的結構安排如下，第1 部分建立了投資與再保險模型；在第2 部分，我們應用動態規劃原理建立了優化問題對應的HJB 方程，通過求解HJB 方程給出了魯棒最優投資再保險策略和值函數的解析解；第3 部分給出了數值分析；第4 部分對文章進行了總結。

1 模型建立

假設(?,F,{Ft}t∈[0,T],P)為完備概率空間，其中F:=σ(F(1)∨F(2))，F(1)和F(2)分別是由布朗運動{W0(t)}t∈[0,T]和{W1(t)}t∈[0,T]生成的σ域流，P 為參考模型的概率測度。假設如下所有隨機過程均是該概率空間上的適應性過程。保險和金融市場上交易是連續的，允許賣空，沒有交易費用和稅收產生。

1.1 財富過程

假設保險人的索賠服從帶漂移的布朗運動

其中a、b為正常數，{W0(t)}t∈[0,T]為定義在完備概率空間(?,F,{Ft}t∈[0,T],P)上的標準布朗運動。保險人按期望值保費原理計算保費，則c0= (1 +θ)a表示保費率，其中θ>0 為保險人的安全載荷系數。根據(1)式，保險人的盈余過程滿足

假設保險人可購買比例再保險或開展新業務(例如，作為其他保險人的再保險人，參見B¨auerle[36])以控制其保險業務的風險。對于任意時刻t ∈[0,T](T<∞)，保險人的風險曝露值為q(t)∈[0,+∞)。當q(t)∈[0,1]時，對應于保險人購買再保險的情形。在任意時刻t，保險人以c1= (1+η)a的費率購買再保險，其中η為再保險人的安全載荷系數且η>θ>0。對于每一筆索賠，保險人的自留比例為q(t)，即t時刻保險人自身只承擔索賠額的100q(t)%，余下100(1?q(t))%的部分由再保險人承擔。當q(t)∈[1,+∞)時，認為保險人開展了新業務。為了方便，后文將把保險人的風險曝露值q(t)稱為保險人的再保險策略。考慮再保險策略后保險人的盈余過程R(t)可以表示為[()]

除了再保險以外，假設保險人可以將資金投資到風險資產上，假設t時刻保險人投資于風險資產的金額為π(t)，風險資產的價格過程S(t)服從CEV 模型

其中μ> 0，表示風險資產的回報率，σ表示風險資產價格的波動率，β稱為彈性系數，σS(t)β稱為即時波動率。{W1(t)}t∈[0,T]為定義在完備概率空間(?,F,{Ft}t∈[0,T],P)上的標準布朗運動，{W1(t)}t∈[0,T]與{W0(t)}t∈[0,T]相互獨立。假設保險人的投資-再保險策略為α=(π(t),q(t))，則考慮再保險和投資后，保險人的財富過程滿足如下隨機微分方程

以上是傳統的投資再保險模型框架，其中的保險人是模糊中性的。目前在保險精算領域有關破產概率最小化的文章，大多考慮的是模糊中立型保險人(Ambuguity-neutral Insurer, ANI)的最優投資再保險策略，即保險人完全信任現有的參考測度P。而事實上，很多投資者并不信任由參考測度描述的模型，為了更好地描述這種情況，本文考慮模糊厭惡型保險人(Ambuguity-averse Insurer, AAI)的最優投資再保險策略。由于模型不確定，AAI 在一系列備選模型中尋求穩健的最優投資再保險策略。備選模型與參考模型之間的差異通過不同概率測度之間的變換來體現。假設當前的參考概率測度為P，某一備選概率測度為Q，并且Q 與P 是等價的，則備選的概率測度集為Q={Q|Q～P}。

基于上述假設，我們利用Girsanov 定理來變換概率測度，使得備選模型與參考模型僅在漂移函數方面有所不同。由Girsanov 定理知，對任意Q∈Q都存在失真過程

條件3)也被稱為Novikov 條件。

根據Girsanov 定理，我們給出上述模型中的漂移項在等價測度Q 下的形式

保險人引入備選模型描述模型不確定性，但備選模型與參考模型的偏離不應過大，因此引入相對熵的概念，作為備選模型偏離參考模型的懲罰項，來刻畫備選模型與參考模型之間的差異

3) (π(t),q(t))使方程(5)有唯一的強解；

所有容許策略的集合用A表示。

1.2 破產概率最小化問題

保險人的目標是最小化破產概率，首先定義保險人的破產時刻

即保險人的財富水平首次小于閾值c的時刻。

注1 根據Webb[37]、Briys[38]、Gollier 和Wibaut[39]的研究，保險市場和金融市場存在相關性，在保險投資管理中不能將全部資產都用于風險投資，應劃定一個比例g，將占總資產比例為g的部分進行風險投資和購買再保險，剩下部分作為儲備金應對索賠風險。本文為了得到解析結果，通過引入閾值c設定保險人的財富最低值。即本文是將保險人的資產以閾值c劃分開，留下c部分的資產作為儲備金。由于僅依靠儲備金不足以保證保險人的正常經營，因此，本文設定保險人的財富水平首次低于c時破產。

對于初始財富水平x，破產概率表示為

2 模型求解

本定理的證明類似文獻[35]中定理3.1 的證明過程，這里不再贅述。

為了求解(15)式的魯棒最優問題，只需要求解HJB 方程(17)。首先確定內層的模糊參數(17)式對m、n分別運用一階條件

注2 為簡化計算，這里將測度變換的失真過程{?(t) = (m(t),n(t))|t ∈[0,T]}中的m(t)、n(t)記作m、n，將保險人的投資再保險策略α= (π(t),q(t))中的π(t)、q(t)記作π、q，將值函數V(x,s)記作V，后文計算過程中也將沿用該記號，不再做特殊說明。

2.1 β =0 的情況

當β=0 時，取q=0(不考慮再保險策略)，本文的CEV 模型退化為文獻[35]中的模型。此時風險資產的價格滿足幾何布朗運動模型(GBM)

最優再保險策略q?滿足

2.2 β =?12 的情況

注3 由于在實際市場中，一般認為風險資產的價格s是有界的，根據(64)式給出的值函數ψQ(x,s)的形式可以得到，ψQ(x,s)∈C2,2(R×R)。

2.3 不考慮模型不確定性的情況

當不考慮模型不確定性時，問題退化為在參考測度P 下的非魯棒最優控制問題。在此種情況下，ANI 的財富過程滿足(5)式，最優目標滿足(13)式，對應的最優控制問題的HJB 方程簡化為

3 敏感性分析與經濟解釋

本節主要給出最優投資再保險策略關于參數的敏感性分析和考慮模型不確定性與不考慮模型不確定性對應的最優策略之間的比較。除特別給出，參數均滿足如下假設：a=1, b=1.5, θ=0.1, η=0.2, μ=0.06, σ=0.2, x0=10, c=4, s=3.5, β=?0.5。

3.1 模型參數對最優再保險策略的影響

3.2 模型參數對最優投資策略的影響

圖2 給出了當β= 0 時，模糊厭惡系數ξ2和風險資產價格波動率σ對最優投資策略π?的影響。上、下方曲面分別對應ANI 和AAI 的策略。我們發現，在考慮模型不確定性時，最優投資策略π?與模糊厭惡系數ξ2正相關，與風險資產價格波動率σ負相關。ξ2越大，保險人對金融市場的模糊厭惡程度越低，在風險資產的投資上表現的越激進，即保險人將增加風險投資金額。而當σ增加時，風險資產價格的波動率增大，所以保險人將減少在風險資產上的投資。比較兩個曲面發現，ANI 在風險資產上的投資金額高于AAI 的投資金額，說明AAI 的投資較ANI 來說更為保守。

圖1 模糊厭惡系數ξ1 和再保險人安全載荷系數η 對最優再保險策略q?的影響

圖2 β =0 時，模糊厭惡系數ξ2 和風險資產價格波動率σ 對最優投資策略π?的影響

圖3 β =?12 時，模型中相關參數對最優投資策略π?的影響

3.3 模型參數對最優值函數的影響

圖4 模糊厭惡系數ξ1、ξ2 對最優值函數ψ?的影響

3.4 模型參數對效用提升的影響

本部分將對AAI 考慮模型不確定性并采用魯棒策略帶來的效用提升進行分析。假設AAI 沒有采用定理2 給出的魯棒最優策略，而是采用2.3 節對應的非魯棒策略代之，意味著AAI 在對參考模型存在模糊厭惡時仍然選擇了ANI 的策略，這個策略是次優的，會帶來一定的效用損失。下面我們先定義當AAI 采用ANI 策略時對應的值函數?ψ(x,s)：

由于僅在β= 0 的情況下可以得到顯示解，這里只對β= 0 的情況做分析。圖5 給出了當彈性系數β= 0 時，模糊厭惡系數ξ1和ξ2對效用提升函數UI 的影響。發現效用提升函數為正值，意味著當模型存在不確定性時，AAI 采用魯棒投資再保險策略會帶來效用提升，降低保險人的破產概率。但對于不同的模糊厭惡程度，帶來的效用提升效果不同。效用提升函數UI 隨著模糊厭惡系數的增大而增大，意味著AAI 的模糊厭惡程度越低，對參考模型的掌握的信息越多，其采用魯棒最優投資再保險策略的效用提升越明顯。

圖5 模糊厭惡系數ξ1、ξ2 對效用提升函數UI的影響

4 結論

本文基于模型不確定性假設，研究了破產概率最小化目標下模糊厭惡型保險人的最優投資和再保險問題。保險人可投資于一種風險資產以實現儲備金增值，同時購買比例再保險合約轉移承保風險。文章采用擴散風險模型描述保險人的盈余過程，并用常方差彈性(CEV)模型刻畫風險資產的價格過程。根據動態規劃原理建立相應的HJB 方程，并針對不同的特殊彈性系數給出了保險人的最優魯棒投資再保險策略和值函數的解析解，最后進行了數值分析來說明模型參數對最優策略和值函數的影響。

研究發現：

1) 保險人的模糊厭惡程度越高，其采取的投資及再保險策略越保守，對應的最優值函數越大，即破產概率越高；

2) 相較于AAI，ANI 的風險承受能力更高，采取的策略更激進；

4) AAI 的模糊厭惡程度越高，對參考模型的掌握的信息越少，采用魯棒最優投資再保險策略的效用提升越明顯。在未來的研究中，我們可以將模型進行推廣，考慮在其他隨機波動率模型下(例如：Heston 隨機波動率模型下)的最優投資再保險策略，或者考慮保險人在更復雜的投資組合下的最優策略等。