層層深入,步步遞進,深化理解

李鑫華 時光

[摘 ?要] 研究者認為數學教學不能局限于教材例題，更要注重知識的拓展與延伸. 文章從一道“好題”的縱深與橫寬兩個維度的拓展，以層層深入的問題，引發學生的思維逐層遞進，達到對知識的深化理解，獲得數學思想的目的，并養成善于反思的習慣.

[關鍵詞] 問題;好題;生長

教材呈現的例題，都是經過精挑細選的，體現的是核心知識，具備言簡意賅的特點，但受篇幅的限制，很多問題并沒有展開. 教師作為學生與教材的協調者，可將教材中的例題有選擇性地加以補充與拓展，在強化知識前后聯系的基礎上，滲透相應的數學思想和方法，讓學生不僅獲得知識層面的理解，還能將所學知識融會貫通，建構完整的認知體系，提升數學核心素養.

[?]本題分析

原題：假設點A與點B的坐標分別是（-5，0）與（5，0），直線AM與BM于點M相交，兩直線的斜率之積為-，求點M的軌跡方程.

分析：該題題意明確，表述簡潔、流暢，容易理解，符合“好題”的標準. 說它好，主要體現在：從問題本身來看，它包含了重要的斜率與軌跡內容，體現了知識的聯系性，解決方法自然具有多樣化的特點，該題本身具備“生長”的特征;從培養學生數學思維的角度來觀察，該題相當自然，處于學生的最近發展區，具有一定的挑戰性，具備促進學生思維生長的能力. 分析該題后，容易得出點M的軌跡方程為+=1（x≠±5）.

[?]層層深入，縱深生長

章建躍認為：數學“好題”不僅能體現出知識間的互相聯系，還具備良好的生命力與自我生長力[1]. 顯然，該題具備一道“好題”的基本特征. 但從哪些方面體現出了該題的生命力呢？如何促進該題的有序生長呢？它又能生長出什么內容呢？筆者從縱深層面將該題進行了以下變化，通過層層深入的問題，深化學生對知識的理解.

問題1：假設點A與點B的坐標分別是（-5，0）與（5，0），直線AM與BM于點M相交，兩直線的斜率之積為，求點M的軌跡方程.

問題1在原題的基礎上，只是將兩直線的斜率之積由-變為，對學生來說難度不大，可作為學生思維活動的熱身題，讓學生的思維從低起點開始逐步前進.

問題2：假設點A與點B的坐標分別是（-a，0）與（a，0）（a>0），直線AM與BM于點M相交，兩直線的斜率之積為k（k是常數），求點M的軌跡方程.

此時，問題難度稍增，需對常數k進行討論，學生的思維也隨著問題的變化而逐層遞進.

問題3：假設點A與點B的坐標分別是（-a，0）與（a，0）（a>0），直線AM與BM于點M相交，兩直線的斜率之商為k（k是常數），求點M的軌跡方程.

問題4：假設點A與點B的坐標分別是（-a，0）與（a，0）（a>0），直線AM與BM于點M相交，兩直線的斜率之和為k（k是常數），求點M的軌跡方程.

問題5：假設點A與點B的坐標分別是（-a，0）與（a，0）（a>0），直線AM與BM于點M相交，兩直線的斜率之差為k（k是常數），求點M的軌跡方程.

觀察問題2至問題5，題干條件并未發生明顯變化，只是兩直線斜率間的關系有所變化，分別以積、商、和、差進行討論，雖只是一字之差，但解決問題的方法卻發生了較大變化. 如問題4的實質就是將“距離”換成了“斜率”，我們該怎么將斜率轉化成周長、面積等概念呢？而點M的活動軌跡又會發生怎樣的變化呢？順著學生思維的生長點，從以上這些“枝干”出發，又生長出了以下“枝葉”.

問題6：假設點A與點B的坐標分別是（-a，0）與（a，0）（a>0），直線AM與BM于點M相交，已知△ABM的周長為C（C>4a，且為常數），求點M的軌跡方程.

問題7：假設點A與點B的坐標分別是（-a，0）與（a，0）（a>0），直線AM與BM于點M相交，已知△ABM的面積為S（S>0，且為常數），求點M的軌跡方程.

隨著探究的逐漸深入，問題6與問題7已然觸及斜率與軌跡的深層次關系.

至此，原題的縱深挖掘也差不多了，學生對原題及其變化中的知識間的聯系已經有了較為深刻的認識. 那么，原題的教學潛能就止于此了嗎？答案必然是否定的，因為除了縱深外，知識還有橫向發展的能力.

[?]步步遞進，橫寬生長

“好題”的生長并非單一的模式，需要從多個角度著手，以不同的思維方式去挖掘其內涵. 這種具有一定寬度的生長方式，對學生而言，具有較強的挑戰性，因此要放在有序生長的后面進行拓展. 當然，橫向生長并非無緣無故而來，同樣具備步步遞進、由淺入深、拾級而上的規律[2]. 例如原題，可以繼續進行以下變化，以拓寬學生的視野，幫助學生建立完整的知識體系.

問題8：假設點A與點B的坐標分別是（-5，0）與（5，0），點M為橢圓+=1的任意點（異于點A，B），k·k是不是定值？若是，請求出k·k的值.

在解決問題8的基礎上，引導學生思考“若點A，B在y軸上，又會是怎樣的？”由此引出了下一個問題.

問題9：假設點A與點B的坐標分別是（0，-5）與（0，5），點M為橢圓+=1的任意點（異于點A，B），此時k·k是不是定值？若是，請求出k·k的值.

問題8與問題9具備一定的共性，根據這種特征的一般形式，再引出以下問題.

問題10：如果點A，B分別為橢圓+=1（a>b>0）長軸上的兩個頂點，點M是橢圓上的任意一點（異于點A，B），k·k是不是定值？若是，求出k·k的值.

問題11：如果點A，B分別為橢圓+=1（a>b>0）長軸上的兩個頂點，點M是橢圓上的任意一點（異于點A，B），k·k是不是定值？若是，求出k·k的值.

經思考，學生容易發現k·k均有定值，問題10與問題11的結論分別為k·k=-，k·k=-. 為了活躍學生的思維，還可將直線AB設為過原點的直線，與橢圓相交于兩點A，B，由此又引出新的問題.

問題12：如果橢圓+=1（a>b>0）與過坐標原點的直線相交于點A，B，已知點M是橢圓上的任意一點（異于點A，B），k·k是不是定值？若是，求出k·k的值.

問題13：如果橢圓+=1（a>b>0）與過坐標原點的直線相交于點A，B，已知點M是橢圓上的任意一點（異于點A，B），k·k是不是定值？若是，求出k·k的值.

隨著“枝葉”的繁茂，學生的思維寬度越來越廣，對于學有余力的學生，教師還可以提出更寬泛的問題供學生思考，例如將以上問題中的“橢圓”換為“雙曲線”等. 觀察本題的生長路線，主要是“縱深”與“橫向”兩個方面，隨著主干的生長，衍生出了新的“枝葉”. 學生的思維隨著低起點、小步子的臺階呈螺旋式上升，并獲得從特殊到一般的數學思想.

[?]教學反思

解決原題時，雖然容易獲得方程+=1，但不少學生卻將“x≠±5”這個條件遺漏了，導致解題過程不完整. 作為教師，不僅要重視這個問題，還要幫助學生獲得勤于反思的習慣，避免同樣的問題再次出現. 針對原題，教師可以引導學生從以下幾方面著手進行反思：

1. 反思知識儲備，完整認知結構

出現漏解的主要原因，一般是知識體系還不夠完整，學生尚無法系統地建構知識網絡. 想要增加并完善學生的知識儲備，可以應用糾錯筆記等方式，將易錯題進行歸類、分析，以不斷完善學生的認知.

原題設方程為點斜式時，先要考慮直線斜率是否存在;同樣，遇到集合問題時，應優先考慮空集的現象;遇到關于函數y=ax2+bx+c類問題時，先要考慮最高次項的系數是不是存在零的情況，等等. 如此，才能不斷完善學生的認知結構，建構全覆蓋的知識網絡.

2. 反思解題過程，優化解題程序

同一個問題，若從不同的角度去分析，可能會出現多種不同的解決方法. 教學時，除了幫助學生理清通法通解外，還要盡可能地發散學生的思維，讓學生從多種解法中，自主分析每種解法的優劣性，以優化認知結構中的解題程序，形成擇優解題的習慣[3].

例如：已知橢圓的標準方程是+=1，若過點P（2，1）作一條弦，點P恰好平分這根弦，求該弦所在的直線方程.

此問存在多種解決方法，分別有：①聯立直線方程與橢圓方程;②用“點差法”獲得直線斜率;③用“交軌法”獲得結論;④通過畫圖，從直觀圖像中獲得結論，等等. 通過對這些解題方法的逐一探索，學生不僅能獲得最簡單的解題過程，還能優化解題程序，選擇最便捷的解題方案.

3. 反思解題方法，提煉數學思想

高考試題千變萬化，“題海戰術”必然解決不了問題. 只有在解題中學會不斷總結、提煉與反思，才能獲得解題的精髓——數學思想方法. 數學思想方法一旦形成，則能突破思維定式的干擾，跳出“題?！?，獲得融會貫通、舉一反三的解題能力.

總之，教材中呈現的例題固然好，但就題論題進行教學，只能讓學生的思維浮于表面，難以達到深層次的理解與應用. 而在例題的基礎上，進行縱橫兩方面的拓展與延伸，不僅可以避免“題海戰術”帶來的疲倦感，達到“減負增效”的教學效果，還能激發學生的探究欲，培養學生的思維能力，讓學生自主厘清知識間的聯系，達到深化理解、靈活應用的目的.

參考文獻：

[1] ?章建躍. 發揮數學的內在力量，為學生謀取長期利益——“第六屆全國高中青年數學教師優秀課觀摩與展示活動”總結暨大會報告 [J].中國數學教育，2013（Z2）：3-6+9.

[2] ?喬治·波利亞. 數學的發現：對解題的理解研究和講授[M]. 呼和浩特：內蒙古人民出版社，1981.

[3] ?任長松. 探究式學習：學生知識的自主建構——從兩個探究案例引發的思考[J]. 課程·教材·教法，2004（01）：37-42.