探析復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的三種類型及求解策略

摘要：復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題分三種類型，本文探析如何通過(guò)換元以及數(shù)形結(jié)合方法解決此類復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)多題歸一，提高數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)思辨智慧.

關(guān)鍵詞：復(fù)合函數(shù)；零點(diǎn)問(wèn)題；換元

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0016-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡(jiǎn)介：蘇藝偉（1986-），男，福建省龍海人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：教育部福建師范大學(xué)基礎(chǔ)教育課程研究中心2021年度開(kāi)放課題“基于學(xué)科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：KCZ2021024）.

對(duì)于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，常常采用換元的方法求解.通常將表達(dá)式中的某部分換成t，看成是函數(shù)y=gt與函數(shù)t=fx復(fù)合而成，最終轉(zhuǎn)化為研究直線y=t與曲線y=fx圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.此類題型體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想，能夠較好地考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，邏輯推理、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，經(jīng)常出現(xiàn)在選填壓軸試題當(dāng)中，深受命題者親賴.

類型1函數(shù)fx中將某個(gè)整體替換成t.

例1已知函數(shù)fx=x2ex+2axe-x2+2，若函數(shù)fx有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析因?yàn)閒x=x2ex+2axe-x2+2，

所以fx=xex22+2axex2+2.

令t=xex2，則t2+2at+2=0.

則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線y=t與曲線hx=xex2有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

對(duì)于曲線hx=xex2，有

h′x=1-12xe12x.

令h′x=0，得x=2.

所以hx在0，2上單調(diào)遞增，在2，+上單調(diào)遞減，所以hx的最大值為2e.

又h0=0，故hx的圖象如圖1所示.

對(duì)于方程t2+2at+2=0，有Δ=4a2-8.

①Δ<0，即-2

此時(shí)方程t2+2at+2=0無(wú)解，不符合題意;

②Δ=0，即a=±2.

當(dāng)a=2時(shí)，t=-2，此時(shí)直線y=-2與曲線hx=xex2只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意;

當(dāng)a=-2時(shí)，t=2，此時(shí)直線y=2與曲線hx=xex2無(wú)交點(diǎn)，不符合題意;

③Δ>0，即a>2或a<-2.

設(shè)方程t2+2at+2=0的兩個(gè)實(shí)根為t1，t2（t1

當(dāng)a>2時(shí)，t1<0，t2<0，此時(shí)直線y=t1與曲線hx=xex2只有一個(gè)交點(diǎn)，直線y=t2與曲線hx=xex2只有一個(gè)交點(diǎn)，總共兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意;

當(dāng)a<-2時(shí)，t1>0，t2>0，要使得直線y=t與曲線hx=xex2有兩個(gè)交點(diǎn)，則必須有t2>2e且t1∈0，2e.

故2e2+2a·2e+2<0，即a<-2+e22e.

綜上，a∈-，-2+e22e∪2，+.

分析將函數(shù)fx=x2ex+2axe-x2+2看成函數(shù)t=xex2與函數(shù)y=t2+2at+2復(fù)合而成的.先研究方程t2+2at+2=0的實(shí)根情況，再考查直線y=t與曲線hx=xex2圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).

類型2含f 2x的表達(dá)式中將fx替換成t.

例2函數(shù)fx=5x-1-1，x≥0，x2+4x+4，x<0，若關(guān)于x的方程f 2x-（2m+1）fx+m2=0有7個(gè)不同的實(shí)根，則m=.

解析令t=fx，則關(guān)于t的方程t2-（2m+1）t+m2=0存在兩個(gè)實(shí)根t1，t2.

不妨設(shè)t1

故關(guān)于x的方程f 2x-（2m+1）fx+m2=0有7個(gè)不同的實(shí)根就是函數(shù)y=fx圖象與直線y=t1，y=t2交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為7.

如圖2所示，要使得交點(diǎn)個(gè)數(shù)和為7，則

0

將t2=4代入方程t2-（2m+1）t+m2=0，

得m=2或m=6.

又t1t2=m2<16，故m=2.

分析由于方程f 2x-（2m+1）fx+m2=0含有f 2x，故將fx替換成t，轉(zhuǎn)化為研究方程

t2-（2m+1）t+m2=0實(shí)根的分布情況以及直線y=t與曲線y=fx圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).

類型3含f［fx］的表達(dá)式中將fx替換成t.

例3已知函數(shù)fx=ex，x≥0，-2x，x<0， 判斷關(guān)于x的方程f［fx］+k=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析令t=fx，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t=fx，①ft=-k，②中函數(shù)y=fx圖象與直線y=t交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

對(duì)于方程②，函數(shù)y=ft圖象與直線y=-k交點(diǎn)橫坐標(biāo)t的取值范圍如圖3所示.

當(dāng)-k≤0，即k≥0時(shí)，y=ft圖象與直線y=-k無(wú)交點(diǎn);

當(dāng)0<-k<1，即-1

當(dāng)-k=1，即k=-1時(shí)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)t1=-12，t2=0，對(duì)應(yīng)圖4中的0個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)1<-k

當(dāng)-k≥e，即k≤-e時(shí)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)t1<0，t2≥1，對(duì)應(yīng)圖4中的2個(gè)交點(diǎn).

綜合上述分析，當(dāng)k≥-1時(shí)，關(guān)于x的方程ffx+k=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有0個(gè);

當(dāng)-e

當(dāng)k≤-e時(shí)，關(guān)于x的方程ffx+k=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè).

分析由于方程ffx+k=0含有f［fx

］，故將fx替換成t，轉(zhuǎn)化為研究方程ft=-k以及直線y=t與曲線y=fx圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).

例4已知函數(shù)fx=ax+1，x≤0，log2x，x>0，則下列關(guān)于函數(shù)y=f［fx

］+1零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷正確的是.圖5圖6

A.無(wú)論a為何值，均有2個(gè)零點(diǎn)

B.無(wú)論a為何值，均有4個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)a>0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)， 當(dāng)a<0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)a>0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)， 當(dāng)a<0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)

解析令t=fx，則函數(shù)y=f［fx］+1的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為t=fx，③ft=-1，④的解.零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=fx圖象與直線y=t交點(diǎn)個(gè)數(shù).

當(dāng)a>0時(shí)，先考慮方程④，函數(shù)y=ft圖象與直線y=-1相交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為t1，t2.如圖5所示.顯然t1<0，0

再考慮方程③，如圖6所示，函數(shù)y=fx圖象與直線y=t1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè)，函數(shù)y=fx圖象與直線y=t2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè).

故當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=f［fx］+1有4個(gè)零點(diǎn).

同理可知，當(dāng)a<0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn).

分析由于方程ffx+1=0含有ffx，故將fx替換成t，轉(zhuǎn)化為研究方程ft=-1以及直線y=t與曲線y=fx圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).

通過(guò)對(duì)上述幾道試題的分析，不難發(fā)現(xiàn)此類復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，既注重基礎(chǔ)，又兼顧能力，較好地體現(xiàn)了中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系提出的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性要求.此類試題的解決思路較為固定，往往采用換元的方法，結(jié)合圖形，觀察一條直線與一條曲線圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).然而法無(wú)定法，試題千變?nèi)f化，在實(shí)際解題中，我們必須根據(jù)題目所給出的條件靈活地選擇合適的方法，方能以不變應(yīng)萬(wàn)變，實(shí)現(xiàn)解題的最優(yōu)化.

參考文獻(xiàn)：

［1］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀（2017版2020年修訂）[M].北京：高等教育出版社，2020.

［2］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.