分類討論思想在高考解題中的應用研究

邵雪潔 白偉

摘要：本文以2018-2022年數學（理）全國Ⅰ卷為例，統計了歷年分類討論思想求解的試題題型與分數占比，并逐一舉例說明.讓教師與學生充分認識分類討論思想的重要性與深刻性，為高中的教學和學習提供可信參考與啟發.

關鍵詞：分類討論；思想；高考題；應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0107-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：邵雪潔（1993-），女，河南省信陽人，碩士，從事數學教學研究.

白偉（1983-），男，寧夏中寧人，碩士，教授，從事計算機技術與計算數學研究.

基金項目：寧夏高等學校一流學科建設（教育學學科）資助項目（項目編號：NXYLXK2017B11）.

1 前言

數學是一門高度抽象的學科，因此產生了數學獨特的思想與方法.在高中數學學習中，思想與方法尤為重要.2022年高考，數學試卷的難度再次成為社會熱點，很多學生抱怨高考題太難.這背后暴露的問題是沒有正確掌握高中數學思想與方法，知識學習與掌握流于表面，導致基礎不扎實，所以，教師在教學中要注重對學生思想方法的滲透，學生在學習中也要關注知識背后的數學思想方法.分類討論是數學學習過程中的一種基本且重要的思想方法，可以有效將問題進行簡單化處理，大大降低解題的難度.近幾年高考中，分類討論思想涉及題目所占分數比例居高不下.因此，本研究從高考題出發，研究分類討論思想在數學解題中的重要作用，希望能為教師教學和學生學習提供一些啟發.

2 相關理論

《數學辭海》第六卷指出：分類討論方法是一種常用的研究方法，當被研究的問題包含多種可能的情況，而人們不能對它一概而論的時候，就需要按照問題出現的所有可能情況進行討論，綜合每種情況下相應的結論，從而使問題得以解決的方法.

分類討論思想的關鍵在于分類，分類是將研究對象的全體按照一定的邏輯分成不同的小集合.分類需要遵循同一性原則和合理性原則，保證分類結果的準確性.同一性原則，即同一問題的分類標準要統一，不能交叉使用不同標準，這樣才能避免分類結果的重疊或超出討論對象的整體范圍.從集合的角度來看，被分類的大集合可以由小集合合并組成，且小集合的交集是空集.合理性原則要求分類要有依據，根據研究對象和問題進行分類，而且要有利于問題的解決.當進行分類討論時，一般可以遵循以下步驟：確定討論對象的全體、對問題進行合理分類、對不同子類分別進行討論、將所有子類的結果進行總結歸納.

3 分類討論思想在高考解題中的應用統計

為了得到高考對于分類討論思想考查的一般規律，筆者選取了2018年到2022年高考數學全國Ⅰ卷（理科）的5套試題為例，對題目類型、分數占比和考查知識點三個方面進行分析，分析結論見表1.

3.1 題目類型

從表1的統計數據可知，高考對于分類討論思想考查的題目類型涵蓋了所有高考試題類型.填空和選擇大概率會涉及兩道題目，分值約10分.解答題中的考查基本設置在最后兩道綜合性較強的題目中和兩道選考題中，每套題目都有涉及，分值在25分左右.由此不難發現，對于分類討論思想的考查較為集中地分布在綜合性較強的難題之中.

3.2 分數占比分析

從表1的統計數據發現，2018-2022年高考題中關于分類討論思想考查的分數占比均在20%-30%之間，每年分數占比相對穩定.從占比數值上來看，分類討論思想的應用在高考考查中占有較大的比重，且居高不下，所以分類討論思想的教學和學習應該受到教師和學生的特別重視.

3.3 考查內容分析

縱觀5套高考題，關于分類討論思想的考查涉及內容很廣，幾乎涵蓋了數學學習的全部內容，主要包括概率問題、代數問題、函數問題、絕對值問題、幾何問題、數列問題等.分類討論思想運用范圍的廣泛性也決定了它在高中數學學習中的重要地位.

4 具體案例分析

4.1 函數問題

函數問題是高考考查的難點問題，分類討論思想與函數問題的結合也是屢見不鮮，而且常常是壓軸題目.函數單調性的討論、含參數問題、不等式恒成立問題、交點問題等都是常見的考查形式.在函數問題中如何進行分類討論，以2021年高考全國Ⅰ卷（理）第20題為例.

例1設函數f（x）=ln（a-x），已知x=0是函數y=xf（x）的極值點.

（1）求a；

（2）設函數g（x）=x+f（x）xf（x），證明：g（x）<1.

分析（1）第（1）問需要求出含參數a的函數y=xf（x）=xln（a-x）的導函數，將x=0代入導函數中，可由極值點得到對應導函數值為零，可求出a=1.注意接下來還要驗證當a=1時，x=0是函數y的極值點.

（2）由題意可得xf（x）≠0，所以自變量范圍是x<1且x≠0，將自變量分為0xf（x），為了方便求導函數，令1-x=t，可構造新的函數求極值，同樣需要討論新函數單調性，可以得出新函數滿足q（t）>q（1）=0，即可證明g（x）<1.

4.2 去絕對值問題

絕對值問題經常在高考選考題的不等式選講部分進行考查，考查的方式多是用絕對值定義函數問題.絕對值由于其自身的定義，在進行去絕對值時要進行分類討論.如果學生能夠進行正確的分類并將絕對值去掉，那么由絕對值定義的函數將會轉化為分段函數，然后根據函數性質進行作答即可.下面以2020年高考全國Ⅰ卷（理）第23題為例進行分析.

例2已知函數f（x）=3x+1-2x-1.

（1）畫出y=f（x）的圖象；

（2）求不等式f（x）>f（x+1）的解集；

分析（1）要畫出函數f（x）的圖象，需要判斷絕對值內的正負，將絕對值去掉.可將自變量的取值分成三類進行討論，即（-，-13］，（-13，1］和

（1，+）.函數表達式就可以變成無絕對值的分段函數，然后根據分段函數解析式，畫出函數f（x）圖象即可.

（2）將不等式進行移項后，用函數h（x）表示出f（x）-f（x+1），即h（x）=3x+1-3x+4+2x-2x-1，然后仿照第（1）問進行分類討論去絕對值后，在每一類情況下令hx>0求出解集，最后將所有結果進行歸納綜合，即可得出f（x）>f（x+1）解集.

4.3 解析幾何問題

幾何問題也是高中階段的重難點問題，是高考中的重要考查內容，常常以解答題的形式出現.直線斜率的存在問題、參數問題、圖形的位置關系等都是比較復雜的問題.這類問題通常需要應用分類討論思想將復雜的問題簡單化.下面以2022年高考全國Ⅰ卷（理）第20題進行舉例分析.

例3已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A（0，-2），B（32，-1）兩點.

（1）求E的方程；

（2）設過點P（1，-2）的直線交E于M，N兩點，過點M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足MT=TH.證明：直線HN過定點；

分析（1）第（1）問只需設橢圓方程為x2a2+y2b2=1，然后將A，B兩點坐標代入橢圓方程中，求出a2和b2的值即可.

（2）第（2）問的問題比較復雜，但是涉及直線方程，首先要對直線斜率是否存在進行討論.先討論直線l斜率不存的情況，則過點P的直線方程是x=1，聯立橢圓方程，可以得到點M，N的坐標，易求直線AB方程為y=23x-2，可求出點T坐標，根據MT=TH求出點H坐標，那么就可以求出直線HN的方程：y=（2+263）x-2，過點（0，-2）.

第二步討論直線斜率存的情況，可以設直線方程

為y+2=k（x-1），聯立橢圓方程求交點M（x1，y1）和N（x2，y2），可得x1+x2=6k（2+k）3k2+4，x1x2=3k（4+k）3k2+4，且T（3y12+3，y1），H（3y1+6-x1，y1），從而可求得直線HN的直線解析式，將（0，-2）代入驗證成立，最終得出結論：直線HN過定點（0，-2）.

4.4 概率問題

概率問題在高考中屬于必考題，很多題目的求解需要學生對問題進行分類，例如在排列組合、比賽問題、涂色問題中，都需要學生能夠把握特殊元素或者特殊位置進行分類討論.一般來說難度不大，偶爾也會有相對復雜的問題，但是無論何種難度的概率問題，學生能夠把握問題的本質進行分類是正確解決問題的前提和關鍵.下面以2018年高考全國Ⅰ卷（理）第15題為例進行闡述.

例4從2位女生，4位男生中選3個人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有種.

分析本題考查實際情境中組合問題的概率求解，設置生活中的問題情景，考查學生的實際問題求解能力.學生只需將題目中的問題分成兩類進行討論，即一位女生參加和兩位女生參加，然后分別求出概率，將兩種情況的概率相加即可.

5 總結

本文通過對高考題的研究，發現高考特別重視對學生分類討論思想的考查.這其實不難理解，高中數學學習的特點是內容多、難度大，而分類討論思想能夠簡化研究對象，幫助發展學生的邏輯思維能力，所以有關分類討論思想的命題在高考中長期占有著重要地位.因此，分類討論思想方法的掌握無疑是高中數學學習成功的關鍵.教師在平時的教學中要以知識為載體，注重分類討論思想方法的培養，從而提高學生問題解決的能力.

參考文獻：

［1］《數學辭海》編輯委員會.數學辭海（第六卷）[M].上海：上海教育出版社，1998.

[2] 葉立軍.數學方法論[M].杭州：浙江大學出版社，2008.