從關(guān)聯(lián)速度入手讓思維進(jìn)階發(fā)生

摘要：關(guān)聯(lián)速度問題與運(yùn)動和力、功和能、沖量和動量都有密切的關(guān)系，如何高效地掌握關(guān)聯(lián)速度之間的關(guān)系，關(guān)聯(lián)速度之間的物理本質(zhì)是什么呢？本文利用思維進(jìn)階的方式，對三類關(guān)聯(lián)速度問題做探究，旨在通過分析做出歸納，體現(xiàn)邏輯，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，給學(xué)生提供解題思路，最終達(dá)到提高解題能力的目的．

關(guān)鍵詞：關(guān)聯(lián)速度；思維進(jìn)階；速度分解；能量守恒

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0113-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：史劍輝（1990.10-），男，安徽省合肥人，本科，從事高中物理教學(xué)研究.

1 問題提出

如何對關(guān)聯(lián)速度進(jìn)行有效地復(fù)習(xí)教學(xué)，讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生在學(xué)生身上，使學(xué)生的思維能力在課堂上進(jìn)階呢？本文將從三個階段，針對學(xué)生學(xué)習(xí)的實際情況，通過改變物理題設(shè)條件，實現(xiàn)思維的三層遞進(jìn)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生物理核心素養(yǎng)、具備解決實際問題的能力．第一層次是幾乎所有學(xué)生都知道的將合速度分解為沿繩（桿）方向的分速度和垂直于繩（桿）方向的分速度，兩物體沿繩（或桿）方向分速度大小相等；第二層次是接觸處兩物體沿彈力方向的分速度相等；第三層次由能量守恒定律列方程求解．

2 思維進(jìn)階

2.1 繩物連接

例1（多選）如圖1所示，做勻速直線運(yùn)動的小車A通過一根繞過定滑輪的長繩吊起一重物B，設(shè)重物和小車速度的大小分別為vB、vA，則（）.

A．vA>vB

B．vA

C．繩的拉力等于B的重力

D．繩的拉力大于B的重力

解析小車A向左運(yùn)動的過程中，小車的速度是合速度，可分解為沿繩方向的分速度與垂直于繩方向的分速度，如圖2所示，由圖可知vB=vAcosθ，則vA>vB，小車向左運(yùn)動的過程中θ角減小，vB增大，B向上做加速運(yùn)動，故繩的拉力大于B的重力．選項A、D正確．

點(diǎn)評本題考查關(guān)聯(lián)速度問題，旨在引出關(guān)聯(lián)速度的概念和基本解題方法，引導(dǎo)學(xué)生繩（或桿）與物體接觸時，若繩（或桿）與物體的運(yùn)動方向不共線時二者的速度關(guān)系．學(xué)生們都會按套路“將合速度沿繩（或桿）方向和垂直繩（或桿）方向進(jìn)行分解，兩物體沿繩（或桿）方向分速度大小相等”求解．這是思維的第一階段，用此方法也能完成好些試題，但這個結(jié)論具有廣泛性嗎？

2.2 桿物連接

例2如圖3所示，長為L的輕桿一端用鉸鏈固定于O點(diǎn)處，另一端固定小球A，桿靠在質(zhì)量為M、高為h的物塊上．若物塊以速度v向右運(yùn)動且桿與物塊始終保持接觸，則當(dāng)桿與水平方向的夾角為θ時，小球A的速率為（）.

A．vLsinθcosθhB．vLsin2θh

C．vLhD．無法確定

解析如圖4所示，設(shè)物塊與桿接觸點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為x，OA長為L，sinθ=hx，將物塊的速度分解為沿桿的分速度和垂直桿的分速度，有v1=vsinθ，桿運(yùn)動時桿上各點(diǎn)的角速度是相同的，v1x=vAL，解得：vA=vLsin2θh，選項B正確．

2.3 多繩物連接

例3（2022年湖北卷）打樁機(jī)是基建常用工具．某種簡易打樁機(jī)模型如圖5所示，重物A、B和C通過不可伸長的輕質(zhì)長繩跨過兩個光滑的等高小定滑輪連接，C與滑輪等高（圖中實線位置）時，C到兩定滑輪的距離均為L．重物A和B的質(zhì)量均為m，系統(tǒng)可以在如圖虛線位置保持靜止，此時連接C的繩與水平方向的夾角為60°．某次打樁時，用外力將C拉到圖中實線位置，然后由靜止釋放．設(shè)C的下落速度為3gL5時，與正下方質(zhì)量為2m的靜止樁D正碰，碰撞時間極短，碰撞后C的速度為零，D豎直向下運(yùn)動L10距離后靜止（不考慮C、D再次相碰）．A、B、C、D均可視為質(zhì)點(diǎn)．

（1）求C的質(zhì)量；

（2）若D在運(yùn)動過程中受到的阻力F可視為恒力，求F的大小；

（3）撤掉樁D，將C再次拉到圖中實線位置，然后由靜止釋放，求A、B、C的總動能最大時C的動能．

解析（1）系統(tǒng)在如圖5虛線位置保持靜止，以C為研究對象，根據(jù)平衡條件可知mCg=2mgcos30°，解得mC=3m．

（2）CD碰后C的速度為零，設(shè)碰撞后D的速度v，根據(jù)動量守恒定律可知mC3gL5=2mv，解得v=32gL5，CD碰撞后D向下運(yùn)動L10距離后停止，根據(jù)動能定理可知（2mg-F）L10=0-122mv2，解得F=6.5mg．

（3）設(shè)某時刻C向下運(yùn)動的速度為v′，AB向上運(yùn)動的速度為v，圖5中虛線與豎直方向的夾角為α，由幾何知識和機(jī)械能守恒有12mcv′2+212mv2=mcgLtanα-2mg（Lsinα-L），由速度分解，v=v′cosα，令y=mcgLtanα-2mg（Lsinα-L），對上式求導(dǎo)數(shù)得dydα=3mgL-1sin2α+2mgLcosαsin2α，當(dāng)dydα=0時，解得cosα=32，即α=30°，此時y=3mgLtanα-2mg（Lsinα-L）=mgL，解得v′2=gL34+32，此時C的最大動能為Ekm=12mcv′2=（4-23）mgL．

2.4 總結(jié)提升

示意圖分解示意圖速度關(guān)系

物桿連接

v桿=v物sinα（接觸處兩物體沿彈力方向的分速度相等）

v球sinα=v物（接觸處兩物體沿彈力方向的分速度相等）

物繩連接

v繩=v物sinα（物體沿繩方向的分速度與繩速度相等）

vB=vAsinα（接觸處物體、某一繩沿彈力方向的分速度相等）

略

v繩=2v物sinα（接觸處物體、繩沿彈力方向的分速度不相等）

略

vB=2vAsinα2（接觸處物體、繩沿彈力方向的分速度不相等）

對例1，設(shè)細(xì)繩的拉力為F，繩與水平面所成的傾角為α，由能量守恒定律，F(xiàn)v物cos（π-α）+Fv繩=0，解得：v物cosα=v繩，可看成把物體的水平合速度分解為沿繩的分速度和垂直繩的分速度；對例2，設(shè)桿和物塊間的相互作用力為F，桿與水平面所成的傾角為α，由能量守恒定律，F(xiàn)v桿cosπ+Fv物cos（π2-α）=0，解得：v桿=v物sinα，可看成把物體的水平合速度分解為沿桿的分速度和垂直桿的分速度；對例3，設(shè)每根細(xì)繩的張力為F，細(xì)繩與水平面所成的傾角為α，由能量守恒定律，2Fv繩+2Fsinα·v物·cosπ=0，解得：v繩=v物sinα，相當(dāng)于把物體的豎直速度分解為沿繩的分速度和垂直繩的分速度.

歸納總結(jié)：關(guān)聯(lián)速度問題本質(zhì)上是能量守恒定律在運(yùn)動的合成與分解中的具體應(yīng)用，只有回歸到能量守恒定律，問題才能迎刃而解了，背一些碎片化的結(jié)論，那都是不全面的．

將部分關(guān)聯(lián)速度結(jié)論匯總?cè)绫?所示．

關(guān)聯(lián)速度是運(yùn)動板塊中一類重要的物理問題，是運(yùn)動合成與分解的典型代表，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)、甚至是痛點(diǎn)．本文針對學(xué)生學(xué)習(xí)的實際情況，通過改變物理題設(shè)條件，實現(xiàn)思維的三層遞進(jìn)，讓學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)深度，實現(xiàn)思維進(jìn)階，如果學(xué)有余力的學(xué)生，教師還可設(shè)計不同類型的關(guān)連新情景，如：兩線交點(diǎn)關(guān)連，照射關(guān)聯(lián)等，還可用其他的方法拓展學(xué)生的視野，如：位移分解法（微元法）、導(dǎo)數(shù)法、等量分解法、相對運(yùn)動法、轉(zhuǎn)換參考系法、功能關(guān)系法等求解，在課余進(jìn)一步提升自己的素養(yǎng)，提高物理解題能力．

參考文獻(xiàn)：

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[2] 許文.牽連體速度問題解析[J].教學(xué)考試，2021（04）：60-63.