切線放縮在函數雙零點問題中的應用

摘要：文章介紹了函數的凹凸性，并從函數凹凸性的視角，利用切線放縮對一類雙零點的函數壓軸題進行解答，并歸納其規律.

關鍵詞：凹凸性；切線放縮；雙零點；數形結合

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0023-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：林國紅（1977-），男，廣東省佛山人，本科，中學高級教師，從事數學教學研究.

函數的凹凸性是高等數學研究函數的性質之一，雖然高中數學中沒有對函數的凹凸性作具體要求，但以函數凹凸性為背景的試題屢見不鮮，這些試題情景新穎，能考查學生的創新能力和潛在的數學素質，常作為壓軸題出現.

下面簡單介紹函數的凹凸性，并從函數凹凸性的視角，利用切線放縮對一類雙零點的函數壓軸題進行探究，供大家參考.

1 函數的凹凸性及常用性質

1.1 凹凸函數的定義

設函數y=f（x）在區間I上連續，如果對于x1，x2∈I，恒有f（x1+x22）

設函數y=f（x）在區間I上連續，如果對于x1，x2∈I，恒有f（x1+x22）>f（x1）+f（x2）2，則稱y=f（x）的圖象是凸（上凸）的，函數y=f（x）為凸（上凸）函數.

1.2 凹凸函數的常用性質

1.2.1 凹凸函數的判定定理

設f（x）在［a，b］上連續，在（a，b）內具有一階和二階導數，那么：

若f（x）在（a，b）內有f ″（x）>0，則f（x）在［a，b］上是下凸函數；

若f（x）在（a，b）內有f ″（x）<0，則f（x）在［a，b］上是上凸函數.

1.2.2 切線放縮（切線不等式）

若f（x）在區間I為下凸函數，則對于x0∈I，有f（x）≥f ′（x0）（x-x0）+f（x0）；

若f（x）在區間I為上凸函數，則對于x0∈I，有f（x）≤f ′（x0）（x-x0）+f（x0）.

評注下凸函數圖象上任意一點的切線在函數圖象的下方，上凸函數圖象上任意一點的切線在函數圖象的上方.

2 切線放縮估計函數雙零點范圍的基本原理

若f ″（x）>0，則f（x）在區間Ⅰ為下凸函數，因此f ′（x）在區間I上單調遞增，從而f（x）最多有一個最小值，即下凸函數的圖象僅有兩種形態：無最小值型（如圖1）和有一個最小值型（如圖2）.

若f（x）在區間Ⅰ為下凸函數，且f（x）有最小值，f（x）的圖象與y=m交于A（x1，m），B（x2，m）兩點，f（x）在點C處的切線l1，在點D處的切線l2（如圖3）.這樣我們就可以利用切線l1與l2和y=m的交點來估計x1與x2相關的范圍，這是切線放縮估計函數雙零點范圍的基本原理.

對于上凸函數，其原理與下凸函數類似，限于篇幅，不再給出.

3 典型例題

例1（2021年新高考Ⅰ卷22題）已知函數f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）設a，b為兩個不相等的正數，且blna-alnb=a-b，證明：2<1a+1b

解析（1）f（x）的定義域為（0，+），且f ′（x）=-lnx，故f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+）上單調遞減.

（2）由（1）可知，f（x）在（0，+）上只有一個極值點1.

因為blna-alnb=a-b

blna-alnbab=a-bab

lnaa+1a=lnbb+1b

1a（1-ln1a）=1b（1-ln1b）

f（1a）=f（1b）.

若令x1=1a，x2=1b，則原命題等價于：

已知f（x1）=f（x2），證明：2

下面僅證x1+x2

設0

設f（x）與y=m，m∈（0，1）交于A，B兩點，

A（x1，m），B（x2，m），則0

由于f（x）在點（e，0）處的切線方程為

y=-x+e

設切線與y=m交于點C（xc，m），則

xc=-m+e.

直線y=x與y=m的交點為（m，m），如圖4，所以0

兩式相加，即得x1+x2

例2（2021年湖北部分重點中學聯考21題）已知函數f（x）=3x-x3，若關于x的方程f（x）=a有兩個正實數根x1，x2，且x1

（1）求實數a的取值范圍；

（2）求證：x2-x1<2-a2.

解析（1）a的取值范圍為（0，2），過程略.

（2）由于f ′（x）=3-3x2，f ″（x）=-6x，可得

f（x）在（0，+）上是上凸函數.

易得f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，3）上單調遞減，故當x∈［0，3］時，f（x）max=f（1）=2，作出f（x）的圖象，如圖5.

設y=f（x）與y=a，a∈（0，2）交于A，B兩點，

A（x1，a），B（x2，a），則0

由于f（x）在點（0，0）處的切線方程為y=3x，設切線y=3x與y=a交于點C（xc，a），則xc=a3.

由于f（x）在點（3，0）處的切線方程為

y=-6x+63，設切線y=-6x+63與y=a交于點D（xD，a），則xD=3-a6.

如圖5可知，

x2-x1

=3-a6-a3

=3-a2.

故x2-x1<2-a2.

例3（2020年合肥三診理科21題）已知函數f（x）=1-x2ex（e為自然對數的底數）.

（1）求函數f（x）的零點x0，以及曲線y=f（x）在x=x0處的切線方程；

（2）設方程f（x）=m（m>0）有兩個實數根x1，x2，求證：|x1-x2|<2-m（1+12e）.

解析（1）當f（x）=1-x2ex=0時，解得x=1或x=-1，故f（x）的零點為1或-1.

由于f ′（x）=（x-1）2-2ex，

則f ′（1）=-2e.

所以曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為

y=-2e（x-1）.

由于f ′（-1）=2e，

所以曲線y=f（x）在x=-1處的切線方程為

y=2e（x+1）.

（2）由（1）可知f ′（x）=（x-1）2-2ex，

則f ′（0）=-1，且f（0）=1.

所以曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為

y=-x+1.

又因為f ″（x）=-（x-2）2+3ex，

故當x∈（-1，2-3）時，f ″（x）<0；

當x∈（2-3，1）時，f ″（x）>0.

所以f（x）在［-1，2-3］是上凸函數，在（2-3，1］是下凸函數.

從而當x∈（-1，0］時，直線y=2e（x+1）在曲線y=f（x）上方.

即2e（x+1）>1-x2ex；

當x∈（0，1）時，直線y=-x+1在曲線y=f（x）上方.

即1-x2ex<-x+1.

因為方程f（x）=m（m>0）有兩個實數根x1，x2，設直線y=m與曲線y=f（x）交于A，B兩點，則

A（x1，m），B（x2，m），直線y=2e（x+1）與直線y=m交于點C（x3，m），直線y=-x+1與直線y=m交于點D（x4，m），如圖6.

聯立y=2e（x+1），y=m，

解得x3=m2e-1.

以及y=-x+1，y=m，

解得x4=1-m.

如圖6可知，

|x1-x2|<|x3-x4|

=1-m-（m2e-1）

=2-m（1+12e）.

評注上述典例中問題（2）的命題背景都是立足于函數凹凸性中的切線放縮，解題思路是通過切線與直線y=m的交點橫坐標來估計出兩個零點和（或差）的范圍.切線放縮法能降低思維強度，簡化推理和運算過程，具有直觀、簡潔的特點，解題方法新穎獨到，充分體現數形結合的魅力.需要注意的是，在例3中如果選擇曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=-2e（x-1）來放縮，則得不到想要的結果，因為當x∈（0，1）時，切線y=-2e（x-1）并不在曲線y=f（x）的上方（如圖7）.所以，準確選擇切線是解題的關鍵.

以函數凹凸性中的切線放縮為命題背景的試題還有很多，通過以上幾道例題，不難體會函數凹凸性等相關知識的豐富性，雖然函數凹凸性不屬于高中數學的內容，將其“鑲嵌”在高中試題中可謂獨具匠心.這也表明：高等數學的相關理論是命制一些具有創新力與區分度試題的重要來源.若能多了解一些函數凹凸性的相關理論知識，可以“登高望遠”，便于找到問題的本質內涵，養成對試題背后的內在關系進行分析與思考習慣.

最后提供兩個題目作為練習，以加深體會切線放縮的解題思路.

練習1（2020年哈爾濱二模理21題）已知函數f（x）=mxlnx-（m+1）lnx，f ′（x）為函數f（x）的導數.

（1）討論函數f ′（x）的單調性；

（2）若當m>0時，函數f（x）與g（x）=3e-x的圖象有兩個交點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1

練習2（2020年1月清華大學中學生學術能力測試理21題）已知函數f（x）=（x+1）（ex-1）.

（1）求f（x）在點（-1，f（-1））處的切線方程；

（2）若方程f（x）=b有兩個實數根x1，x2，且x1

參考文獻：

［1］林國紅.撥云見月 解法自然來——2018年全國卷Ⅲ理科第21題的解法探析[J].中學數學研究（華南師范大學版），2019（07）：53+1-2.

[2] 林國紅.2020年高考全國Ⅲ卷理科第21題的探析[J].中學數學研究（華南師范大學版），2021（01）：53+1-3.

［3］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.