數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消法

摘要：數(shù)列求和是高考、模考以及各種聯(lián)考中最常見(jiàn)的數(shù)列考查形式.本文結(jié)合近幾年高考命題規(guī)律，歸納了裂項(xiàng)相消法的幾種類(lèi)型并給出每種類(lèi)型的求解策略.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；數(shù)列求和；裂項(xiàng)相消法

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0033-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡(jiǎn)介：李發(fā)明，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)列問(wèn)題在高考中常常是以求通項(xiàng)公式、求前n項(xiàng)和的考查形式出現(xiàn).在數(shù)列求和問(wèn)題中，裂項(xiàng)相消法占有舉足輕重的地位.本文對(duì)裂項(xiàng)相消法的多種類(lèi)型進(jìn)行梳理和歸納.

11nn+k=1k1n-1n+k型

例1（人教A版必修5習(xí)題） 數(shù)列1nn+1的前n項(xiàng)和Sn=11×2+12×3+…+1nn+1，研究一下，能否找到求Sn的一個(gè)公式？你能對(duì)這個(gè)問(wèn)題作一些推廣嗎？

解析因?yàn)?nn+1=1n-1n+1，

所以Sn=11×2+12×3+…+1nn+1

=1-12+12-13+…+1n-1n+1

=1-1n+1

=nn+1.

練習(xí)1曲線(xiàn)y=n2x+lnxn∈N*在x=2n處的切線(xiàn)斜率為an，則數(shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和為.

解析由已知，得y′=n2+1x.

所以y′x=2n=n2+n2=n.

所以an=n.

所以1a1a2+1a2a3+…+1anan+1

=11×2+12×3+…+1nn+1

=1-12+12-13+…+1n-1n+1

=1-1n+1

=nn+1.

推廣類(lèi)似地，我們還可以求出通項(xiàng)公式為

an=1nn+k=1k1n-1n+k

或bn=12n-12n+1=1212n-1-12n+1

或cn=1nn+1n+2

=121nn+1-1n+1n+2

或dn=nn+1！=1n！-1n+1！

或en=n·n！=n+1！-n！的數(shù)列的前n項(xiàng)和.

21n+n+k=1kn+k-n型

例2（2018年湖南株洲醴陵二中、四中聯(lián)考）數(shù)列1n+1+n的前2017項(xiàng)的和為.

解析因?yàn)?n+1+n=n+1-n，

所以12+1+13+2+…+12018+2017

=2-1+3-2+…+2018-2017

=2018-1

練習(xí)2已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=2，an+1-an=4an+1+an，若數(shù)列1an+1+an的前n項(xiàng)和為5，則n=.

解析因?yàn)閍n+1-an=4an+1+an，

所以a2n+1-a2n=4.

所以a2n是首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列.

所以a2n=4+n-1×4=4n.

所以an=2n.

所以1a2+a1+1a3+a2+…+1an+1+an

=122+21+123+22+…+12n+1+2n

=122-1+3-2+…+n+1-n

=12n+1-1.

令12n+1-1=5，解得n=120.

32n2n+12n+1+1=12n+1-12n+1+1型

例3（2018河北衡水中學(xué)八模） 已知函數(shù)fx=ax+b（a>0且a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，3，Q2，5.當(dāng)n∈N*時(shí)，an=fn-1fn·fn+1，記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.當(dāng)Sn=1033時(shí)，n的值為.

解析因?yàn)閍+b=3，a2+b=5，

所以a=2，b=1或a=-1，b=4（舍）.

所以fx=2x+1.

所以an=2n+1-1（2n+1）（2n+1+1）=12n+1-12n+1+1.

所以Sn=13-15+15-19+…+12n+1-12n+1+1=13-12n+1+1.

令Sn=1033，解得n=4.

練習(xí)3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a2=8，Sn=an+12-n-1.

（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列2×3nanan+1的前n項(xiàng)和Tn.

解析（1）an=3n-1（過(guò)程略）.

（2）2×3nanan+1=

2×3n3n-13n+1-1

=13n-1-13n+1-1

=1an-1an+1.

所以Tn=2×31a1a2+2×32a2a3+…+2×3nanan+1

=1a1-1a2+1a2-1a3+…+1an-1an+1

=1a1-1an+1

=12-13n+1-1.

44n2n-12n+1=12n-1+12n+1型

例4（2014年山東）已知等差數(shù)列an的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

（2）令bn=-1n-1·4nanan+1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.

解析（1）因?yàn)閍n的公差為2，

所以Sn=a1n+nn-1.

所以2a1+22=a14a1+12.

解得a1=1.

所以an=2n-1.

（2）bn=（-1）n-1·4nanan+1

=-1n-1·4n2n-12n+1

=-1n-1·12n-1+12n+1.

所以Tn=1+13-13+15+…+-1n-1·12n-1+12n+1.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

Tn=1+13-13+15+…+12n-1+12n+1

=1+12n+1

=2n+22n+1;

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

Tn=1+13-13+15+…-12n-1+12n+1

=1-12n+1

=2n2n+1.

所以Tn=2n+22n+1，n為奇數(shù)，2n2n+1，n為偶數(shù).

練習(xí)4在公差不為零的等差數(shù)列an中，a1=2，且a1，a2，a4成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn=-1n+1·2an+2an+1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.

解析（1）an=2n（過(guò)程略）.

（2）bn=-1n+1·22n+22n+1

=-1n+1·1n+1n+1.

所以Tn=1+12-12+13+…+-1n+1·1n+1n+1.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

Tn=1+12-12+13+…+1n+1n+1

=1+1n+1

=n+2n+1;

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

Tn=1+12-12+13+…-1n+1n+1

=1-1n+1

=nn+1.

所以Tn=n+2n+1，n為奇數(shù)；nn+1，n為偶數(shù).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.