例談“以直代曲”思想在證明代數不等式中的應用

例談“以直代曲”思想在證明代數不等式中的應用

金毅

（內蒙古自治區呼和浩特市第二中學010000）

摘要：本文以函數與導數為主要工具，主要應用“切線放縮”與“割線放縮”證明代數不等式，突出數形結合思想中的“以直代曲”思想. 本文突出呈現函數“凸性”在此方法中的重要性，并把它作為選擇具體直線時的思路切入點.

關鍵詞：代數不等式；證明；以直代曲；函數的凸性

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0046-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：金毅（1992-），男，碩士，從事中學數學教學研究.

我們經常會見到一類條件不等式，給出有限個變量的范圍或它們和的值，之后證明與這些變量有關的代數式的和的取值范圍.

一種通常的表現形式是：

若∑ni=1xi=M，證明：∑ni=1fxi≥N.

當然，等號或不等號的呈現形式也不唯一，以上僅作為一個常見表示展現給大家，目的是從形式上先做了解. 我們可以看到，很多解答中對這類問題都展現了非常高超的配湊變形技巧，這讓我們不禁思考：對于這類問題在思考時的總體方向是什么？本文就將深入探究這類問題，將思考的過程予以展現，找出問題思考的總體方向，尋找隱藏在變形技巧后面的總體規律，并形成主要的解題思想——以直代曲.

1 “以直代曲”思想之割線放縮技巧

割線放縮是以直代曲思想的重要呈現，它的理論基礎是函數的凸性. 關于函數的凸性，我們利用二階導數判斷，當f ″x≤0在區間M上成立時，

fx在區間M上為上凸函數；當f ″x≥0在區間M上成立時，fx在區間M上為下凸函數.

例1（數學通訊322問題）已知a，b，c，d∈0，1，證明：a1+b+b1+c+c1+d+d1+a≤2.

分析構造函數fx=11+xx∈0，1，則

f ′x=-11+x2，f ″x=21+x3，

可知道fx在0，1上是一個下凸函數.

接下來，我們要把函數放大成一條“直線”，也即一次函數，但是為了確保在x∈0，1上fx≤kx+b，我們采取一個類似于“封口”的操作. 我們取函數對應在定義域區間端點的兩點A0，1，B1，12，求解出直線AB的方程為y=1-12x. 如圖1所示.

這樣，我們得到了在0，1上的不等關系

11+x≤1-12x.

可以得到11+a≤1-12a.

根據以上分析，我們得到

d1+a≤d-12ad.

同理，

a1+b≤a-12ab，

b1+c≤b-12bc，

c1+d≤c-12cd，

累加以上4式，可得

a1+b+b1+c+c1+d+d1+a≤a+b+c+d-12ab+bc+cd+da=-12ab+bc+cd+da-2a-2b-2c-2d+4-4=-12［a-1b-1+b-1c-1+c-1d-1+a-1d-1］+2≤2.

故原不等式成立，取等條件為a=b=c=d=1.

點評本題是利用割線放縮的一道典型例題，首先，整體的放縮方向是“往大放”，同時考慮到函數的凸性是“下凸”，于是想到“封口”處理. 從圖1來看，直線和函數是“割線”關系，故名割線放縮. 事實上，根據剛才對例題的分析可以看到，函數的凸性是在放縮過程中必須要重點考慮的一個部分. 可以看到，割線放縮的關鍵是根據不等式的結構形式，找到要研究的函數，之后研究這個函數的凸性區間端點等非常重要的信息，之后確定直線的位置.

2 “以直代曲”思想之切線放縮技巧

通過剛才的分析，我們知道分析函數的凸性是極為重要的，這點不僅僅是應用在割線放縮中，切線放縮也至關重要. 同樣，切線放縮也是“以直代曲”思想的重要呈現.

例2設x，y，z均為正實數，且x+y+z=1，求三元函數fx，y，z=3x2-x1+x2+3y2-y1+y2+3z2-z1+z2的最小值.

分析根據題意，本題需要研究的函數為gx=3x2-x1+x2，g′x=x2+6x-11+x22，g′′x=2-x3-9x2+3x+31+x23.

事實上，我們分別將0和1代入二階導數，發現符號相反，這說明在區間0，1上，函數的凸性發生了改變. 即使凸性不一致也沒關系，我們看看本題可能會用到的取等條件. 我們猜測是x=y=z=13，計算在此處gx的二階導數g″13>0，說明此處函數下凸. 根據不等式的方向是“往小放”，所以我們使用切線放縮.

如圖2，g′13=910，g13=0，這樣可以得到直線為y=910x-13.

這說明3x2-x1+x2≥910x-13.

根據剛才的分析，0，1上的凸性不一致，所以我們要用作差配湊的方式嚴謹證明此不等式.

3x2-x1+x2-910x-13=x-13x1+x2-310.

當x∈0，13時x-13≤0，x1+x2-310≤0（x1+x2在0，1是單調遞減函數）. 另外，當x∈13，1時，x-13≥0，x1+x2-310≥0.

綜上，可得3x2-x1+x2-910x-13≥0成立，取等條件當且僅當x=13.

所以3x2-x1+x2≥910x-13，3y2-y1+y2≥910y-13，3z2-z1+z2≥910z-13.

將以上三式相加得fx，y，z≥910（x+y+z-1）=0，故最小值為0，當且僅當x=y=z=13.

點評本題依據函數在取等條件時的凸性決定使用切線放縮. 本題的函數凸性不唯一，所以在證明時我們用了作差比較來嚴格證明. 例1的函數凸性唯一，所以我們使用圖象說明即可. 切線放縮是一種更為常用的與函數凸性結合的方法，一般的步驟仍然是先分析函數凸性，根據不等號方向確定切線放縮的直線，同時，切點可以根據取等條件確定.

例3設a，b，c是正實數，證明：2a+b+c22a2+b+c2+2b+a+c22b2+a+c2+2c+a+b22c2+a+b2≤8.分析 本題表面上看似乎無法馬上找到需要研究的函數，但是我們發現這個不等式中的三個分式都是齊次式，我們不妨設a+b+c=1，原不等式化為

a+123a2-2a+1+b+123b2-2b+1+c+123c2-2c+1≤8.

我們研究的函數可以選為

fx=x+123x2-2x+1.

所以有f ′x=4x+11-2x3x2-2x+12，f ′13=4，f ″x=124x3+3x2-6x+13x2-2x+13，

x=12時函數取得極大值，

f ″0>0，f ″12<0，凹凸性在0，1上不一致，所以我們來看x=13處的函數凸性，

f ″13<0，說明函數在此處上凸. 結合不等號的方向，我們選擇切線放縮.可得直線方程為y=4x+43.

因凹凸性不一致，我們用作差比較的方法證明不等式x+123x2-2x+1≤4x+43.

x+123x2-2x+1-4x-43=-36x3+15x2+2x-133x2-2x+1.

令hx=-36x3+15x2+2x-1，

h′x=-108x2+30x+2=1-3x36x+2，

則h（x）在0，1上存在唯一零點x=13，所以在0，1上，hx的最大值h13=0，所以-36x3+15x2+2x-1≤0成立，且3x2-2x+1>0恒成立.

綜上x+123x2-2x+1-4x-43≤0成立.

可以進一步得到a+123a2-2a+1≤4a+43，b+123b2-2b+1≤4b+43c+123c2-2c+1≤4c+43，，

疊加以上三式，可以得到a+123a2-2a+1+b+123b2-2b+1+c+123c2-2c+1≤4a+b+c+4=8.

點評本題使用了切線放縮，在本題的解決中，我們令a+b+c=1，接下來解釋這樣處理的原因. 事實上，我們可以令a+b+c=s，原不等式左邊為a+s22a2+s-a2+b+s22b2+s-b2+c+s22c2+s-c2，接下來三個分式的分子分母同除s2，并令a′=as，b′=bs，c′=cs，得

as+122as2+1-as2+bs+122bs2+1-bs2+cs+122cs2+1-cs2=a′+123a′2-2a′+1+b′+123b′2-2b′+1+c′+123c′2-2c′+1.

所以，令a+b+c=1，得到的是等價不等式，這樣處理是合理的.

3 “以直代曲”思想之切割線放縮的綜合應用

例4已知非負實數a，b，c，d滿足a+b+c+d=2，求ab2+1+bc2+1+cd2+1+da2+1的最小值.分析我們要研究的函數是fx=1x2+1，f ′x=-2xx4+2x2+1，f ″x=6x2-2x6+3x4+3x2+1.

可以看出，在0，2上函數凹凸性不唯一，應該是先上凸再下凸. 結合要放縮的方向，我們總體上使用割線放縮. 但是，因為是先上凸后下凸，如果連接區間端點的話就會穿過圖象，我們的考慮是從區間左端點向下凸部分引切線. 也就是說，我們用“切點”作為割線放縮“封口”的另一個端點.

令切點為x0，y0，區間左端點為A0，1，根據切線關系列方程，得

y0=1x20+1，1-y0=-2x0x40+2x20+10-x0.

解得x0=1，y0=12，所以割線放縮的方程為y=1-12x.如圖3，是割線放縮的圖象，但是在確定這條割線時使用的是切線方法找到點B.

所以，我們需要證明不等式11+x2≥1-12x，作差證得11+x2+12x-1=xx-1221+x2≥0.

于是我們得到ab2+1≥a-12ab，bc2+1≥b-12bc，cd2+1≥c-12cd，da2+1≥d-12da.

疊加以上4式，得

ab2+1+bc2+1+cd2+1+da2+1≥a+b+c+d-12ab+bc+cd+da=2-a+cb+d2≥2-12a+b+c+d22=32，

取等條件為a=1，b=1c=0d=0或a=1，b=0c=0d=1或a=0，b=1c=1d=0或a=0，b=1，c=0，d=1.

點評從本題來看，雖然主體使用了割線放縮，但是其中的一個端點使用了切點，也就是說，本題綜合使用了前面的兩個“以直代曲”的思路. 事實上，在具體利用直線放縮不等式的時候，不是固定用切線或者是割線，而是一定要根據函數的凸性，“因地制宜”地選擇解決問題的方法.

本文展示了“以直代曲”的具體思想來解決代數不等式問題，給出了每一個放縮時具體用的函數圖象. 在實際做題中，函數的凸性分析是至關重要的. 一定要在具體的問題中靈活運用，用圖形從直觀形象的分析中盡快找到解決問題的思路.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.