利用函數的性質求參數的取值范圍

摘要：函數和不等式是歷年高考的重點和難點，本文介紹了在不等式恒成立或方程的問題中含參數問題的幾種求參數取值范圍的方法.

關鍵詞：函數的性質；參數的取值范圍；不等式

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0050-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：田素偉，高級教師，從事高中數學教學研究.

函數和不等式是歷年高考的重點和難點，近年來，數學高考中出現了一些重視基礎、考查能力的新型試題，特別是在不等式恒成立或方程的問題中含參數的問題更是精彩紛呈，如何求這類問題中參數的取值范圍？下面就常見的幾種題型分別舉例說明.

1 構造函數求參數的取值范圍

例1如果x∈2，3時，不等式2021x+a-2021ax2+1≥2022-x-a-2022-ax2-1恒成立，求實數a的取值范圍.

解析由2021x+a-2021ax2+1≥2022-x-a-2022-ax2-1，可得

2021x+a-2022-x-a≥2021ax2+1-2022-ax2-1.

構造函數f（x）=2021x-2022-x，

由此可知f（x）=2021x-2022-x在（-，+）是增函數.

所以f（x+a）=2021x+a-2022-x-a，

f（ax2+1）=2021ax2+1-2022-ax2-1.

由2021x+a-2022-x-a≥2021ax2+1-2022-ax2-1可得

f（x+a）≥f（ax2+1）.

所以x+a≥ax2+1.

所以原題可化為：當x∈2，3時，不等式x+a≥ax2+1恒成立，求實數a的取值范圍.

當x∈2，3時，不等式ax2-x+1-a≤0恒成立，只需a≤x-1x2-1成立.

只需a≤1x+1成立.

只需a≤1x+1min即可.

又函數y=1x+1在x∈2，3上單調遞減，

所以當x=3時，ymin=14.

所以a≤14.

所以實數a的取值范圍是a≤14.

2 雙變量問題先確定主變量求參數的取值范圍

例2設函數f（x）=x2021+x，x∈R，若當θ∈0，π2時，f（msinθ）+f（1-m）>0恒成立，求m的取值范圍.

分析本題中有兩個變量m和θ，題目中含有符號f，如何去掉f，利用函數的單調性即可.

解析由f（x）=x2021+x，顯然f（x）為奇函數，且單調遞增.

因為f（msinθ）+f（1-m）>0恒成立，

所以f（msinθ）>f（m-1）恒成立.

所以msinθ>m-1恒成立.

由于θ∈0，π2，則sinθ∈0，1 ，

設t=sinθ，t∈0，1，

所以msinθ>m-1，

可化為mt>m-1.

所以mt-m+1>0.

這里有兩個變量m和t，因為t的取值范圍已經確定，所以確定以t為主變量，把不等式轉化為關于t的函數，設f（t）=mt-m+1，

（1）當m=0時，此時f（t）=1>0符合題意;

（2）當m≠0時，函數f（t）=mt-m+1是關于t的一次函數，

所以f（0）=-m+1>0，f（1）=m-m+1>0.

解得m<1且m≠0.

由（1）（2）可知：實數m的取值范圍是（-，1）.

評析本題利用函數的性質轉化為關于兩個變量m和t的不等式，因為t的取值范圍已經確定，所以確定以t為主變量，把不等式轉化為關于t的函數，一般情況下含兩個變量m和t的不等式，如果其中一個變量的取值范圍能確定，那么就以這個變量為主變量，另外一個變量作為參數.

3 在任意和存在性問題中求參數的取值范圍

例3已知函數f（x）=x+9x，g（x）=2x+m，若對任意x1∈1，2，存在x2∈2，3，使得f（x1）≤g（x2），求實數m的取值范圍.

解析若對任意x1∈1，2，存在x2∈2，3，使得f（x1）≤g（x2）.

等價于若對任意x1∈1，2，存在x2∈2，3，使得f（x1）max≤g（x2）max.由函數f（x）=x+9x的圖象可知，在x∈1，2上函數f（x）單調遞減（證明略）

所以函數f（x）max=f（1）=10.

因為g（x）=2x+m在區間2，3上單調遞增，

所以g（x）max=23+m=8+m.

所以10≤8+m.

所以m≥2.

例4已知f（x）=x2，g（x）=（12）x-m，若對任意x1∈［-1，3］，存在x2∈［0，2］，f（x1）≥g（x2），求實數m的取值范圍.

解析因為對x1∈［-1，3］，x2∈［0，2］，f（x1）≥g（x2），

所以只需f（x）min≥g（x）min即可.

因為f（x）=x2，g（x）=（12）x-m，

所以f（x）min=f0=0，g（x）min=g2=14-m.

由0≥14-m，解得m≥14.

所以實數m的取值范圍m≥14.

4 利用數形結合求參數的取值范圍

例5已知函數f（x）=-x2-2x，x≥0，log2x，x<0，若方程［f（x）］2+bf（x）+c=0恰有7個不相同的實數解，求實數b的取值范圍.

分析首先通過函數圖象變換作出f（x）的圖象（如圖1），因為關于f（x）的一元二次方程［f（x）］2+bf（x）+c=0最多只能解出2個f（x），若方程要恰有七個不相同的實數解，設［f（x）］2+bf（x）+c=0的兩個根分別是f1（x），f2（x），所以兩個函數值f1（x），f2（x）共對應7個不同的x，假設函數值f1（x）對應3個不同的x，f2（x）函數值共對應4個不同的x，

設t=f（x），所以函數y=t與y=f1（x）圖象的交點是3個，函數y=t和y=f2（x）的圖象的交點是4個，由圖象可知t=1或t=0時，即f1（x）=1，函數y=t與y=f1（x）圖象的交點是3個，由圖象可知0

所以f1（x）=1或0，0

解析首先通過函數圖象變換作出f（x）的圖象（如圖1）.

因為關于f（x）的方程［f（x）］2+bf（x）+c=0最多只能解出2個f（x），若方程要恰有七個不相同的實數解，設［f（x）］2+bf（x）+c=0的兩個根分別是f1（x），f2（x），

（1）設當f1（x）=1，0

方程的兩個根分別是t1，t2，

所以t1=1，t2∈（0，1）.

所以由根與系數的關系可得t1+t2=-b.

所以t2=-t1-b，即t2=-1-b∈（0，1）.

所以0<-1-b<1.

所以-2

（2）設當f1（x）=0，0

因為［f（x）］2+bf（x）+c=0，所以t2+bt+c=0.

方程的兩個根分別是t1，t2，所以t1=0，t2∈（0，1）.

所以由根與系數的關系可得t1+t2=-b.

所以t2=-b.

所以0<-b<1，即-1

所以實數b的取值范圍是-2

5 利用函數的奇偶性求參數的取值范圍

例6已知函數f（x）=log3（x+x2+1）-23x+1，若f2a-1+fa2-2≤-2，求實數a的取值范圍.

分析根據條件先分析fx+f-x的結果，由此確定出gx=fx+1的奇偶性和單調性，再將問題轉化為“已知g2a-1≤g2-a2，求解a的取值范圍”，根據單調性列出關于a的不等式并求解出結果.

解析由題可知x∈R且

f-x=log3-x+x2+1-23-x+1，

所以fx+f-x=log3x+x2+1-23x+1+log3-x+x2+1-23-x+1

=log3-x2+x2+1-23x+1-2·3x3x+1=-2.

所以fx+1=-f-x+1.

設gx=fx+1，所以g-x=f-x+1.

即g-x=-gx.

又函數gx的定義域為R關于原點對稱，

所以gx是奇函數.

由函數的性質可知：

y=log3x+x2+1與y=-23x+1在0，+上單調遞增，

所以fx在0，+上單調遞增.

即gx在0，+上也單調遞增且g0=0.

又因為gx為奇函數，

所以gx在R上單調遞增.

不等式f2a-1+fa2-2≤-2

f2a-1+1≤-fa2-2+1，

所以g2a-1≤-ga2-2=g2-a2.

所以2a-1≤2-a2.

解得-3≤a≤1.

參考文獻：

［1］ 許萬成.破解含參不等式恒成立問題的常見策略［J］.數理化解題研究，2021（25）：25-26.