高中階段的排列組合問題

摘要：計數原理是數學研究的重要問題之一，更是高考中的常客.本文將對排列組合問題的一些常見題型以及其相應的解題策略進行比較全面的總結.

關鍵詞：計數原理；排列；組合；高考；解題策略

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0095-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：梁佳殷（1999-），男，黑龍江省齊齊哈爾人，碩士研究生，從事高中數學解題研究.

1 特殊元素和特殊位置

這類問題的主要特征是具有特殊元素或者特殊位置.這時我們應優先安排它們的位置.

例1由0，1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復數字的四位奇數？

解析題目要求組成四位奇數，則末位只能是1，3，5其中一個，且0不能在首位出現，所以優先考慮末位和首位.末位共有C13種，除去末位數字和0，首位只能從剩余4個數字中選擇一個，共有C14種，最后是中間兩位，從剩余的4個數字中選擇兩個，且其順序會對結果造成影響，共有A24種，由分步乘法計數原理求出答案為C13C14A24=144.

2 元素之間相鄰

這類問題的主要特征是有某幾個元素必須相鄰.這時我們先將它們捆綁在一起，視為一個元素，先求捆綁外部的排列，再求捆綁內部的排列，稱為捆綁法.

例2A，B，C，D，E，F，G七個人站在一排拍照，其中A，B，E三人想站在一起，D，G二人想站在一起，求一共有多少種不同的站法？

解析A，B，E三人想站在一起，D，G二人想站在一起，故將A，B，E三人捆綁在一起視作一個新的元素，將D，G二人捆綁在一起也視作一個新的元素，先求捆綁外部的排列，即ABE，DG，C，F四個元素進行排列，共A44種站法，再求捆綁內部的排列，A，B，E三人共A33種站法，D，G二人共A22種站法，由分步乘法計數原理可得，共有A44A33A22=288種站法.

3 元素之間不相鄰

這類問題的主要特征是有某幾個元素必須不相鄰.這時我們可以先將沒有特殊要求的元素進行排列，再將必須不相鄰的元素進行插空，稱為插空法.

例3（改自2021年理科甲卷10）將4個1和2個0隨機排成一行，若2個0不相鄰，共有多少種不同的排法？

解析2個0不相鄰，則選用插空法.先將4個1進行排列，其順序并不影響結果，共有1種排法，再將2個0進行插空，四個元素五個空，其順序也不影響結果，共有C25種排法，由分步乘法計數原理可得，共有C25=10種不同的排法.

4 元素之間順序固定

這類問題的主要特征是有某幾個元素的前后順序固定，這時我們共有三種做法.其一，先將其他元素安排進空位中，再考慮順序固定的幾個元素；其二，先將順序固定的幾個元素列出，用其他元素進行插空；其三，對所有元素進行全排列，再除去順序固定元素的排列數.

例4學校迎新晚會共有A，B，C，D，E，F，G七個節目，考慮到節目效果，節目G必須在節目A之前，節目A必須在節目D之前，求一共能安排多少種不同的節目順序？

解法1先將其他元素安排進空位中，即先將B，C，E，F安排進7個空位中，共A47種排法，再考慮順序固定的幾個元素，現在只剩下3個空位，且A，D，G三個節目的順序固定，只有1種排法，由分步乘法計數原理可得，共有A47×1=840種不同的節目順序.

解法2先將順序固定的幾個元素列出，由于其順序固定，只有1種排法，即GAD，再將剩余的4個元素進行插空，放入第一個元素時有4個空位，放入第二個元素時有5個空位，放入第三個元素時有6個空位，放入第四個元素時有7個空位，由分步乘法計數原理可得，共有1×4×5×6×7=840種不同的節目順序.

解法3先對所有元素進行全排列，7個不同的元素，共有A77種排法，再除以順序固定元素的排列數，已知A，D，G三個節目的先后順序固定，而在全排列中，考慮了它們三個的排列順序問題，故用全排列數A77除以A，D，G三個節目的排列數A33得出結果為840種.

5 分配問題

這類問題的主要特征是將元素分配到不同的位置中，且每個位置要求至少有幾個元素.這時我們先按照要求進行選擇，再進行分配.

例5將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）.

A.60種B.120種C.240種D.480種

解析4個位置5個人，且每個位置至少1人，則其中必有一個位置有2個人，故先選擇出2個人分為一組，共有C25種方法，再將4組分配到4個位置上，由于其順序會影響結果，則共有A44種分配方法，由分步乘法計數原理可得，共有C25A44=240種，故選C.

6 分組問題

這類問題的主要特征是將元素進行分組，且對每組的數量有要求.這時我們先按照題目要求進行分組，再除以組數的全排列Ann（n為要求數量相同的組數）.

例6將A，B，C，D，E，F，G七個人分為3組，一組3個人，另外兩組2個人，求共有多少種分法？

解析7個人分為人數為2，2，3的三組，先按要求進行選人分組，共有C37C24C22種分法，由于有兩組同為2人的分組，故再除以A22，得出結果共有C37C24C22A22=105種分法.

7 元素相同問題

這類問題的主要特征是元素之間沒有任何區別，再將它們進行分組，且每組至少一個元素.這時我們先將全部元素列出，以插板的方式將其分組，即用（m-1）個隔板將全部n個相同元素分為m段，稱為隔板法.

例7把10個相同的小球放入7個不同的盒子中，每個盒子至少放1個球，共有幾種不同的放法？

解析10個小球完全相同，先將它們排成一排，由于小球完全相同，共有1種排法，再用6個隔板插在它們中間的9個空之中，分為7組，則共有C69=84種不同的放法.

8 復雜問題

之所以稱為復雜問題，是因為這類問題一般都不太容易理解，給的條件很復雜，學生在遇到這種題后第一反應一般是分類，就很容易出現多算、漏算的現象.這時我們可以將問題轉化為上述7類問題中的一種便于解答.

例8現有排成一排的十把椅子，若A，B，C，D四人都要入座，且每個人的左右兩邊都想留有一個空位，則一共有多少種不同的坐法？

解析4個人10把椅子，每個人身邊都要留有空位，我們不妨將問題轉化成“現有排成一排的6個空位，A，B，C，D每人帶著一把椅子排入其中，且他們之間互不相鄰，共有多少種坐法？”.對于這樣的不相鄰問題，我們就可以選擇插空法，6個椅子之間5個空，由于其順序會影響結果，則共有A45=120種坐法，復雜的問題就得到了解決.

9 分情況討論問題

這應該是學生最喜歡的一類問題，沒有什么特殊的技巧和解法，僅是討論各種可能的情況就能夠得出答案.

例9現要求在4名男生和3名女生中選擇4人作為班會的主持人，且要求必須有男生也有女生，求有多少種不同的選法？

解析這是一道很常見的需要討論的問題.需要4人，且既要有男生又要有女生，我們可以分為3男1女、2男2女、1男3女三種情況.由分步乘法計數原理可得，3男1女共C34C13=12種選法，2男2女共C24C23=18種情況，1男3女共C14C33=4種情況，再由分類加法計數原理可得，共12+18+4=34種不同的選法.

注：有時運用窮舉法或者畫樹狀圖的方式，可能會得到意想不到的效果.

10 染色問題

染色問題是一種復雜的分情況討論問題，做法一般是先選擇其中一個位置，再跳格進行討論.

圖1例10如圖1，一環形花壇分成A，B，C，D四塊，現有4種不同的花供選種，現在要求在花壇的每一塊都要種且只能種1種花，且相鄰的2塊所種的花顏色不能相同，則不同的種法總數為.

解析我們可以按照使用花種類的數量進行分類，分為用2種、用3種和用4種.用2種顏色的情況為A，C同色且B，D同色，共有A24=12種種法；用3種顏色的情況為A，C同色或B，D同色，共有2×A34=48種種法；用4種顏色的情況為A，B，C，D互不同色，共有A44=24種種法.由分類加法計數原理可得，共有12+48+24=84種不同的種法.

這類問題也存在著通解，若一個圓被分為n個扇形，想用m種不同的顏色進行染色，每個小扇形只能染一種顏色且相鄰的兩個扇形顏色不能相同，則其共有（m-1）n+（-1）n（m-1）種不同的染色方法.

排列組合這一節對學生的數學建模、數學運算、邏輯推理等核心素養要求較高，但只要多加練習，能夠認準題型并熟練運用對應的方法，注意細節，就可以輕松解決.

參考文獻：

［1］張若琦.高考中排列組合問題的解法歸類研究[J].數學學習與研究，2021（36）：150-152.

［2］ 張麗秀.解讀2008年高考數學中的排列組合問題[J].考試與招生，2008（12）：37-38.

［3］ 吳高妙.計數原理常用解題策略[J].中學生數理化（高考數學），2021（11）：35-36.