對一道高考圓錐曲線試題的推廣及證明

摘要：本文從2020年全國Ⅰ卷理科21題的一道圓錐曲線試題出發，透過題目具體數量關系探究其內在聯系，經過深入分析論證，形成具有普遍意義的結論，并嘗試加以證明．

關鍵詞：圓錐曲線；定點；定直線

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0010-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：付宏祥（1976-），甘肅省定西人，中學高級教師，從事高中數學教學研究。

1 問題的提出

題目（2020年全國Ⅰ卷理科20題） 已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，AG·GB=8，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點．

筆者在對該題探究中發現，問題可推廣到圓錐曲線的橢圓與雙曲線的一般情形，有如下結論：

結論1已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點，P為直線x=ka（k>0且k≠1）上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．則直線CD過定點

Q（ak，0）．

結論2已知A，B分別為雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右頂點，P為直線x=ka（k>0且k≠1）上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為B．則直線CD過定點Q（ak，0）.

2 結論的證明

2.1 結論1的證明

證明依題意有A（-a，0），B（a，0）．

如圖1，設直線x=ka與x軸交于點M．

①當點P為點M時，點C，D分別與點B，A重合，此時，直線CD為x軸；

②當點P為除點M外的任意動點時，設點P的坐標為（ka，1m），則直線PA的方程為x=（k+1）may-a．

由x2a2+y2b2=1，x=（k+1）may-a， 得

［（k+1）2m2b2+1］y2-2（k+1）mb2y=0．

解得y=2（k+1）mb2（k+1）2m2b2+1，或y=0（舍去）．

所以點C的坐標為

（（k+1）2m2b2-1（k+1）2m2b2+1a，2（k+1）mb2（k+1）2m2b2+1）．

同理，直線PB的方程為x=（k-1）may+a.

代入x2a2+y2b2=1中，化簡整理，得

［（k-1）2m2b2+1］y2+2（k-1）mb2y=0．

解得y=-2（k-1）mb2（k-1）2m2b2+1，或y=0（舍去）．

所以點D的坐標為

（1-（k-1）2m2b2（k-1）2m2b2+1a，-2（k-1）mb2（k-1）2m2b2+1）．

（1）若直線CD的斜率不存在，則yC=-yD.

即2（k+1）mb2（k+1）2m2b2+1=2（k-1）mb2（k-1）2m2b2+1.

化簡整理，得（k2-1）m2b2=1.

于是有m2=1（k2-1）b2．

此時直線CD的方程為x=ak，直線CD過點（ak，0）．

（2）若直線CD的斜率存在，則

kCD=2kmb2［（k2-1）m2b2-1］a．

故直線CD的方程為

y+2（k-1）mb2（k-1）2m2b2+1

=2kmb2［（k2-1）m2b2-1］a［x-1-（k-1）2m2b2（k-1）2m2b2+1a］

化簡整理，得

y=2kmb2［（k2-1）m2b2-1］a（x-ak）．

故直線CD過定點（ak，0）．

綜上所述，直線CD過定點（ak，0）．

注（1）圓錐曲線中的橢圓為封閉曲線，直線PA，PB與橢圓一定存在兩個交點，結合圖象可知，當01時，存在條件（k2-1）m2b2=1，使得直線CD垂直于x軸；

（2）根據橢圓具有的對稱性質，該結論在k<0且k≠-1時仍然成立，故將結論1可推廣到k≠0，k≠±1的任意常數結論都成立；

（3）上述2020年全國Ⅰ卷理科21題為結論1在a=3，b=1，k=2的特殊情形．

2.2 結論2的證明

證明依題意有A（-a，0），B（a，0）．

如圖2，設直線x=ka與x軸交于點M．

①當點P為點M時，點C，D分別與點B，A重合，此時，直線CD為x軸；

②當點P為除點M外的任意動點時，設點P的坐標為（ka，1m），則直線PA的方程為x=（k+1）may-a．

由x2a2-y2b2=1，x=（k+1）may-a， 得

［（k+1）2m2b2-1］y2-2（k+1）mb2y=0．

當（k+1）2m2b2-1=0時，直線PA與雙曲線E僅有一個交點，不合題意；當（k+1）2m2b2-1≠0時，可解得y=2（k+1）mb2（k+1）2m2b2-1，或y=0（舍去）．

所以點C的坐標為

（（k+1）2m2b2+1（k+1）2m2b2-1a，2（k+1）mb2（k+1）2m2b2-1）．

同理，直線PB的方程為

x=（k-1）may+a.

代入x2a2-y2b2=1中，化簡整理，得

［（k-1）2m2b2-1］y2+2（k-1）mb2y=0．

當（k-1）2m2b2-1=0時，直線PB與雙曲線E僅有一個交點，不合題意；

當（k-1）2m2b2-1≠0時，解得

y=-2（k-1）mb2（k-1）2m2b2-1，或y=0（舍去）．

所以點D的坐標為

（（k-1）2m2b2+11-（k-1）2m2b2a，-2（k-1）mb2（k-1）2m2b2-1）．

（1）若直線CD的斜率不存在，則yC=-yD.

即2（k+1）mb2（k+1）2m2b2-1=2（k-1）mb2（k-1）2m2b2-1.

化簡整理，得（1-k2）m2b2=1.

于是有m2=1（1-k2）b2．

此時直線CD的方程為x=ak，直線CD過點（ak，0）．

（2）若直線CD的斜率存在，則

kCD=2kmb2［（k2-1）m2b2+1］a．

故直線CD的方程為

y+2（k-1）mb2（k-1）2m2b2-1

=2kmb2［（k2-1）m2b2+1］a［x-（k-1）2m2b2+11-（k-1）2m2b2a］

化簡整理，得y=2kmb2［（k2-1）m2b2+1］a（x-ak）．

故直線CD過定點（ak，0）．

綜上所述，直線CD過定點（ak，0）．

注（1）圓錐曲線中的雙曲線為非封閉曲線，當（k-1）2m2b2-1=0時，直線PA，PB與雙曲線的兩條漸近線平行，除A，B外無另一交點，不符合題意；當（k-1）2m2b2-1≠0時，直線PA，PB與雙曲線一定存在兩個交點，結合圖象可知，若01時，直線CD不可能垂直于x軸；

（2）根據雙曲線具有的對稱性質，該結論在k<0且k≠-1時，仍然成立，故亦可將結論2推廣到k≠0，k≠±1的任意常數結論都成立．

3 結論的拓展

結論3已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點，過定點Q（ak，0）（k≠0且k≠±1）作直線CD交橢圓E于C，D兩點，連接AC，BD交于點P，則點P在定直線x=ka上．

結論4已知A，B分別為雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右頂點，過定點Q（ak，0）（k≠0且k≠±1）作直線CD交雙曲線E于C、D兩點，連接AC，BD交于點P，則點P在定直線x=ka上．

結論3，4與結論1，2的條件與結論對調，易于證明結論3，4，本文不再贅述．

參考文獻：

［1］鄧啟龍.2020年全國Ⅰ卷理科數學第20題的探究與推廣[J].理科考試研究，2021，28（03）：2-6.

[2] 楊偉達.2020年全國Ⅰ卷理科解析幾何第20題的剖析與探究[J].數理化解題研究，2021（31）：33-34.